해피넘버

숫자 이론에서, 행복한 숫자는 결국 각 자릿수의 제곱합으로 대체될 때 1에 도달하는 숫자다. For instance, 13 is a happy number because $1^{2}+3^{2}=10$ , and $1^{2}+0^{2}=1$ . On the other hand, 4 is not a happy number because the sequence starting with $4^{2}=16$ and ${\displaystyle 1^{2}+$ $6^{2}=37}$ 은(는) 결국 $1^{2}+6^{2}=37$ $2^{2}+0^{2}=4$ 를 $2^{2}+0^{2}=4$ 한 $2^{2}+0^{2}=4$ 인 $2^{2}+0^{2}=4$ + $2^{2}+0^{2}=4$ 0 2 = 4 {\ $displaystyle 2^{2$ }+0 $2^{2}+0^{2}=4$ 2 $}=4}$ 에 도달하고 따라서 프로세스는 1에 도달하지 않고 무한순환으로 계속된다. 행복하지 않은 숫자는 슬프거나 불행하다고 불린다.

보다 일반적으로 $b$ $b$ -happy $b$ number는 $p=2$ = $p=2$ {\displaystyle $p=2$ }에 대한 완벽한 디지털 불변함수를 반복하면 결국 1에 도달하는 $b$ 지정된 $숫자$ b ${\displaystyle$ $b}$ 의 자연수다 $p=2$ ^[1]

행복한 숫자의 기원은 분명하지 않다. 학교에서 이들에 대해 알게 된 딸 레그 앨런비(영국 작가 겸 리즈대 순수수학 수석강사)의 눈에 행복한 숫자가 떠올랐다. 그러나, 그들은 "러시아에서 기원했을 수도 있다" (Guy 2004:§E34).

행복한 숫자와 완벽한 디지털 불변제

형식적으로 $n$ $n$ 을(를) 자연수로 한다 $n$ . 완벽한 디지털 불변 기능 제공

{\displaystyle F_{p,b}(n)=\sum _{i=0}^{\lfloor \log _{b}{n}\rfloor }{\left({\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b^{i}}}}{b^{i}}}\right)

}^{p

한다면 j가 F2, bj(n)=1{\displaystyle F_{2,b}(n)=1}, F2, bj{\displaystyle F_{2,b}^{j}}은 j를 나타내는{j\displaystyle}-t{j\displaystyle}존재하는 기지 b>로 1{\displaystyle b> 1}, 숫자 n{n\displaystyle}{\displaystyle b}-happyb 있다.h도관 $F_{2,b}$ $F_{2,b}$ , $F_{2,b}$ ${\$ 및 $b$ $b$ 의 ation -그렇지 않으면 불행하다 $b$ . $F_{2,b}$ 가 $F_{2,b}$ $F_{2,b}$ , $F_{2,b}$ b ${\$ 의 $F_{2,b}$ 비경쟁적 완벽한 디지털 불변수인 경우 $b$ $b$ -불행이다 $b$ .

예를 들어, 19는 10이 행복하다.

F_{2,10}(19)=1^{2}+9^{2}=82

F_{2,10}^{2}(19)=F_{2,10}(82)=8^{2}+2^{2}}=68

F_{2,10}^{3}(19)=F_{2,10}(68)=6^{2}+8^{2}=100

F_{2,10}^{4}(19)=F_{2,10}(100)=1^{2}+0^{2}+0^{2}+0^{2}=1

예를 들어 347은 6-행복한 것이다.

