월스텐홀름 프라임

월스텐홀름 프라임
이름을 따서 명명됨	조지프 울스텐홀름
발행년도	1995
출판사 저자	매킨토시, R. J.
No. 알려진.	2
용어의 추측	무한
부분적합성	불규칙 소수
제1항	16843, 2124679
가장 큰 알려진 용어	2124679
OEIS 지수	A088164; Wolstenholme primes: primes p (2p-1,p-1) == 1 (mod p^4);

수 이론에서, 월스텐홀름 프라임은 월스텐홀름의 정리의 더 강한 버전을 만족하는 특별한 유형의 프라임 넘버다. Wolstenholme의 정리는 3보다 큰 모든 소수들이 만족하는 일치 관계다. Wolstenholme primes는 수학자 Joseph Wolstenholme의 이름을 따서 명명되었는데, 그는 19세기에 이 정리를 처음 기술했다.

이러한 프라임에 대한 관심은 페르마의 마지막 정리와의 연관성 때문에 처음 생겨났다. Wolstenholme primes는 또한 2보다 큰 모든 양의 정수에 대한 정리의 진실에 대한 증거를 일반화할 수 있다는 희망으로 연구된 다른 특별한 숫자의 부류와도 관련이 있다.

유일하게 알려진 Wolstenholme 프라임은 16843과 2124679이다(OEIS에서 연속 A088164). 10번⁹ 이하의 월스텐홀름도 없다.^[2]

정의

수학의 미해결 문제:

16843번과 2124679번 외에 월스텐홀름 프리마임이 있는가?

(수학에서 더 풀리지 않은 문제)

Wolstenholme prime은 여러 가지 동등한 방법으로 정의될 수 있다.

이항 계수를 통한 정의

월스텐홀름 소수(Wolstenholme prime)는 합치를 만족하는 소수 p > 7이다.

{2p-1 \p-1\equiv 1{\pmod{p^{4}},

여기서 왼쪽의 식이 이항 계수를 나타낸다.^[3] 이에 비해 Wolstenholme의 정리에는 모든 p > 3에 대해 다음과 같은 합치가 유지된다고 명시되어 있다.

{2p-1 \p-1\equiv 1{\pmod{p^{3}}을(를) 선택하십시오.

베르누이 숫자를 통한 정의

월스텐홀름 소수(Wolstenholme prime)는 베르누이 숫자 B의_p−3 분자를 나누는 소수 p이다.^[4]^[5]^[6] 그러므로 Wolstenholme 프리타임은 불규칙 프리타임의 서브셋을 형성한다.

불규칙한 쌍을 통한 정의

Wolstenholme prime은 (p, p–3)가 불규칙한 쌍일 정도로 prime p이다.^[7]^[8]

고조파 숫자를 통한 정의

Wolstenholme prime은 다음과^[9] 같은 prime p이다.

H_{p-1}\equiv 0{\pmod{p^{3}}}\...

즉, 가장 낮은 용어로 표현된 $H_{p-1}$ 조화수 $H_{p-1}$ p $H_{p-1}$ - $H_{p-1}$ ${\$ 의 분자는 p로³ 구분된다.

검색 및 현재 상태

월스텐홀름 프리메스에 대한 검색은 1960년대에 시작되어 다음 수십 년 동안 계속되었으며, 가장 최근의 결과는 2007년에 발표되었다. 최초의 월스텐홀름 프라임은 1964년에 발견되었는데, 당시에는 명시적으로 보고되지 않았다.^[10] 1964년 발견은 이후 1970년대에 독자적으로 확인되었다. 1993년 제2회 월스텐홀름 프라임 2124679가 발견될 때까지 거의 20년 동안 이러한 프라임의 유일한 사례로 남아 있었다.^[11] 1.2×10까지⁷, 더 이상 월스텐홀름 프리마임이 발견되지 않았다.^[12] 이것은 1995년 맥킨토시에 의해 2×10까지⁸ 확장되었고 트레비산 & 웨버는 2.5×10까지⁸ 도달할 수 있었다.^[13] 2007년 현재 가장 최근의 결과는 10번까지⁹ 두 번의 월스텐홀름밖에 없다는 것이다.^[14]

Wolstenholme 프라임 수 예상

무한히 많은 월스텐홀름 프리마임이 존재한다고 추측된다. 월스텐홀름의 소수점 x x는 ln x에 대한 것으로 추측되는데, 여기서 ln은 자연 로그(natural logarithm)를 나타낸다. 각 프라임 p 5 5에 대해 월스텐홀름 지수는 다음과 같이 정의된다.

