프라임 k-투플

수 이론에서 prime k-tuple은 소수 간의 차이의 반복 가능한 패턴을 나타내는 값의 유한 집합이다. k-투플(a, b, ...)의 경우, k-투플이 소수에서 패턴과 일치하는 위치는 정수 n에 의해 주어지며, 모든 값(n + a, n + b, ...)이 prime이다. 일반적으로 k-tuple의 첫 번째 값은 0이고 나머지는 뚜렷한 양의 짝수 값이다.^[1]

명명된 패턴

가장 짧은 k-tule 중 몇 개는 다른 일반적인 이름으로 알려져 있다.

OEIS 시퀀스 OEIS: A257124는 7-튜플(Prime septuplet)을 포함하며, 3개의 허용 8-튜플(Prime 8-tuplet)에 해당하는 3개의 시퀀스, 그리고 모든 8-튜플의 결합을 포함한다. 이러한 시퀀스의 첫 번째 용어는 아래에 표시된 가장 작은 원시 별자리의 첫 번째 원수에 해당한다.

아드미실리티

k-tuple이 모든 값이 prime인 위치를 무한히 많이 가지기 위해서는, prime p가 존재할 수 없기 때문에 가능한 모든 다른 값 modulo p를 포함한다. 왜냐하면, 그러한 prime p가 존재한다면, n의 어떤 값을 선택하든, tuple에 n을 추가함으로써 형성된 값들 중 하나는 p에 의해 분할될 수 있기 때문에, p에 의해 미세하게 많은 prime places(p 자체를 포함한 값만 포함)만 존재할 수 있기 때문이다. 예를 들어, k-tuple의 숫자는 3개의 값 0, 1, 2 modulo 3을 모두 차지할 수 없다. 그렇지 않으면 결과 숫자는 항상 3의 배수를 포함하므로 숫자 중 하나가 3 그 자체인 경우가 아니면 모두 prime이 될 수 없다. 이 조건을 만족하는 k-tuple(즉, 모든 다른 값을 포함하는 p가 없는 k-tuple)은 허용된다.

모든 허용 가능한 k-tuple은 소수 순서에서 무한히 많은 포지션과 일치한다고 추측된다. 단, 1-투플(0)을 제외하고 이것이 입증된 허용 가능한 튜플은 없다. 그럼에도 불구하고, Yitang Zhang의 2013년에 대한 유명한 증거에 의해, 무한히 많은 포지션과 일치하는 적어도 하나의 2-튜플이 존재한다는 것이 뒤따른다; 후속 연구는 어떤 2-튜플은 무한히 많은 포지션과 일치하는 246 이하의 다른 값을 가지고 존재한다는 것을 보여주었다.^[2]

허용되지 않는 패턴으로 일치하는 위치

(0, 2, 4)은 인정되지 않지만, 단일한 프리타임 세트를 생성한다. (3, 5, 7).

일부 용납할 수 없는 k-tules는 둘 이상의 전체 프라임 솔루션을 가지고 있다. 모든 값 modulo 3을 포함하는 k-tuple에서는 이러한 현상이 발생할 수 없으므로, 이 속성을 가지려면 k-tuple이 모든 값을 더 큰 prime으로 포함해야 하며, 이는 튜플에 최소 5개의 숫자가 있음을 암시한다. 둘 이상의 용액이 포함된 가장 짧은 불가침 투플은 5투플(0, 2, 8, 14, 26)으로, 두 가지 해결책이 있는데, 이 두 가지 해결책은 (3, 5, 11, 17, 29)와 (5, 7, 13, 19, 31)이며, 두 경우 모두에 모든 합치물(모드 5)이 포함된다.

원시 별자리

k-투플의 지름은 가장 큰 원소와 가장 작은 원소의 차이다. (모든 허용 가능한 k-tuple 중) 가능한 가장 작은 직경을 가진 허용 가능한 prime k-tuple은 prime 별자리다. 모든 n ≥ k에 대해, 이것은 항상 연속적인 prime을 산출할 것이다.^[3] (모든 n은 값(n + a, n + b, ...)이 prime인 정수임을 기억하십시오.)

즉, 대규모 n:

p_n+k−1 − p_n ≥ d

여기서 p는_n n번째 프라임이다.

처음 몇 개의 주요 별자리는 다음과 같다.

k의 함수로서의 직경 d는 OEIS의 시퀀스 A008407이다.

원시 별자리는 원시 k-tuplet이라고 부르기도 하지만, 일부 저자들은 더 긴 k-tuplet의 일부가 아닌 경우를 위해 이 용어를 유보한다.

첫 번째 하디-리틀우드 추측은 원시 별자리의 점증 빈도를 계산할 수 있다고 예측한다. 그 추측이 입증되지 않은 반면 그것은 사실일 가능성이 높다. 만약 그렇다면, 대조적으로 제2의 하디-리틀우드 추측이 거짓임을 암시한다.

프라임 산술 진행률

형태(0, n, 2n, 3n, ..., (k-1)n)의 prime k-tuple은 prime account equence라고 한다. 이러한 k-tuple이 능력 시험을 충족시키려면 n은 k의 원수의 배수가 되어야 한다.^[5]

스큐스 숫자

프라임 k-tup에 대한 Skewes 숫자는 첫 번째 하디-리틀우드 추측에 근거한 프라임 k-tuple에 대한 스큐스 수의 정의를 확장한 것이다(2019년). Let ${\displaystyle P=(p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k})}$ denote a prime k-tuple, ${\displaystyle \pi _{P}(x)}$ the number of primes ${\displaystyle p}$ below ${\displaystyle x}$ such that ${\$$displaystyle p,p+i_{1},p+i_{2},...,p+i_{k}}$ are all prime, let ${\displaystyle \operatorname {li_{P}} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {dt}{(\ln t)^{k+1}}}}$ and let ${\displaystyle C_{P}}$ denote its Hardy-Littlewood constant (see first Hardy-Littlewood conjecture). 그런 다음 k-tuple P ${\displaystyle P}$에 대한 하디-리틀우드 불평등을 위반하는 첫 번째 프라임 p ${\displaystyle p}$ 즉, 다음과 같은 경우.

$[\displaystyle \pi _{P}(p)]C_{P}\operatorname {li} _{P}(p),}$

(이러한 주기가 있는 경우)는 P ${\displaystyle P}$의 Skewes 번호 입니다.

아래 표는 기본 k-tup에 대해 현재 알려진 Skewes 번호를 보여준다.

섹시한 프리타임(p, p+ 6) ${\displaystyle(p,\ p+6$)에 대한 스큐 번호(있는 경우)는 아직 알려져 있지 않다.

참조