입체공간

3차원 데카르트 좌표계를 X 축이 관찰자를 가리키는 표현.

3차원 공간(역시: 3D 공간, 3차원 공간 또는 드물게 3차원 공간)은 원소의 위치(즉, 점)를 결정하기 위해 3개의 값(파라미터라고 함)이 필요한 기하학적 설정이다.이것이 치수라는 용어의 비공식적인 의미다.

수학에서 n개의 숫자의 튜플은 n차원 유클리드 공간에 있는 위치의 데카르트 좌표로 이해할 수 있다.이러한 n-tules 집합은 일반적으로 $\mathbb {R} ^{n},$ $\mathbb {R} ^{n},$ , $\mathb {R} ^{n}$ 로 표시되며 n차원 $\mathbb {R} ^{n},$ 유클리드 공간에서도 식별할 수 있다. $n$ = $3일$ 때 이 공간을 3차원 유클리드 공간(또는 맥락이 명확할 때 간단히 유클리드 공간)이라고 한다.^[1]그것은 알려진 모든 물질이 존재하는 물리적 우주(상대성이론을 고려하지 않을 때)의 모델 역할을 한다.이 공간은 경험하는 대로 세계를 모델링할 수 있는 가장 설득력 있고 유용한 방법으로 남아 있지만, 그것은 3-매니폴드라고 불리는 3차원의 매우 다양한 공간을 보여주는 하나의 예일 뿐이다.^[2]이 고전적인 예에서 세 값이 서로 다른 방향(좌표)의 측정을 참조할 때, 이들 방향의 벡터가 모두 동일한 2-공간(평면)에 있지 않다면 어떤 3개의 방향도 선택할 수 있다.또한, 이 경우, 이 세 값은 너비/브레드, 높이/깊이 및 길이 중에서 선택한 세 개의 조합으로 라벨을 붙일 수 있다.

유클리드 기하학에서

좌표계

수학에서 분석 기하학(카르트 기하학이라고도 함)은 세 개의 좌표를 이용하여 3차원 공간의 모든 점을 기술한다.세 개의 좌표 축이 주어지며, 각 축은 원점에서 다른 두 축과 수직으로 교차하는 지점이다.그것들은 보통 $x,$ $y$ , $z$ 라는 레이블이 붙어 있다.이러한 축에 비해, 3차원 공간의 어떤 점의 위치는 순서가 지정된 3배의 실수에 의해 주어지며, 각 숫자는 주어진 축을 따라 측정된 원점으로부터 그 점의 거리를 제공하며, 이는 다른 2개의 축에 의해 결정되는 평면으로부터 그 점의 거리와 동일하다.^[3]

3차원 공간에서 점의 위치를 설명하는 다른 일반적인 방법으로는 원통형 좌표와 구면 좌표가 있지만 가능한 방법은 무한히 많다.자세한 내용은 유클리드 공간을 참조하십시오.

아래는 위에 언급한 시스템들의 이미지들이다.

선 및 평면

두 개의 뚜렷한 점이 항상 (직선) 선을 결정한다.세 개의 구별되는 점은 일렬로 정렬되거나 고유한 평면을 결정한다.반면에, 네 개의 구별되는 점은 일직선, 일직선 또는 전체 공간을 결정할 수 있다.

두 개의 구별되는 선은 교차하거나 평행하거나 꼬일 수 있다.두 개의 평행선, 즉 두 개의 교차선이 독특한 평면에 놓여 있기 때문에 스큐선은 서로 맞지 않고 공통 평면에 놓여 있지 않는 선이다.

두 개의 구별되는 평면은 공통 선에서 만날 수 있거나 평행이다(즉, 만나지 않는다).평행한 쌍이 없는 구별되는 세 개의 평면은 공통 선에서 만날 수도 있고, 고유한 공통점에서 만날 수도 있고, 공통점이 없다.마지막 경우, 각 평면 쌍의 교차점 3선은 상호 평행이다.

선은 주어진 평면에 놓여 있거나, 그 평면을 고유한 점에서 교차하거나, 평면에 평행할 수 있다.마지막 경우에, 평면에 주어진 선과 평행한 선이 있을 것이다.

