전이성 정수

특정 정수에 n을 곱할 때 일부 특정 정수의 자릿수를 허용하거나 순환적으로 이동한다.예는 다음과 같다.

142857 × 3 = 428571(순환적으로 한 자리 남음)
142857 × 5 = 714285(순환적으로 한 자리 오른쪽)
128205 × 4 = 512820(순환적으로 한 곳 오른쪽)
076923 × 9 = 692307(순환적으로 두 자리 남음)

전이 가능한 정수로 알려진 이러한 특정 정수는 항상 순환 정수일 수 있지만 항상 순환 정수일 수는 없다.이러한 숫자의 특성화는 반복 십진수(따라서 관련 분율)를 사용하거나 직접 수행할 수 있다.

일반

10에서 10까지의 정수 조합의 경우, 그 역수는 비반복 자릿수가 없는 반복 소수점이다.예시1⁄143 = 0.006993006993006993...

빈쿨럼을 맨 위에 올린 단일계열의 표현은 적당하지만, 위의 표현은 다른 숫자로 시작하는 반복적 소수점으로부터 6개의 연속된 숫자를 선택하면 이 반복적 소수점으로부터 006993의 6주기 순열을 얻을 수 있다는 것을 보여주려는 것이다.

이것은 순환 순열이 십진수 및 해당 분수와 어떤 식으로든 관련이 있음을 보여준다.

m자리 정수의 주기적 순열과 10^m - 1 사이의 최대 공통점(gcd)은 일정하다.공식으로 표현하면

\gcd \left(N,10^{m}-1\right)=\gcd \left(N_{c},10^{m}-1\right),

여기서 N은 m자리 정수이고, N은_c N의 주기적인 순열이다.

예를 들어,

gcd(091575, 99999) = gcd(3²×5²×11×37, 3³×7×11×13×37) = 3663 = gcd(915750, 9999999) = gcd(575091, 99999) = gcd(75091, 99999) = gcd(509157,999) = gcd(999)

N이 m자릿수 정수인 경우 N을 반복적으로 왼쪽으로 이동하여 얻은_c N 숫자는 다음에서 얻을 수 있다.

N_{c}=10N-d\왼쪽(10^{m}-1\오른쪽),\,

여기서 d는 N의 첫 번째 자리, m은 자릿수다.

이는 위의 공통 gcd를 설명하고, 10을 베이스인 b로 대체하면 어떤 베이스에서도 그 현상은 사실이다.

따라서 주기적 순열은 10-1의^m 반복 소수, 해당 분수 및 구획과 관련이 있다.예를 들어 위의 순환 순열과 관련된 분수는 다음과 같다.

091575⁄999999999, 915750 ⁄9999999999, 157509⁄9999999999, 575091⁄99999999, 750915 ⁄9999999999, 509157 ½999999999, 509.

공통 gcd를 사용하여 가장 낮은 조건으로 줄인 이 값은 다음과 같다.

25⁄273, 250 ⁄273, 4 ½3, 157 ⁄273, 205 ⁄273, 139 ⁄273.

즉, 이러한 분수는 가장 낮은 용어로 표현될 때 분모가 같다.이것은 어떤 정수의 주기적 순열에 대해서도 사실이다.

분수법

적분 승수

적분 승수는 승수 n이 정수인 것을 말한다.

정수 X를 n으로 곱할 때 k 위치에 의해 순환적으로 오른쪽으로 이동하면, 여기서 F는₀ F = n 10^k - 1(F는₀ 10으로 복사함) 또는 F의₀ 계수(n보다 크지 않은 F의 값을 제외함)의 반복 자릿수가 된다.
정수 X 이동은 정수 n을 곱할 때 k 위치에 의해 주기적으로 좌회전한다. X는 반복 자릿수인 1⁄F(F₀ = 10^k - n)가₀ 된다. 여기서 F는 n보다 크지 않고 10과 동일시되지 않는 F 값을 제외한다.