W_{p}{=}{\frac {{2p-1 \선택 p-1}{p^{3}}}.

분명히 p는 W_p ≡ 0 (mod p)일 경우에만 Wolstenholme prime이다. 경험적으로 사람들은_p W modulo p의 잔여물이 집합 {0, 1, ..., p–1}에 균일하게 분포되어 있다고 가정할 수 있다. 이 추론에 의해, 나머지가 특정 값(예: 0)을 차지할 확률은 약 1/p이다.^[5]

참고 항목

메모들

^ Wolstenholme 프리타임은 McIntosh 1995, 페이지 385에서 McIntosh에 의해 처음 설명되었다.
^ Weisstein, Eric W. "Wolstenholme prime". MathWorld.
^ Cook, J. D. "Binomial coefficients". Retrieved 21 December 2010.
^ 클라크 & 존스 2004, 553페이지.
^ ^a ^b ^c 매킨토시 1995, 페이지 387.
^ 자오 2008 페이지 25.
^ 존슨 1975, 페이지 114.
^ Buller 외 1993, 페이지 152.
^ 자오 2007, 페이지 18.
^ 셀리지와 폴락은 셀리지&폴락 1964, 페이지 97에서 첫 월스텐홀름 프라임을 발표했다(McIntosh & Roetger 2007, 페이지 2092 참조).
^ 리벤보임 2004, 23페이지.
^ 자오 2007, 페이지 25.
^ Trevisan & Weber 2001, 페이지 283–284.
^ 매킨토시 & 로에터 2007, 페이지 2092.

참조

Selfridge, J. L.; Pollack, B. W. (1964), "Fermat's last theorem is true for any exponent up to 25,000", Notices of the American Mathematical Society, 11: 97
Johnson, W. (1975), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants" (PDF), Mathematics of Computation, 29 (129): 113–120, doi:10.2307/2005468, JSTOR 2005468 WebCite에 2010-12-20 보관
Buhler, J.; Crandall, R.; Ernvall, R.; Metsänkylä, T. (1993), "Irregular Primes and Cyclotomic Invariants to Four Million" (PDF), Mathematics of Computation, 61 (203): 151–153, Bibcode:1993MaCom..61..151B, doi:10.2307/2152942, JSTOR 2152942 WebCite에 보관된 2010-11-12
McIntosh, R. J. (1995), "On the converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Acta Arithmetica, 71 (4): 381–389, doi:10.4064/aa-71-4-381-389 WebCite에 2010-11-08 보관
Trevisan, V.; Weber, K. E. (2001), "Testing the Converse of Wolstenholme's Theorem" (PDF), Matemática Contemporânea, 21: 275–286 WebCite에 보관된 2010-12-10
Ribenboim, P. (2004), "Chapter 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime", The Little Book of Bigger Primes, New York: Springer-Verlag New York, Inc., ISBN 978-0-387-20169-6 WebCite에 보관된 2010-11-24
Clarke, F.; Jones, C. (2004), "A Congruence for Factorials" (PDF), Bulletin of the London Mathematical Society, 36 (4): 553–558, doi:10.1112/S0024609304003194 WebCite에 2011-01-02 보관
McIntosh, R. J.; Roettger, E. L. (2007), "A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes" (PDF), Mathematics of Computation, 76 (260): 2087–2094, Bibcode:2007MaCom..76.2087M, doi:10.1090/S0025-5718-07-01955-2 WebCite에 보관된 2010-12-10
WebCite에 Zhao, J. (2007), "Bernoulli numbers, Wolstenholme's theorem, and p⁵ variations of Lucas' theorem" (PDF), Journal of Number Theory, 123: 18–26, doi:10.1016/j.jnt.2006.05.005, S2CID 937685보관된 2010-11-12
Zhao, J. (2008), "Wolstenholme Type Theorem for Multiple Harmonic Sums" (PDF), International Journal of Number Theory, 4 (1): 73–106, doi:10.1142/s1793042108001146 WebCite에 보관된 2010-11-27