F_{2,6}(347)=F_{2,6}(135_{6})=1^{2}+3^{2}+3^{2}+5^{2}+5^{2}=44

F_{2,6}^{2}(347)=F_{2,6}(44)=F_{2,6}(112_{6})=1^{2}+1^{2}+2^{2}}=6

F_{2,6}^{3}(347)=F_{2,6}(6)=F_{2,6}(10_{6})=1^{2}+0^{2}=1

$b$ 은 $b$ ${\$ $displaystyle$ $b}$ -happy $b$ $b$ number인 $만큼$ b {\ $displaystyle$ b} -happy 번호가 무한히 많으며 $n$ $b$ {\ $displaystyle$ $b}$ 의 모든 n ${\$ b $}$ 에 $대해$ b ${\displaystytype$ $b}$ -happy $b$ )는 $10^{n}$ 합계가 1이기 $b$ 에 b ${\data$ . 수의 행복은 교차합에 기여하지 않기 때문에 0을 제거하거나 임의로 삽입함으로써 보존된다.

b-행복수의 자연 밀도

처음 100만 명 내외의 행복수를 검사해 보면 약 0.15의 자연 밀도를 가지고 있는 것으로 보인다. 아마도 놀랍게도, 10행수의 숫자는 점증적 밀도를 가지고 있지 않다. 행복수의 상위 밀도는 0.18577보다 크며, 하위 밀도는 0.1138보다 작다.^[2]

해피베이스

수학의 미해결 문제:

2루와 4루만이 행복한 베이스인가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

Happy base는 숫자 $b$ ${\displaystyle$ b $}$ 이며 $b$ , 여기서 $b$ 모든 숫자는 $b$ $b$ -happy이다. 5×10⁸ 이하의 행복한 베이스는 베이스 2와 베이스 4뿐이다.^[3]

특정 b-행복수

4행시 숫자

$b=4$ = $b=4$ $b=4$ 의 경우 $b=4$ $F_{2,b}$ $F_{2,b}$ , $F_{2,b}$ ${\$ 에 대한 유일한 양성 퍼펙트 디지털 불변제 1은 사소한 $F_{2,b}$ 퍼펙트 디지털 불변제 1이며, 다른 사이클은 없다. 모든 숫자는 $F_{2,b}$ $F_{2,b}$ , $F_{2,b}$ ${\$ 에 대한 periodic point이기 때문에 모든 숫자는 1로 이어지고 행복하다 $F_{2,b}$ 결과적으로 4번 베이스는 행복한 베이스가 된다.

6행시 숫자

$b=6$ = $b=6$ ${\displaystyle b=6$ 의 경우, $F_{2,b}$ $F_{2,b}$ , $F_{2,b}$ b ${\$ 에 대한 유일한 양의 완벽한 디지털 불변량은 사소한 완벽한 디지털 불변량 1이며 $F_{2,b}$ , 유일한 주기는 8-숫자 사이클이다.

5 → 41 → 25 → 45 → 105 → 42 → 32 → 21 → 5 → ...

그리고 모든 $F_{2,b}$ 는 $F_{2,b}$ 2, $F_{2,b}$ ${\$ 에 대한 주기 전의 점이기 때문에 $F_{2,b}$ 모든 숫자는 1로 이어지고 행복하거나, 사이클로 이어지고 불행하다. 베이스 6에는 1을 제외한 다른 완벽한 디지털 불변기가 없기 때문에 1을 제외한 어떤 양의 정수도 자신의 자릿수 제곱의 합이다.

베이스 10에서는 최대 1296 = 6까지의⁴ 6행 74개의 숫자가 (베이스 10에 기록됨):

1, 6, 36, 44, 49, 79, 100, 160, 170, 216, 224, 229, 254, 264, 275, 285, 289, 294, 335, 347, 355, 357, 388, 405, 415, 417, 439, 460, 469, 474, 533, 538, 580, 593, 600, 608, 628, 638, 647, 695, 707, 715, 717, 767, 777, 787, 835, 837, 847, 880, 890, 928, 940, 953, 960, 968, 1010, 1018, 1020, 1033, 1058, 1125, 1135, 1137, 1168, 1178, 1187, 1195, 1197, 1207, 1238, 1277, 1292, 1295

10행시 숫자

$b=10$ = $b=10$ $b=10$ 의 경우 $b=10$ $F_{2,b}$ $F_{2,b}$ , $F_{2,b}$ ${\$ 에 대한 유일한 양의 완벽한 디지털 불변량은 사소한 완벽한 디지털 불변량 1이며 $F_{2,b}$ , 유일한 주기는 8-숫자 사이클이다.