½F가 선행 비반복 자릿수가 없는 반복 소수점이기 위해서는 F가 10으로 복사되어야 한다(반복 십진법의 복수 섹션 참조).한 기간에 숫자가 없으면 해당 해결책이 없다.

이 두 경우에 있어서 X의 배, 즉 (j X)의 배수는 정수 i가 njctF < 1. 조건을 만족시킨다면 해결책이기도 하다. 대부분의 경우 위에 맞는 가장 작은 F를 선택하는 것이 편리하다.해결책은 다음과 같은 공식으로 표현할 수 있다.

X=j{\frac {10^{p}-1}{F}

여기서 p는 기간 길이가 1⁄F이고, F는 10의₀ F 복사율이다.

예: F₀ = 1260 = 2² × 3² × 5 × 72와 5를 제외한 인자는 F = 3² × 7 = 63으로 재구성된다.또는, 1260부터 126이 될 때까지 모든 끝의 0을 잘라낸 다음, 2(5)씩 반복해서 2(5)로 나눈 다음, 그 몫이 2(5)로 더 이상 나누어지지 않을 때까지 반복적으로 나눈다.결과도 F = 63이다.

0으로 시작하는 정수를 용액에서 제외하려면 ½F > ½10, 즉 j > ½10과 같은 정수 j를 선택하십시오.

n > F일 때는 해결책이 없다.

분수승수

정수 X 이동은 분수 n⁄s를 곱할 때 k 위치에 따라 주기적으로 왼쪽으로 이동한다.X는 ½F의 반복 자릿수로, 여기서 F는 F₀ = s 10^k - n 또는 F의₀ 인수로, F는 10에서 10까지 복사해야 한다.

이 세 번째 경우, X의 배수, 즉 (j X)는 다시 해법이지만 정수 j에 대해 만족해야 하는 조건은 njctF < 1. 다시 한 번 위에 맞는 가장 작은 F를 선택하는 것이 편리하다.

해결책은 다음과 같은 공식으로 표현할 수 있다.

X=js{\frac {10^{p}-1}{F}

여기서 p는 마찬가지로 정의되며, F는 이전과 동일한 프로세스에 의해 10으로 복사된다.

0으로 시작하는 정수를 용액에서 제외하려면, ½F > ½10, 즉 j > ⁄10s와 같은 정수 j를 선택하십시오.

다시 j/suf > 1이면 해결책이 없다.

직접 표현

위의 사례에 대한 직접 대수 접근법은 다음과 같은 공식으로 이어진다.

$X=D{\frac {10^{m}-1}{n10^{k}-1},$
여기서 m은 X의 자릿수로, 그리고 D는 X의 낮은 끝에서 n X의 높은 끝으로 이동한 k자릿수는 D < 10을^k 만족한다.

숫자에 선행 0이 없어야 하는 경우^{k − 1} n 10 d D.
$X=D{\frac {10^{m}-1}{10^{k}-n},$ $X = D \frac {10^m-1}{10^k-n},$
여기서 m은 X의 자릿수, D는 X의 하이엔드에서 nX의 로우엔드로 이동한 k자릿수는 다음을 만족한다.
1. $D<{\frac {10^{k}}{n1},$
2. 10-n의^k 10-part (인자화의 2와 5에 해당하는 용어의 산물)는 D를 나눈다.
  정수 t의 10 부분은 흔히 $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$ $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$ ( $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$ $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$ , $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$ ) $\operatorname {gcd} \left(10^{\infty },t\right).$ . ${\displaystyle \operatorname {gcd} \left (10^{\infult }t\right$ )라고 약칭한다 $.$ $}$
숫자에 선행 0이 없어야 할 경우^{k − 1} 10㎛ D.

곱셈에 의한 주기순열

1과 7의 긴 분할은 다음을 제공한다.

