큐브(알지브라)

y

= 1

x

x ≤

25

의 값에

대한 3

x

산술과 대수에서 숫자 $n$ 의 세제곱은 그 세 번째 힘, 즉 $n$ 의 세 가지 인스턴스(instance)를 함께 곱한 결과물이다. 숫자의 입방체나 다른 수학 식은 위첨자 3으로 표시된다 $. 3$ 예를 들어 2³ = 8 또는 $(x$ + 1)

큐브에는 제곱을 곱한 숫자도 있다.

n 3 = n \times n 2 = n \times n \times n

.

큐브 함수는 숫자를 큐브에 매핑하는 함수 $x$ ↦ $x 3$ ( $흔히$ y = $x$ 로³ 표시됨)이다. 으로서 기묘한 기능이다.

(- n) 3

= -

(n 3)

기하학적 입방체의 부피는 옆면 길이의 정육면체로서 이름이 생겨난다. 큐브가 $n$ 인 숫자를 찾는 것으로 구성된 역연산을 $n$ 의 큐브 루트를 추출하는 작업이라고 한다. 그것은 주어진 볼륨의 큐브 면을 결정한다. $또한$ 3분의 1의 세력으로 끌어올려진다.

큐브 함수의 그래프를 큐빅 포물선이라고 한다. 큐브함수는 홀수함수이기 때문에 이 곡선은 원점에 대칭의 중심이 있지만 대칭의 축은 없다.

정수로

큐브 숫자, 또는 완벽한 큐브, 또는 때로는 그냥 큐브인 숫자다. 최대 60개의³ 음이 아닌 완전 큐브는 다음과 같다(OEIS에서 순서 A000578).

0³ =	0
1³ =	1	11³ =	1331	21³ =	9261	31³ =	29,791	41³ =	68,921	51³ =	132,651
2³ =	8	12³ =	1728	22³ =	10,648	32³ =	32,768	42³ =	74,088	52³ =	140,608
3³ =	27	13³ =	2197	23³ =	12,167	33³ =	35,937	43³ =	79,507	53³ =	148,877
4³ =	64	14³ =	2744	24³ =	13,824	34³ =	39,304	44³ =	85,184	54³ =	157,464
5³ =	125	15³ =	3375	25³ =	15,625	35³ =	42,875	45³ =	91,125	55³ =	166,375
6³ =	216	16³ =	4096	26³ =	17,576	36³ =	46,656	46³ =	97,336	56³ =	175,616
7³ =	343	17³ =	4913	27³ =	19,683	37³ =	50,653	47³ =	103,823	57³ =	185,193
8³ =	512	18³ =	5832	28³ =	21,952	38³ =	54,872	48³ =	110,592	58³ =	195,112
9³ =	729	19³ =	6859	29³ =	24,389	39³ =	59,319	49³ =	117,649	59³ =	205,379
10³ =	1000	20³ =	8000	30³ =	27,000	40³ =	64,000	50³ =	125,000	60³ =	216,000

기하학적으로 말해서, 양수 $m$ 은 만약 한 사람이 m $고체$ 단위를 더 크고 단단한 큐브에 배열할 수 있다면 완벽한 큐브다. 예를 들어, 27개의 작은 큐브는 3 × 3 × 3 = 27이기 때문에 루빅 큐브의 외관과 함께 하나의 큰 큐브로 배열할 수 있다.

연속 정수의 입방체 차이는 다음과 같이 표현할 수 있다.

n 3 -

(

n

- 1

) 3

=

3(n

-

1)n

+ 1

또는

(n

+ 1

) 3

-

n 3

=

3(n

+

1)n

+ 1

음의 정수의 큐브가 음의 것이기 때문에 최소의 완벽한 큐브는 없다. 예를 들어, (-4) × (-4) × (-4) = -64.