4 → 16 → 37 → 58 → 89 → 145 → 42 → 20 → 4 → ...

그리고 모든 $F_{2,b}$ 는 $F_{2,b}$ 2, $F_{2,b}$ ${\$ 에 대한 주기 전의 점이기 때문에 $F_{2,b}$ 모든 숫자는 1로 이어지고 행복하거나, 사이클로 이어지고 불행하다. 베이스 10에는 1을 제외한 다른 완벽한 디지털 불변기가 없기 때문에 1을 제외한 어떤 양의 정수도 자신의 자릿수 제곱의 합이다.

베이스 10에서 최대 1000까지 143개의 10-행복한 숫자는 다음과 같다.

1, 7, 10, 13, 19, 23, 28, 31, 32, 44, 49, 68, 70, 79, 82, 86, 91, 94, 97, 100, 103, 109, 129, 130, 133, 139, 167, 176, 188, 190, 192, 193, 203, 208, 219, 226, 230, 236, 239, 262, 263, 280, 291, 293, 301, 302, 310, 313, 319, 320, 326, 329, 331, 338, 356, 362, 365, 367, 368, 376, 379, 383, 386, 391, 392, 397, 404, 409, 440, 446, 464, 469, 478, 487, 490, 496, 536, 556, 563, 565, 566, 608, 617, 622, 623, 632, 635, 637, 638, 644, 649, 653, 655, 656, 665, 671, 673, 680, 683, 694, 700, 709, 716, 736, 739, 748, 761, 763, 784, 790, 793, 802, 806, 818, 820, 833, 836, 847, 860, 863, 874, 881, 888, 899, 901, 904, 907, 910, 912, 913, 921, 923, 931, 932, 937, 940, 946, 964, 970, 973, 989, 998, 1000 (sequence A007770 in OEIS).

1000 이하에서 10행수를 형성하는 숫자의 구별되는 조합은 다음과 같다( 나머지는 0자리의 재배열 및/또는 삽입만 해당).

1, 7, 13, 19, 23, 28, 44, 49, 68, 79, 129, 133, 139, 139, 167, 188, 226, 236, 236, 338, 356, 367, 379, 446, 469, 478, 556, 566, 888, 899. (OEIS에서 연속 A124095).

연속 10행시 숫자의 첫 번째 쌍은 31과 32이다.^[4] 3연속 1세트는 1880년, 1881년, 1882년이다.^[5] 자연수 길이의 연속된 행복한 숫자의 연속적인 순서가 존재한다는 것이 증명되었다.^[6] n = 1, 2, 3, ...에 대해 적어도 연속 10행수의 첫 번째 주행의 시작은 다음과^[7] 같다.

1, 31, 1880, 7839, 44488, 7899999999999959999999996, 7899999999999959999999996, ...

로버트 스티어가 이 시리즈를 계산하는 논문에서 언급했듯이, "놀랍게도, 6개의 연속 해피넘버의 최소 시퀀스를 시작하는 N의 동일한 값 또한 7개의 연속 해피넘버의 최소 시퀀스를 시작한다."^[8]

1 ≤ n ≤ 20에 대해 10까지의ⁿ 10행수의 수는^[9]

3, 20, 143, 1442, 14377, 143071, 1418854, 14255667, 145674808, 1492609148, 15091199357, 149121303586, 1443278000870, 13770853279685, 130660965862333, 1245219117260664, 12024696404768025, 118226055080025491, 1183229962059381238, 12005034444292997294.

행복한 시간 보내세요.