0.142857...     7 ) 1.000000          .7           3           28            2            14             6             56              4              35               5               49                1

마지막 단계에서 1이 나머지로 다시 나타난다.순환 잔여물은 {1, 3, 2, 6, 4, 5}이다.당사는 모든 단계에서 해당 배당금/리메인을 위에 두고 시세를 재작성한다.

배당금/배당금 1 3 2 6 4 5 5 인용구 1 4 2 8 5 7

또한 다음 사항에 유의하십시오.

1⁄7 = 0.142857...
3⁄7 = 0.428571...
2⁄7 = 0.285714...
6⁄7 = 0.857142...
4⁄7 = 0.571428...
5⁄7 = 0.714285...

따라서 각 단계에서 잔여물을 관찰함으로써, 우리는 원하는 주기적 순열을 곱셈에 의해 수행할 수 있다.예시

나머지 1에 해당하는 정수 142857은 428571을 곱하면 나머지 428571로 허용된다.
나머지 1에 해당하는 정수 142857은 857142에 해당하는 나머지를 곱하면 857142로 허용된다.
나머지 6에 해당하는 정수 857142는 5⁄6을 곱하면 571428로 허용된다. 즉, 6을 나누고 5를 곱하면 후자의 나머지 부분을 5로 곱한다.

이러한 방식으로 임의 수의 포지션에서 주기적인 좌 또는 우 시프트를 수행할 수 있다.

덜 중요한 것은 다음과 같은 이유로 이 기법을 임의의 정수에 적용하여 지정된 장소 수만큼 반복적으로 오른쪽 또는 왼쪽으로 이동할 수 있다는 점이다.

모든 반복적인 소수점들은 이성적인 숫자(굴절)로 표현될 수 있다.
모든 정수는 앞에 소수점을 추가하고 그 자체와 무한히 연결되었을 때 분수로 변환될 수 있다. 예를 들어, 우리는 이러한 방식으로 123456123456...으로 변환할 수 있다. 이것은 분수로 123456⁄999999999로 변환될 수 있다.이 분수는 더 단순화할 수 있지만 여기서 하지 않을 것이다.
정수 123456~234561을 허용하려면 123456에 234561⁄1234566을 곱하면 된다.이것은 부정행위처럼 보이지만 234561⁄123456이 정수(이 경우 그렇지 않음)이면 임무는 완료된다.

주기적 우측 시프트 작동 공식 증명

정수 X는 정수 n을 곱할 때 k 위치에 의해 순환적으로 오른쪽으로 이동한다. 그 공식을 증명한다.

증명

먼저 X는 반복적인 십진법의 반복 자릿수라는 것을 인식하며, 이 숫자는 항상 곱셈의 주기적 동작을 가지고 있다.그러면 정수 X와 그 다중 n X는 다음과 같은 관계를 갖게 된다.

정수 X는 dd_p_p-1...ddddd라고₃₂₁ 하는 분수 1⁄F의 반복 자릿수로, 여기서_p d, d_p-1, ..., d₃, d, d₂₁, d는 각각 한 자릿수를 나타내고 p는 자릿수를 나타낸다.
따라서 다중 n X는 dd_k_k-1...ddddd₃₂₁_p_p-1...dddd라고_k+2_k+1 하는 분수 n⁄F의 반복 자릿수로, k 위치의 우측 주기적 이동 후의 결과를 나타낸다.
1⁄F가 십진수로 표현될 때 선행 비반복 숫자가 발생하지 않도록 F는 10으로 복사해야 한다. 그렇지 않으면 반복적인 십진수가 곱셈의 주기적 동작을 갖지 않는다.
첫 번째 나머지를 n으로 하는 경우, 이 주기적인 순열이 이루어지기 위해 ½F에 대한 긴 분할의 (k + 1)번째 잔차가 되어야 한다.
n × 10^k = 1 (mod F)을 위해서 F는 F₀ = (n × 10^k - 1) 또는 F의₀ 계수여야 하지만 위에서 추론한 바와 같이 n 이하의 값과 10의 비교공통인자를 갖는 값은 제외해야 한다.