베이스텐

완벽한 정사각형과 달리, 완벽한 정사각형은 마지막 두 자리 숫자에 대한 적은 수의 가능성을 가지고 있지 않다. 25자리, 75자리, 00자리만 마지막 두 자리수가 될 수 있는 5로 나누어질 수 있는 큐브를 제외하고, 마지막 자리 홀수를 가진 모든 자리 쌍은 완벽한 큐브의 마지막 자리수로 발생할 수 있다. 짝수 큐브를 사용하는 경우, $00$ , $o2$ , e4, $o6$ 및 $e8$ 에만 상당한 제한이 있으며, 여기서 $o$ 는 홀수 자릿수를 의미하며 $e$ 는 짝수 자릿수를 의미한다. 일부 입방체 숫자도 제곱 숫자인데, 예를 들어 64는 제곱 숫자(8 × 8)와 큐브 숫자(4 × 4 × 4)이다. 이는 숫자가 완벽한 6번째 전력(이 경우 2)일⁶ 경우에만 발생한다.

각 3전원의 마지막 자릿수는 다음과 같다.

0

1

8

7

4

5

6

3

2

9

그러나 모든 완벽한 큐브에는 디지털 루트 1, 8, 9가 있어야 하기 때문에 대부분의 숫자가 완벽한 큐브가 아니라는 것을 보여주는 것은 쉽다. 그것이 그들의 값 modulo 9는 0, 1, 8일 수 있다. 또한 숫자 큐브의 디지털 루트는 숫자를 3으로 나눌 때 숫자가 주는 나머지에 의해 결정될 수 있다.

만약 숫자 x가 3으로 나누어져 있다면, 그것의 큐브는 디지털 루트 9를 가지고 있다; 즉,
${\text{if}}\incess 0{\pmod{3}\incess{\text}\incipe 0{\pmod{9}}}\equiv 0{\pmod{27}{\text}}\inclipmod{\complete{\complete}}{\complete}}}}}}}{\text}}{\text})}};$
만약 그것이 3으로 나누었을 때 1의 나머지를 가지고 있다면, 그것의 큐브는 디지털 루트 1을 가지고 있다. 즉,
${\text{if}}\cHB x\equiv 1{\pmod{3}\data.{\text}}\iquiv 1{\pmod{9};$
만약 그것이 3으로 나누었을 때 2의 나머지를 가지고 있다면, 그것의 큐브는 디지털 루트 8을 가지고 있다. 즉,
${\text{if}}\cHB x\equiv 2{\pmod {3}\text{}}\cHB x^{3}\equiv 8{\pmod {9}}}.$

큐브에 대한 워링의 문제

모든 양의 정수는 9개(또는 그 이하) 양의 정육면체의 합으로 쓸 수 있다. 예를 들어, 23은 9개 미만의 양의 정육면체의 합으로 쓸 수 없기 때문에 9개의 정육면체의 상한은 줄일 수 없다.

23 = 2³ + 2³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³ + 1³.

정육면체 3개 합

모든 정수(양수 또는 $음수$ )가 ± $4$ modulo 9에 합치되지 않는 것은 무한히 많은 방법으로 정육면체 3개(양수 또는 음수)의 합으로 쓸 수 있다고 추측된다.^[1] 예를 들어, $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ = $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ + ( $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ - $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ ) $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ + $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ ( - $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ 1 ) 3 ${\$ 6= $2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{$ $6=2^{3}+(-1)^{3}+(-1)^{3}$ ±4 modulo $9$ 에 해당하는 정수는 3 입방체의 합으로 쓸 수 없기 때문에 제외된다.

그러한 합을 알 수 없는 가장 작은 정수는 114이다. 2019년 9월에 알려진 3-큐브 합계가 없는 가장 작은 정수(42)가 이 방정식을 만족하는 것으로 밝혀졌다.^[2]^{[better source needed]}

42=(-80538738812075974)^{3}+80435758145817515^{3}+12602123297335631^{3}.