$b$ $b$ -happy $b$ prime은 $b$ ${\displaysty b}$ -happy와 $b$ prime인 숫자다. 행복한 숫자와는 달리 $b$ $b$ -happy $b$ prime의 숫자를 재배열하는 것이 반드시 또 다른 행복한 전성기를 만들지는 않을 것이다. 예를 들어, 19가 10행복의 프라임인 반면, 91 = 13 × 7은 프라임이 아니다(그러나 여전히 10행복하다).

베이스 2와 베이스 4가 해피 베이스인 만큼 프라임은 모두 2-행복 4-행복 프리타임이다.

6행시

베이스 6에서는, 1296 = 6 이하의⁴ 6행시 프리타임이 있다.

211, 1021, 1335, 2011, 2425, 2555, 3351, 4225, 4441, 5255, 5525

10행시.

베이스 10에서는, 500 이하의 10행시가 있다.

7, 13, 19, 23, 31, 79, 97, 103, 109, 109, 109, 139, 167, 193, 239, 263, 293, 313, 331, 367, 379, 383, 397, 409, 487(시퀀스 A035497 in OEIS)

팔린드로믹 프라임 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247×10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1은 0이 많으면 제곱수의 합에 기여하지 않기 때문에 150007자리의 10행복 프라임이며, 1² + 7² + 4²² + 2 + 6² + 2² + 4² + 4 + 7² + 1² = 176으로 10행복한 숫자다. Paul Jobling은 2005년에 전성기를 발견했다.^[10]

2010년^[update] 현재 가장 큰 10행복 프라임은 2^42643801 - 1(메르센 프라임)이다.^{[dubious – discuss]} 십진법 확장은 12837064자리다.^[11]

12행시

베이스 12에서, 10000보다 작은 12행시 프리타임은 없으며, 처음 12행시 프리타임은 (X와 E는 각각 소수점 10과 11을 나타낸다)

11031, 1233E, 13011, 1332E, 16377, 17367, 17637, 22E8E, 2331E, 233E1, 23955, 25935, 25X8E, 28X5E, 28XE5, 2X8E5, 2E82E, 2E8X5, 31011, 31101, 3123E, 3132E, 31677, 33E21, 35295, 35567, 35765, 35925, 36557, 37167, 37671, 39525, 4878E, 4X7X7, 53567, 55367, 55637, 56357, 57635, 58XX5, 5X82E, 5XX85, 606EE, 63575, 63771, 66E0E, 67317, 67371, 67535, 6E60E, 71367, 71637, 73167, 76137, 7XX47, 82XE5, 82EX5, 8487E, 848E7, 84E87, 8874E, 8X1X7, 8X25E, 8X2E5, 8X5X5, 8XX17, 8XX71, 8E2X5, 8E847, 92355, 93255, 93525, 95235, X1X87, X258E, X285E, X2E85, X85X5, X8X17, XX477, XX585, E228E, E606E, E822E, EX825, ...

프로그래밍 예제

아래의 예는 $p=2$ = $p=2$ ${\displaystyle$ p $=2}$ 에 대한 $p=2$ 완벽한 디지털 불변함수와 이 글의 상단에 주어진 행복의 정의에 설명된 $b=10$ $b=10$ b $b=10$ = $b=10$ $b=10$ 에 대한 완벽한 디지털 불변함수를 반복적으로 구현하며, 매번 정지 조건 1에 도달하고 숫자를 반복하여 확인한다.

숫자가 행복한지 확인하기 위한 Python의 간단한 테스트:

반항하다 pdi_function(번호를 붙이다, 밑의: 인트로 = 10):     """"완벽한 디지털 불변함수."""     총계 = 0     하는 동안에 번호를 붙이다 > 0:         총계 += 포우(번호를 붙이다 % 밑의, 2)         번호를 붙이다 = 번호를 붙이다 // 밑의     돌아오다 총계  반항하다 is_happy(번호를 붙이다: 인트로) -> 바가지 긁다:     """""지정된 숫자가 행복한 숫자인지 여부를 결정한다."""     see_boards = 세트()     하는 동안에 번호를 붙이다 > 1 그리고 번호를 붙이다 아닌 에 see_boards:         see_boards.덧셈을(번호를 붙이다)         번호를 붙이다 = pdi_function(번호를 붙이다)     돌아오다 번호를 붙이다 == 1