이것으로 증거가 완성되었다.

주기적 좌측 시프트 작동 공식 증명

정수 X 이동은 정수 n을 곱할 때 k 위치에 의해 주기적으로 남는다. 그 공식을 증명한다.

증명

먼저 X는 항상 곱셈에서 주기적인 동작을 갖는 반복적인 소수점이라는 것을 인식한다.그러면 정수 X와 그 다중 n X는 다음과 같은 관계를 갖게 된다.

정수 X는 dd_p_p-1...ddddd₃₂₁.
따라서 다중 n X는 dd_p-k_p-k-1...ddddd₃₂₁_p_p-1...ddd_p-k+1,dd,

이는 k 포지션의 좌회전 주기적 이동 후의 결과를 나타낸다.

F는 10으로 복사하여 ½F에 선행 비반복 숫자가 없도록 해야 하며 그렇지 않으면 반복 십진수가 곱셈의 주기적 동작을 갖지 않는다.
첫 번째 나머지를 1로 하는 경우, n은 이 주기적인 순열이 발생하기 위해 ½F 동안 긴 분할의 (k + 1)번째 잔차가 되어야 한다.
1 × 10^k = n (모드 F)의 순서로, F는₀ F = (10^k -n) 또는₀ F 계수 중 하나여야 하지만, 위에서 추론한 바와 같이 n 이하 값과 10이 아닌 공통 인자를 갖는 값은 제외해야 한다.

이것으로 증거가 완성되었다.½과 같은 비적분 승수에 대한 증거는 유사한 방법으로 도출될 수 있으며 여기에 문서화되지 않았다.

주기적 정수 이동

순열은 다음과 같을 수 있다.

단일 위치(기생수)에 의한 우회전;
두 개의 위치에 의해 반복적으로 우측 이동
임의의 위치에 따라 반복적으로 우측 이동
단일 위치에 의한 주기적 좌측 이동;
이중 위치에 의한 주기적 좌측 이동
임의의 위치 수에 따라 좌회전 주기

기생수

기생수에 n을 곱하면 주기적인 행동을 보일 뿐만 아니라 순열도 그렇게 되어 이제 기생수의 마지막 자리가 배수의 첫 번째 자리가 된다.예를 들어, 102564 x 4 = 410256.102564는 4⁄39의 반복 자릿수와 410256의 반복 자릿수 16⁄39의 반복 자릿수라는 점에 유의한다.

더블 포지션에 의한 우회전

정수 X를 정수 n으로 곱할 때 반복적으로 우측으로 이동하여 1⁄F( $F$ = n × 10² - 1) 또는 그 인수가 된다. 단, 1⁄F가 주기 길이를 2로 나눈 값(또는 동등하게, 3보다 작음)을 제외하고, $F$ 는 10분의 1로 나눈 값을 제외한다.

대부분 위에 맞는 가장 작은 $F$ 를 선택하는 것이 편리하다.

결과 요약

다음의 곱셈은 각각의 원래 정수의 마지막 두 자리를 처음 두 자리 숫자로 옮기고 다른 자리마다 오른쪽으로 이동시킨다.