$x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ + $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ + $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ 3 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ = $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ ${\displaystyle x^{3}+y^{3}+$ x^{3}+z $^{3$ } $}=n}$ 은(는) $n$ ≤ $78$ 에 대해 아래 표에 제시되어 있으며 $x^{3}+y^{3}+z^{3}=n$ , $n$ 은 $4$ $또는$ 5 modulo $9$ 에 합치되지 않는다. 선택된 용액은 $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ $용액$ ( $gcd ($ $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ $y,$ z) = $1$ ) $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ - c ) $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ + $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ = $c^{3}+(-c)^{3}+n^{3}=n^{3}$ 3 {\ $displaystyle$ c $^{3}+(-$ c)^{ $3}+$ n^{3}+ $n^{$ 3}+n^{3}+n^{ $3$ }}+n^{3} $}=n^{3}}$ or $(n+6nc^{3})^{3}+(n-6nc^{3})^{3}+(-6nc^{2})^{3}=2n^{3}$ (since they are infinite families of solutions), satisfies $0 \leq x \leq y \leq z$ , and has minimal values for $z$ and $y$ (tested in this order).^[3]^[4]^[5]

$n$ 의 작은 값에 대한 솔루션에서 비원리적인 솔루션만 사소한 추론할 수 있기 때문에 원시 솔루션만 선택된다. For example, for $n = 24$ , the solution $2^{3}+2^{3}+2^{3}=24$ results from the solution $1^{3}+1^{3}+1^{3}=3$ by multiplying everything by $8=2^{3}.$ Therefore, this is another solution that is selected. 마찬가지로 $n$ = $48$ 의 경우 용액 $(x,$ $y,$ $z)$ = $(-2, -2$ , 4 $)$ 이 제외되며, 이것이 선택되는 용액 $(x,$ $y,$ $z)$ = $(-23, -26, 31)$ 이다.

shown 1 ~ 78에 대한 primitive 솔루션
n	x	y	z	n	x	y	z
1	9	10	−12	39	117367	134476	−159380
2	1214928	3480205	−3528875	42	12602123297335631	80435758145817515	−80538738812075974
3	1	1	1	43	2	2	3
6	−1	−1	2	44	−5	−7	8
7	0	−1	2	45	2	−3	4
8	9	15	−16	46	−2	3	3
9	0	1	2	47	6	7	−8
10	1	1	2	48	−23	−26	31
11	−2	−2	3	51	602	659	−796
12	7	10	−11	52	23961292454	60702901317	−61922712865
15	−1	2	2	53	−1	3	3
16	−511	−1609	1626	54	−7	−11	12
17	1	2	2	55	1	3	3
18	−1	−2	3	56	−11	−21	22
19	0	−2	3	57	1	−2	4
20	1	−2	3	60	−1	−4	5
21	−11	−14	16	61	0	−4	5
24	−2901096694	−15550555555	15584139827	62	2	3	3
25	−1	−1	3	63	0	−1	4
26	0	−1	3	64	−3	−5	6
27	−4	−5	6	65	0	1	4
28	0	1	3	66	1	1	4
29	1	1	3	69	2	−4	5
30	−283059965	−2218888517	2220422932	70	11	20	−21
33	−2736111468807040	−8778405442862239	8866128975287528	71	−1	2	4
34	−1	2	3	72	7	9	−10
35	0	2	3	73	1	2	4
36	1	2	3	74	66229832190556	283450105697727	−284650292555885
37	0	−3	4	75	4381159	435203083	−435203231
38	1	−3	4	78	26	53	−55

큐브를 위한 페르마의 마지막 정리

$x 3$ + $y 3$ = $z 3$ 등식은 정수에 비교(즉, $xyz$ ≠ 0) $용액$ 이 없다. 사실 아이젠슈타인 정수에는 아무것도 없다.^[6]

$이 3$ 두 문장은 x + $y 3$ = $3z 3$ 등식에도^[7] 적용된다.

첫 번째 n 큐브의 합계

첫 $번째$ n 큐브의 합은 제곱한 n번째 삼각형 숫자:

1^{3}+2^{3}+\n^{3}=(1+2+\n+n)^{2}=\좌편향\frac(n+1){2}{2}}}}\오른쪽)^{2}

1³ + 2³ + 3 + 4³ + 5³ =(1 + 2 + 3 + 4 + 5)²라는³ 시각적 증거.