하이퍼플레인(hyperplane)은 전체 공간의 치수보다 1차원 작은 하위공간이다.3차원 공간의 하이퍼플레인은 2차원 서브 스페이스, 즉 평면이다.데카르트 좌표의 관점에서, 하이퍼 평면의 점은 단일 선형 방정식을 만족하므로, 이 3-공간의 평면은 선형 방정식으로 설명된다.선은 각각 이 선을 공통 교차점으로 갖는 평면을 나타내는 한 쌍의 독립적 선형 방정식으로 설명할 수 있다.

바리뇽의 정리에서는 Ⅱ에³ 있는 어떤 사각형의 중간점이 평행선을 형성하고, 따라서 coplanar라고 되어 있다.

구와 공

구를 2차원으로 투영하는 원근법

3-공간의 구체(이것은 2차원 물체이기 때문에 2-sphere라고도 함)는 중심점 $P$ 로부터 일정한 거리 $r$ 에서 3-공간의 모든 점들의 집합으로 구성된다.구체에 둘러싸인 고체를 공(또는 더 정확히 말하면 3볼)이라고 한다.공의 부피는 다음에 의해 주어진다.

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

=

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

r

V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}

{\

V

={\frac {4}{3}}\pi

r^{

3

또 다른 형태의 구체는 4볼에서 발생하는데, 3차원 표면은 3-sphere: 유클리드 공간 $Ⅱ$ 의⁴ 원점에 해당하는 지점이다.점의 좌표가 $P (x,$ $y,$ $z,$ $w),$ $x 2$ + y + $z 2 2$ + $w 2$ = 1인 $경우$ 원점을 중심으로 한 단위 3-sphere에서 해당 점의 특성을 나타낸다.

폴리토페스

3차원으로 볼록한 플라토닉 고형분 5개와 비콘벡스 케플러-푸인소트 다면체 4개 등 9개의 일반 다면체가 있다.

3차원의 일반 폴리토피
클래스	플라톤 고형					케플러-푸인소트 다면체
대칭	T_d	O_h		I_h
콕시터군	A₃, [3,3]	B₃, [4,3]		H₃, [5,3]
주문	24	48		120
정규 다면체	{3,3}	{4,3}	{3,4}	{5,3}	{3,5}	{5/2,5}	{5,5/2}	{5/2,3}	{3,5/2}

혁명의 표면

평면의 고정선을 중심으로 평면 곡선을 축으로 회전시켜 발생하는 표면을 회전면이라고 한다.평면 곡선은 표면의 생성자로 불린다.축에 수직(직교)인 평면과 표면을 교차시켜 만든 표면의 단면이 원이다.

단순한 예는 제네라트릭스가 선일 때 발생한다.제네라트릭스 선이 축 선과 교차하는 경우, 회전 표면은 교차점(정점)이 있는 우측 원형 원뿔이다.그러나 만약 제너레이터와 축이 평행하다면, 혁명의 표면은 원형 실린더가 된다.

사방면

원뿔 부분과 유사하게 데카르트 좌표가 2도의 일반 방정식을 만족하는 점 집합, 즉,

Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Fxy+Gyz+Hxz+Jx+Ky+Lz+M=0,

$여기$ 서 $A$ $,$ $B$ $,$ $C,$ $F,$ $G,$ $H,$ $J,$ $K$ $,$ $L$ , $M$ 이 모두 0이 아닌 것을 사분면이라고 한다.^[4]

비분해 사분면에는 다음과 같은 6가지 유형이 있다.

퇴행된 4각 표면은 빈 세트, 단일 점, 단일 선, 단일 평면, 한 쌍의 평면 또는 2차 실린더(평면의 $비퇴행$ 원뿔 부분과 $π$ 까지의 정상인 원뿔을 통과하는 $all$ 의³ 모든 선으로 구성된 표면)^[4]이다.타원형 원뿔도 때로는 퇴보적인 4중 표면으로 간주된다.

한 장의 하이퍼볼로이드와 쌍곡선 파라볼로이드는 모두 지배적인 표면으로, 직선의 가족으로 구성될 수 있다는 것을 의미한다.사실, 각각은 선 생성의 두 가족을 가지고 있고, 각 가족의 구성원은 분리되어 있고, 각 구성원은 다른 가족의 모든 구성원을 제외하고 교차한다.^[5]각 가정은 규율이라고 불린다.