승수 n	해결책	대표자	기타 솔루션
2	0050251256 2814070351 7587939698 4924623115 5778894472 3618090452 2613065326 6331658291 4572864321 608040201	½199 x 2 = 2/199 마침표 = 99, 즉 99개의 반복 자릿수.	2⁄199, 3⁄199, ..., 99⁄199
3	0033444816 0535117056 8561872909 6989966555 1839464882 9431438127 090301	½ x 3 = ½ 기간 = 66 299 = 13×23	2⁄299, 3⁄299, ..., 99⁄299 몇 가지 특별한 경우는 아래에 설명되어 있다.
3	076923	½13 x 3 = 3/13 마침표 = 6	2⁄13, 3⁄13, 4⁄13
3	0434782608 6956521739 13	½ x 3 = 3/23 기간 = 22	2⁄23, 3⁄23, ..., 7⁄23
4	0025062656 64160401	½399 x 4 = 4⁄399 기간 = 18 399 = 3×7×19	2⁄399, 3⁄399, ..., 99⁄399 몇 가지 특별한 경우는 아래에 설명되어 있다.
4	142857	1/7 x 4 = 4/7 마침표 = 6	-
4	0526315789 47368421	½19 x 4 = 4/19 기간 = 18	2⁄19, 3⁄19, 4⁄19
5	(주기가 498인 순환수)	½499 x 5 = 5/499 499는 완전한 파충류 프라임이다.	2⁄499, 3⁄499, ..., 99⁄499

참고:

299 = 13 x 23이며, 1⁄299의 기간은 반복 십진#일반화에 따라 LCM(6, 22) = 66이라는 공식에 의해 정확하게 결정된다.
399 = 3 x 7 x 19이며, ½399의 기간은 LCM(1, 6, 18) = 18이라는 공식에 의해 정확하게 결정된다.

그 밖에도 여러 가지 가능성이 있다.

단일 위치에 의한 주기적 좌측 이동

문제:정수 X 이동은 3을 곱할 때 단일 위치로 주기적으로 왼쪽으로 이동한다.X를 찾으십시오.

해결책:첫째로 X는 반복적인 소수점의 반복 숫자라는 것을 인식하며, 이 소수점들은 항상 승수에서 어떤 흥미로운 순환 동작을 가지고 있다.정수 X와 그 배수는 다음과 같은 관계를 갖는다.

정수 X는 ½****라고 하는 분수 ½F의 반복 자릿수다.
따라서 배수는 b***a라고 하는 분수 3⁄F의 반복 자릿수다.
이 주기적 순열이 일어나려면 3은 긴 눈금에서 다음 남은 1⁄F가 되어야 한다.따라서 $F$ 는 7이어야 하며 나머지 3은 1 x 10 gives 7이어야 한다.

이를 통해 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

X = 1⁄7의 반복 자릿수

=142857 및

배수 = 142857 × 3 = 428571, 반복 자릿수 3⁄7

다른 용액은 2/7 x 3 = 6/7로 표시된다.

285714 x 3 = 857142

다음과 같은 이유로 다른 해결책이 없다.

정수 n은 분수 1 ½F의 긴 분할의 후속 잔차여야 한다.n = 10 - F, F가 10과 동일시되어 1⁄F가 반복적인 소수점이어야 한다는 점을 감안하면, n은 10보다 작아야 한다.
n = 2의 경우 F는 10 - 2 = 8이어야 한다.그러나 1⁄8은 n = 5와 마찬가지로 반복적인 소수점을 생성하지 않는다.
n = 7의 경우 F는 10 - 7 = 3이어야 한다.그러나 7 > 3과 7⁄3 = 2.333 > 1은 목적에 맞지 않는다.
마찬가지로 n = 3을 제외하고 n이 10보다 작은 다른 정수에 대한 해법은 없다.

그러나 승수를 정수(추악하긴 하지만)로 제한하지 않으면 이 방법에서 나온 다른 해법이 많다.예를 들어, 정수 X가 3⁄2를 곱할 때 단일 위치에 의해 순환적으로 오른쪽으로 이동하면, 3은 2 ⁄F의 긴 분할에서 2 이후의 다음 잔차여야 한다.이는 F = 2 x 10 - 3 = 17을 추론하여 X를 2⁄17, 즉 1176470588235294의 반복 자릿수로 나타내며, 그 배수는 1764705882352941이다.

다음은 이러한 방식으로 발견된 일부 결과를 요약한 것이다.