증명. Charles Wheatstone(1854)은 각 입방체를 연속된 홀수 집합으로 확장함으로써 특히 간단한 파생법을 제공한다. 그는 정체성을 주는 것으로 시작한다.

n^{3}=\underbrace {\reft(n^{2}-n+1+2\right)+\reft(n^{2}-n+1+4\right)+\left(n^{2}+n-1\right)} _{n{n\text}}}}}

이 ID는 다음과 같은 방법으로 $T_{n}$ 삼각형 숫자 $T_{n}$ n ${\$ 과(와) 관련이 있다.

n^{3}=\sum _{k=T_{n-1}+1}^{{n1}T_{n}}(2k-1),

따라서 n ${\$ n $^{3}$ 를 형성하는 요약은 이전 $1^{3}$ 1 ${\$ 1 $^{$ $(n-1)^{3}$ $}$ 까지를 $1^{3}$ 형성하는 것이 (n $n^{3}$ $(n-1)^{3}$ - $(n-1)^{3}$ ) $(n-1)^{3}$ ${\$ 까지를 형성한 후에 시작한다 $(n-1)^{3}$ 이 속성을 다른 잘 알려진 ID와 함께 적용한다.

n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1)

우리는 다음과 같은 파생어를 얻는다.

{\regated}\sum _{k=1}^{n^{3}&=1+8+27+64+\cdots +n^{3}}\\&,=\underbrace{1}_{1^{3}}+\underbrace(_{2^{3}}+\underbrace(_{3^{3}}+\underbrace(_{4^{3}}+\cdots+\underbrace{\left(n^{2}-n+1\right)+\cdots +\left(n^{2}+n-1\right)}_{n^{3}}\\&,=\underbrace{\underbrace{\underbrace{\underbrace{1}_{1^{2}}+3}_{2^{2}}+5}_{3^{2}}}_{\left({\fr +\left(n^{2}+n-1\right)+\cdots.교류{{2n^}}+n}{2}}\\오른쪽)^{2}}\\&=(1+2+\cdots +n)^{2}\\&={\bigg (}\sum _{k=1}^{n}k{\bigg )^{2}.\end{정렬}}

삼각형 숫자의 제곱이 입방체의 합과 같다는 것을 시각적으로 증명한다.

더 최근에는 수학적 문헌에서, 스타인:CITEREFStein1971( 도와 주))정체(;뷔르츠 2006년harvnb 오류:노 타깃:CITEREFBenjaminQuinnWurtz2006( 도와 주또한 벤자민이고, 퀸 & 보) 하는 기하학적 증거를 형성시키기 위해 그는 또한pr 수 있는지 관찰 이러한 숫자의 rectangle-counting 해석을 사용해harvtxt 오류:노 타깃(1971년).oved 쉽게(그러나 비정보적으로) 유도하여 토우플리츠(1963) 하브텍스트 오류: 목표 없음: CITREFToPLitz1963(도움말)은 "흥미로운 오래된 아랍어 교정"을 제공한다고 진술한다. Kanim (2004) provides a purely visual proof, Benjamin & Orrison (2002) provide two additional proofs, and Nelsen (1993) gives seven geometric proofs.

예를 들어, 처음 5개의 입방체의 합은 5번째 삼각형 숫자의 제곱이다.

1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}=15^{2}

첫 $번째$ y 홀수 큐브의 합에 대해 유사한 결과를 얻을 수 있다.

1^{3}+3^{3}+\cHB+(2y-1)^{3}=(xy)^{2}

그러나 $x$ , $y$ 는 음의 Pell $방정식 2$ x - $2y 2$ = $-1$ 을 만족해야 한다. $예$ 를 들어 y = 5 $및$ $29$ 의 경우

1^{3}+3^{3}+\cHB +9^{3}=(7\cdot 5)^{2}

1^{3}+3^{3}+\cHB +57^{3}=(41\cdot 29)^{2}

등등. 또한 가장 낮은 숫자를 제외한 모든 짝수 숫자는 처음 $2개$ 의^p−1/2
홀수 큐브의 합이다(p = 3, 5, 7, ...