선형대수에서

3차원 공간을 보는 또 다른 방법은 독립의 사상이 중요한 선형대수학에서 찾을 수 있다.한 상자의 길이가 그 폭이나 폭과 독립적이기 때문에 공간은 3차원이 있다.선형대수의 기술적 언어에서 공간은 3차원적이다. 왜냐하면 공간의 모든 점들은 3개의 독립 벡터의 선형 결합으로 설명될 수 있기 때문이다.

도트 제품, 각도 및 길이

벡터는 화살로 그려질 수 있다.벡터의 크기는 길이, 방향은 화살표가 가리키는 방향이다. $ℝ$ 의³ 벡터는 실제 숫자의 3배 순서에 의해 표현될 수 있다.이 숫자들을 벡터의 성분이라고 부른다.

두 벡터 $A =$ [ $A 1,$ $A 2,$ $A 3]$ 와 $B =$ [ $B 1,$ $B 2 3,$ B $]$ 의 도트 제품은 다음과 같이 정의된다.^[6]

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}}B_{2}+A_{3}}B_{3}

벡터 $A$ 의 크기는 $A$ 로 표시된다.벡터 $A =$ [ $A 1,$ $A 2,$ $A 3]$ 의 점 산물은 그 자체로

\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\ \mathbf {A} \{2}=A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}

어떤 것을 주는지

\mathbf {A} \={\\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A}}}}}}={\sqrt {A_{1}^{2}+A_{2}^{2}+A_{3}^{2}}}

벡터의 유클리드 길이에 대한 공식

벡터의 구성요소를 참조하지 않고, 0이 아닌 두 개의 유클리드 벡터 $A$ 와 $B$ 의 도트 곱은 다음에^[7] 의해 주어진다.

\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \,\mathbf {B} \cos \theta ,

여기서 $θ$ 은 $A$ 와 $B$ 의 각이다.

크로스 제품

교차 제품 또는 벡터 제품은 3차원 공간에서 두 벡터에 대한 이진 연산이며 기호 ×로 표시된다.벡터 a와 b의 교차 생산물 a × b는 둘 다에 수직이고 따라서 벡터를 포함하는 평면에 정규적인 벡터다.수학, 물리학, 공학에 응용이 많다.

공간과 제품은 한 분야에 걸쳐 대수학을 형성하는데, 이것은 교감적이지도 않고 연상적이지도 않지만 교차 제품이 리 브라켓이 되는 리 대수다.

n차원에서는 모든 벡터에 수직인 벡터를 만들기 위해 n - 1 벡터의 곱을 취한다.그러나 그 제품이 벡터 결과를 가진 비종교적 이진법으로 제한된다면, 그것은 3차원, 7차원에서만 존재한다.^[8]

오른손 좌표계에 대한 교차 제품

미적분학에서

그라데이션, 발산 및 컬링

직사각형 좌표계에서 그라데이션은 다음과 같이 주어진다.

{\displaystyle \fla f={\frac {\flaff}{\mathbf {i} +{\frac {\flaff}{\mathbf {i}{\mathbf {j} + {\frac{\mathbf}{k}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"

연속적으로 다른 벡터 필드 F = Ui + V j + W k의 차이는 스칼라 값 함수와 같다.

\operatorname {div} \,\mathbf {F} =\nabla \mathbf {F} ={\frac {\partial u}{\partial x}+{\partial V}{\partial y}}+{\frac {\partial W}}{partial z}}}}}}}}}}}}}}}.

데카르트 좌표로 확장(구면 및 원통형 좌표 표현은 원통형 및 구형 좌표 델 참조), [F_x, F_y_z, F, F]로 구성된 F의 경우:

{\bmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {k}\\\\\\\\frac {\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}

여기서 i, j, k는 각각 x-, y-, z-에 대한 단위 벡터다.이는 다음과 같이 확장된다.^[9]

\left({\frac {\partial F_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial F_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {i} +\left({\frac {\partial F_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial F_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {j} +\left({\frac {\partial F_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial F_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {k}

라인 통합, 표면 통합 및 볼륨 통합

일부 스칼라 필드 f : Uⁿ ⊆ R → R의 경우 조각처럼 매끄러운 곡선 C u U를 따라 적분된 선은 다음과 같이 정의된다.

\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b(\mathbf {r})(t) \mathbf {r}'(t) \dt.

여기서 r: [a, b] → C는 R(a)와 r(b)가 C의 끝점과 $a<b$ < $(\displaystyle a>b}$ 을(를) 제공하는 곡선 C의 임의의 바이어스 파라메트리징이다 $a<b$

벡터 필드 F : U ⊆ Rⁿ → R의ⁿ 경우, r의 방향으로 조각처럼 부드러운 곡선 C along U를 따라 적분된 선은 다음과 같이 정의된다.