멀티플라이어 ½	해결책	대표자	기타 솔루션
1⁄2	105263157894736842	2⁄19 × 1⁄2 = 1⁄19 2-기생수	기타 2-기생수: 4⁄19, 6⁄19, 8⁄19, 10⁄19, 12⁄19, 14⁄19, 16⁄19, 18⁄19
3⁄2	1176470588235294	2⁄17 × 3⁄2 = 3⁄17	4⁄17, 6⁄17, 8⁄17, 10⁄17
7⁄2	153846	2⁄13 × 7⁄2 = 7⁄13	-
9⁄2	18	2⁄11 × 9⁄2 = 9⁄11	-
7⁄3	1304347826086956521739	3⁄23 × 7⁄3 = 7⁄23	6⁄23, 9⁄23, 12⁄23, 15⁄23, 18⁄23, 21⁄23
19⁄4	190476	4⁄21 × 19⁄4 = 19⁄21	-

더블 포지션에 의한 주기적 좌측 이동

정수 X 이동은 정수 n을 곱할 때 주기적으로 왼쪽을 이중 위치로 바꾼다. X는 반복 자릿수인 1⁄F, $여기$ 서 F는 R = 10² - n 또는 $R$ 의 인수(또는 1/F가 2(또는 동등하게, 3 미만)로 나누어진 주기 길이를 갖는 $F$ 값을 제외한다. 그리고 F는 같은 시간에서 10까지 나누어야 한다.

대부분 위에 맞는 가장 작은 $F$ 를 선택하는 것이 편리하다.

결과 요약

다음은 숫자 사이의 공백이 숫자를 10자리 그룹으로 나누는 이런 방식으로 얻은 결과의 일부를 요약한 것이다.

승수 n	해결책	대표자	기타 솔루션
2	142857	1⁄7 × 2 = 2⁄7	2⁄7, 3⁄7
3	0103092783 5051546391 7525773195 8762886597 9381443298 9690721649 4845360824 7422680412 3711340206 185567	½97 x 3 = 3⁄97	2⁄97, 3⁄97, 4⁄97, 5⁄97, ...., 31⁄97, 32⁄97
4	해결책 없음	-	-
5	0526315789 47368421	½19 x 5 = 5/19	2⁄19, 3⁄19
6	0212765957 4468085106 3829787234 0425531914 893617	1⁄47 x 6 = 6⁄47	2⁄47, 3⁄47, 4⁄47, 5⁄47, 6⁄47, 7⁄47
7	0322580645 16129	½ x 7 = 7/31	2⁄31, 3⁄31, 4⁄31 1⁄93, 2⁄93, 4⁄93, 5⁄93, 7⁄93, 8⁄93, 10⁄93, 11⁄93, 13⁄93
8	0434782608 6956521739 13	½ x 8 = ½	2⁄23
9	076923	½13 x 9 = 9/13	1⁄91, 2⁄91, 3⁄91, 4⁄91, 5⁄91, 6⁄91, 8⁄91, 9⁄91, 10⁄91
10	해결책 없음	-	-
11	0112359550 5617977528 0898876404 4943820224 7191	1⁄89 x 11 = 11⁄89	2⁄89, 3⁄89, 4⁄89, 5⁄89, 6⁄89, 7⁄89, 8⁄89
12	해결책 없음	-	-
13	0344827586 2068965517 24137931	1⁄29 x 13 = 13⁄29	2⁄29 1⁄87, 2⁄87, 4⁄87, 5⁄87, 6⁄87
14	0232558139 5348837209 3	1/43 x 14 = 14/43	2⁄43, 3⁄43
15	0588235294 117647	½17 x 15 = 15⁄17	-

기타 베이스

2진법 시스템에서 전이 가능한 정수는 다음과 같다: (각각 10과 11의 경우 반전 2와 3을 사용)