28=2^{2}(2^{3}-1)=1^{3}+3^{3^{3}}

496=2^{4}(2^{5}-1)=1^{3}+3^{3}+5^{3}+5^{3}+7^{3}}

8128=2^{6}(2^{7}-1)=1^{3}+3^{3}+3^{3}+5^{3}+7^{3}+9^{3}+11^{3}+13^{3}+13^{3}+15^{3}}

산술 수열의 제곱합

플라톤의 숫자에 대한 하나의³ 해석, 3³ + 4 + 5³ = 6³

산술적 수열에서 숫자의 큐브(합이 큐브)의 예가 있다.

3^{3}+4^{3}+5^{3}+5^{3}}=6^{3}

11^{3}+12^{3}+13^{3}+14^{3}}=20^{3}

31^{3}+33^{3}+35^{3}+37^{3}+39^{3}+41^{3}}=66^{3}

첫 번째 것은 가끔 신비로운 플라톤의 번호로 확인되기도 한다. 공통 차이 $d$ 와 초기 큐브 $a$ 를³ 갖는 산술적 진행에서 n 큐브 숫자의 합을 찾기 위한 F $공식$ ,

F(d,a,n)=a^{3}+(a+d)^{3}+(a+2d)^{3}+\cdn-d)^{3}

에 의해 주어지다

F(d,a,n)=(n/4)(2a-d+dn)(2a^{2}-2ad+2adn-d^{2}n+d^{2

에 대한 파라메트릭 솔루션

F(d,a,n)=y^{3}

$d$ = $1$ 또는 연속 큐브의 특수한 경우로 알려져 있지만, $d$ = 2, 3, 5, 7, 11, 13, 37, 39 등과 같이 산발적인 용액만이 정수 $d$ > $1$ 에 대해 알려져 있다.^[8]

연속된 홀수 정수의 합으로 큐브

홀수 정수 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, ...의 순서에서 첫 번째 정수는 큐브(1 = 1³)이고, 다음 두 개의 합은 다음 정육면체(3 + 5 = 2³)이고, 다음 정수의 합은 다음 정육면체(7 + 9 + 11 = 3³)이다.

합리적인 숫자로

모든 양의 이성적 숫자는 세 개의 양의 이성적 정육면체의 합이며,^[9] 두 개의 이성적 정육면체의 합이 아닌 이성적 정육면체의 합이 있다.^[10]

실제 숫자, 기타 필드 및 링

y

= 데카르트 평면에

표시

된³ x

실제 숫자로 큐브 함수는 순서를 보존한다: 숫자가 클수록 큐브가 커진다. 즉 큐브(강력하게)가 단조롭게 늘어난다. 또한 그것의 코도메인은 전체 실선이다: 함수 $x$ ↦ $x 3$ : $R$ → $R$ 은 추론(가능한 모든 값을 취함)이다. -1, 0, 1의 3개 숫자만이 자체 큐브와 동일하다. 만약 $-1$ < $x$ < 0 $또는$ 1 < x, x > x. $만약 3$ $x$ < $-1$ 또는 0 < x < $1$ $>,$ x < $x 3$ < $x$ . 앞서 언급한 모든 속성은 실수의 더 높은 홀수 힘( $x 5$ , $x 7$ , ...)과도 관계가 있다. 평등과 불평등도 주문된 어떤 고리에서도 사실이다.

유사한 유클리드 고형물의 부피는 그 선형 크기의 정육면체와 관련이 있다.

복잡한 숫자로 보면 순전히 상상의 숫자의 입방체도 순전히 상상의 숫자다. $예$ 를³ 들어 i = $-i$ .

$x$ 의³ 파생상품은 $3배이다 2$ .