\int \limits _{C}\mathbf {r}(\mathbf {r})\cdot \d\mathbf {r} =\d\d\mathbf {r}{b}}\mathbf {f {f {r}(t)\cdot {r},dt

여기서 ·는 점 산물이고 r: [a, b] → C는 r(a)와 r(b)가 C의 끝점을 주는 곡선 C의 편주 파라메트리제이션이다.

표면 적분은 여러 통합체를 표면 위에 통합하는 것이다.라인 일체형의 이중 적분 아날로그라고 생각할 수 있다.표면 적분에 대한 명시적 공식을 찾기 위해서는 구상의 위도와 경도처럼 S의 곡선 좌표 체계를 고려하여 관심 표면인 S를 매개변수화할 필요가 있다.이러한 매개변수화를 x(s, t)로 하고, 여기서 (s, t)는 평면의 일부 영역 T에서 변화한다.그런 다음, 표면 적분은 다음과 같이 주어진다.

\iint _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left\ {\partial \mathbf {x}  \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x}  \over \partial t}\right\ \mathrm {d} s\,\mathrm {d} t

여기서 오른쪽의 막대들 사이의 표현은 x(s, t)의 부분파생상품의 교차제품의 크기이며 표면원소로 알려져 있다.S의 각 x에 벡터 v(x)를 할당하는 함수인 S에 벡터 필드 v를 지정하면 표면 적분은 스칼라 필드의 표면 적분 정의에 따라 구성 요소별로 정의할 수 있으며, 그 결과는 벡터다.

볼륨 적분은 3차원 영역에 걸친 적분을 말한다.

함수 $f(x,y,z),$ , y $f(x,y,z),$ , z $f(x,y,z),$ ) $f(x,y,z),$ , ${\displaystyle f(x,y,z)$ 의 R에서³ 영역 D 내의 삼중 적분을 의미할 수도 있으며, 일반적으로 $f(x,y,z),$ 다음과 같이 기록된다.

\displaystyle \iint \limits _{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.}

라인 통합의 기본 정리

선 통합의 기본 정리는 그라데이션 필드를 통해 적분된 선은 곡선 끝점에서 원래 스칼라 장을 평가하여 평가할 수 있다고 말한다.

$\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ : $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ n $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ → R ${\$ : $U\subseteq \mathb {R} ^{n}\to \mathb {R}$ . 그러면

\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \lift(\mathbf {p},\\mathbf {q})=\\mathbi(\mathbf {r}\cdot dmathbf {r}.}.}.}.}.}.}}}}}.}.}}}}}}}

스토크스 정리

스톡스의 정리는 유클리드 3공간에 있는 표면 Ⅱ에 대한 벡터장 F의 컬의 표면 적분과 그것의 경계 Ⅱσ에 대한 벡터장 적분의 선과 관련된다.

\iint _{\Sigma }\nabla \times \mathbf {F}\cdot \mathbf {d}\mathbf {d}\mathbf {r}

발산정리

$V$ 가 R $\mathbb {R} ^{n}$ ${\$ 의 하위 집합이라고 가정해 보십시오( $\mathbb {R} ^{n}$ $n$ = $3$ 의 $경우$ V는 3D 공간의 볼륨을 나타냄 $).$ 이는 소형이며 조각처럼 부드러운 경계 S( $또한$ $\partial V$ = $S$ 로 표시됨). $만약$ F가 $V$ 의 근방에 정의된 연속적으로 다른 벡터장이라면, 발산 정리는 다음과 같이 말한다.^[10]

\iint _{V}\왼쪽(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {F} \right)\,dV=

$\oiint$

\scriptstyle S

{\displaystyle(\mathbf {F} \cdot \mathbf {n} )\,dS.}

왼쪽은 $V$ 부피 위에 적분된 부피, 오른쪽은 $V$ 부피의 경계 위에 적분된 표면이다.닫힌 다지관 $\partial V$ 는 상당히 일반적으로 바깥쪽을 가리키는 표준에 의해 지향되는 $V$ 의 경계이며, $n$ 은 경계 $\partial V$ 의 바깥쪽 포인팅 단위 정규장이다( $dS$ 는 $ndS$ 의 속기로 사용될 수 있다).

