인자

숫자 이론에서 주어진 숫자 베이스 $b$ ${\displaystyle$ b $}$ 의 인수는 숫자의 요인 합계와 같은 자연수다 $b$ .^[1]^[2]^[3]그 이름 인자는 작가 클리포드 A에 의해 만들어졌다. 픽오버.^[4]

정의

$n$ $n$ 을(를) 자연수가 되게 $n$ 하라. $b>1$ > $b>1$ ${\displaystyle$ $b$ $>1}$ 의 경우 $b>1$ $n$ ${\displaystyle$ n $n$ $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ : $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ → $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ ${\$ 의 $SFD_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N}$ 숫자 요인^[5]^[6] 합계를 다음과 같이 정의한다.

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

b

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

(

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

)

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

=

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

i

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

=

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

k

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

- 1

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}!

SFD_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1d_{i}!

.

여기서 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ = $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ b $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ + $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ {\ $displaystyle k=\lfloor \log$ _{ $b}{n$ $b$ $displaystyle n!}$ 은 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ (는) $b$ 기준 b ${\displaystyle$ $n$ $}$ 의 숫자로, $n!$ 은 $n!$ $n$ ${\displaystystyle$ n $}$ 의 요인이다 $n$ .

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}-n-{\bmod {b^{i}}}{b^{i}}}}}}}}}{b^{i}}}}}}}}}}}

숫자의 $i$ $i$ 의 $i$ 값이다.A자연수 n{n\displaystyle}은 b{\displaystyle b}-factorion SFDb{\displaystyle SFD_{b}에 그것이 고정된 포인트}, 즉 주자가 모두 b{\displaystyle b}를 위해 SFDb(n))n{\displaystyle SFD_{b}(n)=n}1{1\displaystyle}과 2{2\displaystyle}.[7]는 고정된 포인트.a따라서 모든 $b$ ${\displaystyle b$ 에 대한 사소한 요인이고, 다른 모든 요인은 비교 요인이다.

예를 들어, $b=10$ = $[\displaystyle b=10}$ 의 숫자 145는 $145=1!+4!+5!$ = $145=1!+4!+5!$ + $145=1!+4!+5!$ + $145=1!+4!+5!$ ${\displaystyle 145=1!$ $+4!+5!}$ .

$b=2$ = $b=2$ $b=2$ 의 경우 $b=2$ 자릿수 요인 합은 $0!=1!=1$ ! $0!=1!=1$ = $0!=1!=1$ ! $0!=1!=1$ = $0!=1!=1$ ${\displaystyle 0!=1!=$ 1} 이후 기본 2 표현에서 단순히 $k$ 숫자 $k$ $k$ 의 숫자일 뿐이다 $0!=1!=1$

A natural number $n$ is a sociable factorion if it is a periodic point for $SFD_{b}$ , where $SFD_{b}^{k}(n)=n$ for a positive integer $k$ , and forms a cycle of period $k$ . A factorion is a sociabl $k=1$ k = $k=1$ ${\displaystyle k=1$ 그리고 우호적인 요소는 k $k=2$ = $k=2$ $k=2$ 을(를) 가진 사교적인 요인이다 $k=2$ ^[8]^[9]

모든 자연수 $n$ $n$ 은 $SFD_{b}$ 는) 베이스에 관계없이 $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ ${\$ 에 대한 사전주기적 포인트다 $n$ .때문에 기지 b{\displaystyle b}의 k{k\displaystyle}숫자가 모두 자연수 − 1≤ n≤(b− 1)!(k)}bk(k){\displaystyle b^{k-1}\leqn\leq(b-1)을 충족하는 이. 그러나 k≥ b{k\geq b\displaystyle},;(b− 1)!(k){\displaystyle b^{k-1}>,(b-1).(k)}에 k− 1을 대한 largeenough이다. $b$ $b>2$ > $b>2$ ${\displaystyle b>2$ 그러므로 n ${\$ $n>SFD_{b}(n)$ $n$ $n>SFD_{b}(n)$ 은(는) $n<b^{b}$ < $n<b^{b}$ < $n<b^{b}$ b {\ $displaystyle n$ $>{$ $b}$ 까지 $n$ > $n>SFD_{b}(n)$ ${$ $b$ }(n $)}$ 을(는) 충족한다 $n$ $n<b^{b}$ $b^{b}$ $b^{b}$ ${\$ 보다 적은 자연수가 미세하게 많기 때문에 주기적인 $b^{b}$ 이나 b ${\$ 보다 적은 고정된 지점에 도달하도록 보장되어 있어 $b^{b}$ periodic point가 된다. $b=2$ = $b=2$ $b=2$ 의 경우 임의 숫자에 대한 $k\leq n$ 숫자 k $k\leq n$ ≤ $k\leq n$ {\ $displaystyle k\leq n}$ 이(가) 다시 한 번 periodic point가 된다 $b=2$ 이는 또한 주어진 $b$ $b$ 에 대해 제한된 수의 인수와 주기가 있다는 것을 의미한다 $b$

$SFD_{b}^{i}(n)$ $SFD_{b}^{i}(n)$ $SFD_{b}^{i}(n)$ b $SFD_{b}^{i}(n)$ ( $SFD_{b}^{i}(n)$ ) $SFD_{b}^{i}(n)}$ 이(가) 고정 지점에 도달하는 $SFD_{b}^{i}(n)$ 데 필요한 $i$ 반복 $i$ ${\displaystyle$ $i$ $}$ 의 수는 $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ ${\displaystylen}$ 의 $SFD_{b}$ 지속성이고 $n$ $고정$ 지점에 도달하지 않는 경우 정의되지 않은 수입니다.