큐브는 $때때로$ p ≠ $1 (mod$ 3)이^[11]아닌 prime $p$ 에 $대한 p$ F와 같은 다른 분야에서 허탈한 속성을 가진다: 위의 합리성을 가진 counterrexample을 보라. 또한 $F$ 에서₇ 오직 3개의 원소 0, ±1은 총 7개의 완벽한 정사각형이다. -1, 0, 1은 어디에나 완벽한 큐브이며, 필드의 유일한 요소는 $x 3$ - $x$ = $x (x$ - 1 $)(x$ + 1)이다 $.$

역사

많은 수의 정육면체의 결정은 많은 고대 문명에서 매우 흔했다. 메소포타미아 수학자들은 구 바빌로니아 시대(기원전 20세기~16세기)까지 정육면체 및 정육면체 뿌리를 계산하기 위한 표를 가진 정육면체를 만들었다.^[12]^[13] 고대 그리스의 수학자 디오판투스에게는 큐빅 방정식이 알려져 있었다.^[14] 알렉산드리아의 영웅은 CE 1세기에 큐브 뿌리를 계산하는 방법을 고안했다.^[15] 큐빅 방정식을 풀고 큐브 뿌리를 추출하는 방법은 기원전 2세기경에 편찬된 중국 수학 문헌인 <수학적 예술에 관한 9장>^[16]에 나온다.

참고 항목

메모들

^ Huisman, Sander G. (27 Apr 2016). "Newer sums of three cubes". arXiv:1604.07746 [math.NT].
^ NEWS: 42의 미스터리는 해결되었다 - 번호판" https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw
^ OEIS에서 시퀀스 A060465, A060466 및 A060467
^ 스리큐브
^ n=x^3+y^3+z^3
^ 하디 & 라이트, 227년 목요일
^ 하디 & 라이트, 232년 목요일
^ "A Collection of Algebraic Identities".^{[영구적 데드링크]}
^ 하디 & 라이트, 234년 목요일
^ 하디 & 라이트, 233년 목요일
^ $F$ 의_p 곱셈 그룹은 순서 $p$ - $1$ 의 순환이며, 3으로 나누지 않으면 정육면체들은 그룹 자동화를 정의한다.
^ Cooke, Roger (8 November 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.
^ Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.
^ 반데르 베르덴, 고대문명의 기하학과 대수학, 제4장 취리히 1983 ISBN 0-387-12159-5
^ Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.
^ Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

참조

Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
Wheatstone, C. (1854), "On the formation of powers from arithmetical progressions", Proceedings of the Royal Society of London, 7: 145–151, Bibcode:1854RSPS....7..145W, doi:10.1098/rspl.1854.0036.

[1] Huisman, Sander G. (27 Apr 2016). "Newer sums of three cubes". arXiv:1604.07746 [math.NT].

[2] NEWS: 42의 미스터리는 해결되었다 - 번호판" https://www.youtube.com/watch?v=zyG8Vlw5aAw

[3] OEIS에서 시퀀스 A060465, A060466 및 A060467

[4] 스리큐브

[5] =x^3+y^3+z^3

[6] 하디 & 라이트, 227년 목요일

[7] 하디 & 라이트, 232년 목요일

[8] "A Collection of Algebraic Identities".^{[영구적 데드링크]}

[9] 하디 & 라이트, 234년 목요일

[10] 하디 & 라이트, 233년 목요일

[11] $F$ 의_p 곱셈 그룹은 순서 $p$ - $1$ 의 순환이며, 3으로 나누지 않으면 정육면체들은 그룹 자동화를 정의한다.

[12] Cooke, Roger (8 November 2012). The History of Mathematics. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0.

[nen-13] Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). Daily Life in Ancient Mesopotamia. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6.

[14] 반데르 베르덴, 고대문명의 기하학과 대수학, 제4장 취리히 1983 ISBN 0-387-12159-5

[15] Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". Hermathena. Trinity College Dublin. 19 (42): 64–67. JSTOR 23037103.

[oxf-16] Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0.

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