승수 n	가장 작은 솔루션: 곱셈이 마지막 숫자를 왼쪽으로 이동	숫자	대표자	곱셈이 첫 번째 숫자를 오른쪽으로 이동하는 최소 솔루션	숫자	대표자
2	06316948421	Ɛ	½1 x 2 = 2⁄1ɛ	2497	4	1/5 x 2/5 = 2/5
3	2497	4	½ x 3 = 3/5	해결책 없음
4	0309236ᘔ8820 61647195441	1Ɛ	½3 x 4 = 4⁄3ɛ	해결책 없음
5	025355ᘔ94330 73ᘔ458409919 Ɛ7151	25	1⁄4ɛ x 5 = 5⁄4ɛ	186ᘔ35	6	1/7 x 5 = 5/7
6	020408142854 ᘔ997732650ᘔ1 83469163061	2Ɛ	½5 x 6 = 6⁄5ɛ	해결책 없음
7	01899Ɛ864406 Ɛ33ᘔᘔ1542391 374594930525 5Ɛ171	35	½ x 7 = 7 ½	해결책 없음
8	076Ɛ45	6	½17 x 8 = 8/317	해결책 없음
9	014196486344 59Ɛ9384Ɛ26Ɛ5 33040547216ᘔ 1155Ɛ3Ɛ12978 ᘔ3991	45	1⁄8ɛ x 9 = 9⁄8ɛ	해결책 없음
ᘔ	08579214Ɛ364 29ᘔ7	14	½ x ᘔ = =15	해결책 없음
Ɛ	011235930336 ᘔ53909ᘔ873Ɛ3 25819Ɛ997505 5Ɛ54ᘔ3145ᘔ42 694157078404 491Ɛ1	55	½ɛ x ɛ = ⁄⁄ɛ	해결책 없음

"단일 포지션에 의한 주기적 좌회전" 문제는 2와 5를 제외하고 12보다 작은 승수에 대한 해결책이 없으며, 3을 제외한 10보다 작은 승수에 대한 해결책이 10보다 작다는 점에 유의한다.

메모들

^ P. Yu, k-right-transportable 정수, Chap.18.1 '재발 수학'

참조

P. Yu, k-우측 전이 정수, k-좌측 전이 정수 CHAP.18.1, 18.2 페이지 168/360 '역리 수학', https://web.archive.org/web/20090901180500/https://math.fau.edu/Yiu/RecreationalMathematics2003.pdf
C. A. Pickover, Wonder of Numbers, 28장 옥스퍼드 대학 출판부 UK, 2000.
Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A092697 (For 1 <= n <= 9, a(n) = least number m such that the product n*m is obtained merely by shifting the rightmost digit of m to the left end)". The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences. OEIS Foundation.
가드너, 마틴수학 서커스:더 많은 퍼즐, 게임, 패러독스 그리고 과학 미국인의 다른 수학 오락.뉴욕:미국수학협회, 1979. 페이지 111-122.
칼만, 댄; '사이클링 디지트 패턴이 있는 찬양' 대학 수학 저널, 제27권, 제2권 (1996년 3월), 페이지 109–115.
레슬리, 존."산수철학: 1820년 ISBN 1-4020-1546-1, Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820년 "...의 이론과 실천에 대한 진보적 관점을 보여준다."
Wells, David; "호기심 많고 흥미로운 숫자의 펭귄 사전," Penguin Press.ISBN 0-14-008029-5

[1] P. Yu, k-right-transportable 정수, Chap.18.1 '재발 수학'

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분수법

적분 승수

분수승수

직접 표현

곱셈에 의한 주기순열

주기적 우측 시프트 작동 공식 증명

주기적 좌측 시프트 작동 공식 증명

주기적 정수 이동

기생수

더블 포지션에 의한 우회전

결과 요약

단일 위치에 의한 주기적 좌측 이동

더블 포지션에 의한 주기적 좌측 이동

결과 요약

기타 베이스

메모들

참조