$SFD$ 의_b 요인

b = (k − 1)!

$k$ $k$ 을(를) 양의 정수로 하고 $k$ 숫자 $b=(k-1)!$ = $b=(k-1)!$ ( $b=(k-1)!$ - $b=(k-1)!$ $b=(k-1)!$ 을(를) 두십시오 $b=(k-1)!$ 그런 다음:

$n_{1}=kb+1$ $n_{1}=kb+1$ = $n_{1}=kb+1$ $n_{1}=kb+1$ + 1 ${\displaystyle n_{1}=kb+1$ }은 $($ 는) 모든 $k$ ${\displaystyle sfD_$ ${b$ $}$ 에 대한 $SFD_{b}$ S $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ 의 요인이다 $n_{1}=kb+1$ $k$

증명

$n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ = $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ + $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ 0 ${\$ d_ ${0$ }의 $d_{1}=k$ 를 $d_{1}=k$ d 1 = $d_{1}=k$ ${\displaystyle d_{1}=k$ $d_{0}=1$ 0 $d_{0}=1$ = $d_{0}=1$ $d_{0}=1$ 이 되도록 $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ 한다 $d_{0}=1$ 그러면

SFD_{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!

[\displaystyle =k!+1!]}

=k(k-1)!+1

=d_{1}b+d_{0}

=n_{1}:{1

따라서 $n_{1}$ $n_{1}$ ${\$ }는 모든 $k$ $k$ 에 $F_{b}$ 대한 $F_{b}$ $F_{b}$ ${\$ 의 인수인자 입니다 $n_{1}$ $k$

$n_{2}=kb+2$ $n_{2}=kb+2$ = $n_{2}=kb+2$ $n_{2}=kb+2$ + $n_{2}=kb+2$ ${\displaystyle n_{2}=kb+2$ }은 $($ 는) $SFD_{b}$ $k$ ${\displaystyle$ $sfD_{b}$ 에 대한 $SFD_{b}$ S F $SFD_{b}$ {\ $displaystyle$ $k}$ 의 요인이다 $n_{2}=kb+2$ $k$

증명

$n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ $n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ = d $n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ b $n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ + $n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ 0 ${\$ d_ ${0$ }}의 $d_{1}=k$ 를 d $d_{1}=k$ 1 = $d_{1}=k$ ${\displaystyle d_{1}=k$ $d_{0}=2$ 0 = $d_{0}=2$ {\ $displaystyle d_{0}=2$ }로 $n_{2}=d_{1}b+d_{0}$ 한다 $d_{0}=2$ 그러면

SFD_{b}(n_{2})=d_{1}!+d_{0}!

[\displaystyle=k!+2!}

=k(k-1)!+2

=d_{1}b+d_{0}

{\displaystyle =n_{2}}:

따라서 $n_{2}$ $n_{2}$ ${\$ 모든 $k$ $k$ 에 $F_{b}$ $F_{b}$ F $F_{b}$ ${\$ 의 인수인자가 된다 $n_{2}$ $k$

요인
$(\displaystyle k}$	$(\displaystyle b)$	${\displaystyle n_{1}.$	${\displaystyle n_{2}}:$
4	6	41	42
5	24	51	52
6	120	61	62
7	720	71	72

b = k! − k + 1

$k$ $k$ 을(를) 양의 정수로 하고 $k$ 숫자 $b=k!-k+1$ = $b=k!-k+1$ ! - $b=k!-k+1$ + 1 ${\displaystyle b=k!-k+$ 1}을 $($ 를) 사용하십시오 $b=k!-k+1$ 다음:

$n_{1}=b+k$ $n_{1}=b+k$ = $n_{1}=b+k$ + k $n_{1}=b+k$ 은(는) $SFD_{b}$ $k$ ${\displaystyle$ $sfD_{b}$ 에 대한 $SFD_{b}$ S $SFD_{b}$ $SFD_{b}$ {\ $displaystyle$ $k}$ 의 요인이다 $n_{1}=b+k$ $k$

증명

$n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ = d $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ b $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ + $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ ${\$ d_ ${0$ }의 $d_{1}=1$ 를 d $d_{1}=1$ = $d_{1}=1$ 1 ${\displaystyle d_{1}=1},$ d $d_{0}=k$ = $d_{0}=k$ $d_{0}=k$ 로 한다 $n_{1}=d_{1}b+d_{0}$ $d_{0}=k$ 그러면

SFD_{b}(n_{1})=d_{1}!+d_{0}!