참고 항목

참조

^ "Sad Number". Wolfram Research, Inc. Retrieved 16 September 2009.
^ Gilmer, Justin (2011). "On the Density of Happy Numbers". Integers. 13 (2). arXiv:1110.3836. Bibcode:2011arXiv1110.3836G.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A161872 (Smallest unhappy number in base n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A035502 (Lower of pair of consecutive happy numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 8 April 2011.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A072494 (First of triples of consecutive happy numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 8 April 2011.
^ Pan, Hao (2006). "Consecutive Happy Numbers". arXiv:math/0607213.
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A055629 (Beginning of first run of at least n consecutive happy numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Styer, Robert (2010). "Smallest Examples of Strings of Consecutive Happy Numbers". Journal of Integer Sequences. 13: 5. 10.6.3 – via University of Waterloo. Sloane "A055629" harvtxt 오류에서 인용: 대상
^ Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A068571 (Number of happy numbers <= 10^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
^ Chris K. Caldwell. "The Prime Database: 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247 · 10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1". utm.edu.
^ Chris K. Caldwell. "The Prime Database: 2^42643801 − 1". utm.edu.

문학

Guy, Richard (2004). Unsolved Problems in Number Theory (3rd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-20860-7.

외부 링크

슈나이더, 월터: 매튜: 해피 넘버.
Weisstein, Eric W. "Happy Number". MathWorld.
숫자가 행복한지 계산하다.
수학 포럼에서 행복한 숫자 보내세요.
145번지에 멜랑코일이 있다
Symonds, Ria. "7 and Happy Numbers". Numberphile. Brady Haran. Archived from the original on 15 January 2018. Retrieved 2 April 2013.

[1] "Sad Number". Wolfram Research, Inc. Retrieved 16 September 2009.

[2] Gilmer, Justin (2011). "On the Density of Happy Numbers". Integers. 13 (2). arXiv:1110.3836. Bibcode:2011arXiv1110.3836G.

[3] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A161872 (Smallest unhappy number in base n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[4] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A035502 (Lower of pair of consecutive happy numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 8 April 2011.

[5] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A072494 (First of triples of consecutive happy numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation. Retrieved 8 April 2011.

[6] Pan, Hao (2006). "Consecutive Happy Numbers". arXiv:math/0607213.

[Sloane-A055629-7] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A055629 (Beginning of first run of at least n consecutive happy numbers)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[8] Styer, Robert (2010). "Smallest Examples of Strings of Consecutive Happy Numbers". Journal of Integer Sequences. 13: 5. 10.6.3 – via University of Waterloo. Sloane "A055629" harvtxt 오류에서 인용: 대상

[9] Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A068571 (Number of happy numbers <= 10^n)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.

[10] Chris K. Caldwell. "The Prime Database: 10¹⁵⁰⁰⁰⁶ + 7426247 · 10⁷⁵⁰⁰⁰ + 1". utm.edu.

[11] Chris K. Caldwell. "The Prime Database: 2^42643801 − 1". utm.edu.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
크기별	메가(100,000자리 이상) 알려진 것 중 가장 큰 것
콤플렉스	아이젠슈타인 전성기 가우스 프라임
합성수	가성비 카탈루냐 주 타원체 오일러 오일러자코비 페르마 프로베니우스 루카스 소머루카스 강하다 카마이클 수 거의 전성기 세미프라임 인터프라임 치명적
관련 항목	개연성 프라임 산업용 프라임 불법 프라임 소수점 수식 프라임 갭
처음 60회	2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 43 47 53 59 61 67 71 73 79 83 89 97 101 103 107 109 113 127 131 137 139 149 151 157 163 167 173 179 181 191 193 197 199 211 223 227 229 233 239 241 251 257 263 269 271 277 281
소수 목록

Search