위상

3-D로 된 위키피디아 글로브 로고

3차원 공간은 다른 차원 번호의 공간과 구별되는 여러 위상학적 특성을 가지고 있다.예를 들어, 끈으로 매듭을 묶으려면 적어도 3차원이 필요하다.^[11]

차등 기하학에서 일반적인 3차원 공간은 3-매니폴드인데, 국소적으로 R ${\mathbb {R} }^{3}$ ${\$ { $R}^{3}}$ 와 유사하다 ${\mathbb {R} }^{3}$

유한 기하학에서

차원에 대한 많은 아이디어들은 유한 기하학으로 시험될 수 있다.가장 간단한 예는 2차원 서브스페이스로 Fano 평면을 가지고 있는 PG(3,2)이다.유한장을 이용한 투영 기하학의 연구인 갈루아 기하학의 한 예다.따라서 모든 갈루아 필드 GF(q)에 대해 3차원의 투사 공간 PG(3,q)가 있다.예를 들어, PG(3,q)의 모든 3개의 꼬치선은 정확히 하나의 레귤러에 포함되어 있다.^[12]

참고 항목

메모들

^ "Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Retrieved 2020-08-12.
^ "Euclidean space geometry". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-12.
^ Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.
^ ^a ^b 브래넌, 에스플렌 & 그레이 1999, 페이지 34–5
^ 브래넌, 에스플렌 & 그레이 1999, 페이지 41–2
^ 안톤 1994, 페이지 133
^ 안톤 1994, 페이지 131
^ WS Massey (1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537. If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space.
^ 아크켄, 페이지 43.
^ M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
^ Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links. Berkeley, California: Publish or Perish. ISBN 0-914098-16-0.
^ 알브레히트 뷰텔스파허 & 우트 로젠바움(1998) 투영 기하학, 72페이지, 캠브리지 대학교 프레스 ISBN 0-521-48277-1

참조

Anton, Howard (1994), Elementary Linear Algebra (7th ed.), John Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-58742-2
Arfken, George B., Hans J. Weber.물리학자들을 위한 수학적 방법, 학술지; 6판 (2005년 6월 21일)ISBN 978-0-12-059876-2.
Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometry, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-59787-6

외부 링크

Wiktionary의 3차원 사전 정의
Weisstein, Eric W. "Four-Dimensional Geometry". MathWorld.
초등 선형 대수학 - 8장: 퀸즐랜드 대학교의 3차원 기하학 키스 매튜스, 1991

[1] "Euclidean space - Encyclopedia of Mathematics". encyclopediaofmath.org. Retrieved 2020-08-12.

[2] "Euclidean space geometry". Encyclopedia Britannica. Retrieved 2020-08-12.

[Hughes-3] Hughes-Hallett, Deborah; McCallum, William G.; Gleason, Andrew M. (2013). Calculus : Single and Multivariable (6 ed.). John wiley. ISBN 978-0470-88861-2.

[Brannan-4] 브래넌, 에스플렌 & 그레이 1999, 페이지 34–5

[5] 브래넌, 에스플렌 & 그레이 1999, 페이지 41–2

[6] 안톤 1994, 페이지 133

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[Massey2-8] WS Massey (1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". The American Mathematical Monthly. 90 (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537. If one requires only three basic properties of the cross product ... it turns out that a cross product of vectors exists only in 3-dimensional and 7-dimensional Euclidean space.

[9] 아크켄, 페이지 43.

[spiegel-10] M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vector Analysis. Schaum’s Outlines (2nd ed.). USA: McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.

[11] Rolfsen, Dale (1976). Knots and Links. Berkeley, California: Publish or Perish. ISBN 0-914098-16-0.

[12] 알브레히트 뷰텔스파허 & 우트 로젠바움(1998) 투영 기하학, 72페이지, 캠브리지 대학교 프레스 ISBN 0-521-48277-1

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v t 치수
치수 공간	벡터 공간 유클리드 공간 아핀 공간 투영 공간 자유 모듈 다지관 대수적 품종 스페이스타임
기타 치수	크롤 르베그 커버 귀납적 하우스도르프 민코프스키 프랙탈 자유도
폴리탑 및 모양	하이퍼플레인 초저면 하이퍼큐브 하이퍼스피어 초직각 데미하이퍼큐브 크로스 폴리토프 심플렉스
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