[\displaystyle =1!+k!)}

=k!+1-k+k

=1(k!-k+1)+k

=d_{1}b+d_{0}

=n_{1}:{1

따라서 $n_{1}$ $n_{1}$ ${\$ }는 모든 $k$ $k$ 에 $F_{b}$ 대한 $F_{b}$ $F_{b}$ ${\$ 의 인수인자 입니다 $n_{1}$ $k$

요인
$(\displaystyle k}$	$(\displaystyle b)$	${\displaystyle n_{1}.$
3	4	13
4	21	14
5	116	15
6	715	16

$SFD b$ 요인 및 주기 표

모든 숫자는 base $b$ $b$ 에 표시된다 $b$

$기준$ b $b$	비교 요인( $n\neq 1$ $n\neq 1$ $n\neq 1$ ${\displaystyle n\neq$ 1 $n\neq 1$ $n\neq 2$ $n\neq 2$ 2 ${\displaystyle n\neq$ 2 $n\neq 2$ ^[10]	사이클
2	$\varnothing$	$\varnothing$
3	$\varnothing$	$\varnothing$
4	13	3 → 12 → 3
5	144	$\varnothing$
6	41, 42	$\varnothing$
7	$\varnothing$	36 → 2055 → 465 → 2343 → 53 → 240 → 36
8	$\varnothing$	3 → 6 → 1320 → 12 175 → 12051 → 175
9	62558
10	145, 40585	871 → 45361 → 871^[9] 872 → 45362 → 872^[8]

프로그래밍 예제

아래 예제는 파이썬에서 인자 및 사이클을 검색하기 위해 위 정의에 기술된 숫자의 요인 합계를 구현한다.

반항하다 요인의(x: 인트로) -> 인트로:     총계 = 1     을 위해 i 에 범위(0, x):         총계 = 총계 * (i + 1)     돌아오다 총계  반항하다 sfd(x: 인트로, b: 인트로) -> 인트로:     """"숫자 요인 합계."""     총계 = 0     하는 동안에 x > 0:         총계 = 총계 + 요인의(x % b)         x = x // b     돌아오다 총계  반항하다 sfd_cycle(x: 인트로, b: 인트로) -> 리스트[인트로]:     보이는 = []     하는 동안에 x 아닌 에 보이는:         보이는.덧셈을(x)         x = sfd(x, b)     사이클을 타다 = []     하는 동안에 x 아닌 에 사이클을 타다:         사이클을 타다.덧셈을(x)         x = sfd(x, b)     돌아오다 사이클을 타다

참고 항목

참조

^ Sloane, Neil, "A014080", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
^ Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind, Vintage Books, pp. 61 and 64, ISBN 9780394726236
^ Madachy, Joseph S. (1979), Madachy's Mathematical Recreations, Dover Publications, p. 167, ISBN 9780486237626
^ Pickover, Clifford A. (1995), "The Loneliness of the Factorions", Keys to Infinity, John Wiley & Sons, pp. 169–171 and 319–320, ISBN 9780471193340 – via Google Books
^ Gupta, Shyam S. (2004), "Sum of the Factorials of the Digits of Integers", The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 88 (512): 258–261, doi:10.1017/S0025557200174996, JSTOR 3620841, S2CID 125854033
^ Sloane, Neil, "A061602", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
^ Abbott, Steve (2004), "SFD Chains and Factorion Cycles", The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 88 (512): 261–263, doi:10.1017/S002555720017500X, JSTOR 3620842, S2CID 99976100
^ ^a ^b Sloane, Neil, "A214285", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
^ ^a ^b Sloane, Neil, "A254499", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
^ Sloane, Neil, "A193163", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

외부 링크

울프램 수학월드의 요인

[A014080-1] Sloane, Neil, "A014080", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[Gardner-2] Gardner, Martin (1978), "Factorial Oddities", Mathematical Magic Show: More Puzzles, Games, Diversions, Illusions and Other Mathematical Sleight-Of-Mind, Vintage Books, pp. 61 and 64, ISBN 9780394726236

[Madachy-3] Madachy, Joseph S. (1979), Madachy's Mathematical Recreations, Dover Publications, p. 167, ISBN 9780486237626

[Pickover-4] Pickover, Clifford A. (1995), "The Loneliness of the Factorions", Keys to Infinity, John Wiley & Sons, pp. 169–171 and 319–320, ISBN 9780471193340 – via Google Books

[Gupta-5] Gupta, Shyam S. (2004), "Sum of the Factorials of the Digits of Integers", The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 88 (512): 258–261, doi:10.1017/S0025557200174996, JSTOR 3620841, S2CID 125854033

[A061602-6] Sloane, Neil, "A061602", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[Abbott-7] Abbott, Steve (2004), "SFD Chains and Factorion Cycles", The Mathematical Gazette, The Mathematical Association, 88 (512): 261–263, doi:10.1017/S002555720017500X, JSTOR 3620842, S2CID 99976100

[A214285-8] Sloane, Neil, "A214285", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[A254499-9] Sloane, Neil, "A254499", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

[A193163-10] Sloane, Neil, "A193163", On-Line Encyclopedia of Integer Sequences

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