추가 읽기

Babbage, C. (1819), "Demonstration of a theorem relating to prime numbers", The Edinburgh Philosophical Journal, 1: 46–49
Krattenthaler, C.; Rivoal, T. (2009), "On the integrality of the Taylor coefficients of mirror maps, II", Communications in Number Theory and Physics, 3 (3): 555–591, arXiv:0907.2578, Bibcode:2009arXiv0907.2578K, doi:10.4310/CNTP.2009.v3.n3.a5
Wolstenholme, J. (1862), "On Certain Properties of Prime Numbers", The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics, 5: 35–39

외부 링크

콜드웰, 크리스 K. 프라임 용어집의 월스텐홀름 프라임
매킨토시, 2004년 3월 현재 R. J. Wolstenholme 검색 현황
Bruck, R. Wolstenholme의 정리, 스털링 수, 이항 계수
콘래드, K. Wolstenholme 프라임 두 개를 이용한 조화 총량의 p-adic 성장 흥미로운 관찰

[1] Wolstenholme 프리타임은 McIntosh 1995, 페이지 385에서 McIntosh에 의해 처음 설명되었다.

[2] Weisstein, Eric W. "Wolstenholme prime". MathWorld.

[3] Cook, J. D. "Binomial coefficients". Retrieved 21 December 2010.

[FOOTNOTEClarkeJones2004553-4] 클라크 & 존스 2004, 553페이지.

[FOOTNOTEMcIntosh1995387-5] 매킨토시 1995, 페이지 387.

[FOOTNOTEZhao200825-6] 자오 2008 페이지 25.

[FOOTNOTEJohnson1975114-7] 존슨 1975, 페이지 114.

[FOOTNOTEBuhlerCrandallErnvallMetsänkylä1993152-8] Buller 외 1993, 페이지 152.

[FOOTNOTEZhao200718-9] 자오 2007, 페이지 18.

[10] 셀리지와 폴락은 셀리지&폴락 1964, 페이지 97에서 첫 월스텐홀름 프라임을 발표했다(McIntosh & Roetger 2007, 페이지 2092 참조).

[FOOTNOTERibenboim200423-11] 리벤보임 2004, 23페이지.

[FOOTNOTEZhao200725-12] 자오 2007, 페이지 25.

[FOOTNOTETrevisanWeber2001283–284-13] Trevisan & Weber 2001, 페이지 283–284.

[FOOTNOTEMcIntoshRoettger20072092-14] 매킨토시 & 로에터 2007, 페이지 2092.

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v t 프라임 번호 클래스
수식별	페르마( $2 2 n$ + $1$ ) 메르센( $2 p$ - $1$ ) 더블 메르센( $2 2 p -1$ - $1$ ) 와그스태프( $2 p +1)/3$ 프로트( $k /2 n$ + $1$ ) 요인( $n!$ ± $1$ ) 원시적( $p n #$ ± $1$ ) 유클리드( $p n #$ + $1$ ) 피타고라스 ( $4n$ + 1) 삐에폰트(2 $/3 m n$ + $1$ ) 쿼탄( $x 4 4$ + y) 솔리나스( $2 m$ ± 2 ± $1 n$ ) 컬렌 ( $n \cdot2 n$ + $1$ ) 우달( $n /2 n$ - $1$ ) 쿠바어( $x 3 3$ - y $)/(x$ - $y$ ) 레이랜드( $x y x$ + y) 타비트( $3/2 n$ - $1$ ) 윌리엄스 ( $b-1)\cdot b n$ - $1$ ) 밀스(⌊ $A 3 n ⌋)$
정수순별	피보나치 루카스 펠 뉴먼-상크스-윌리엄스 페린 파티션 벨 모츠킨
재산별	위페리히 (페어) 월선 월스텐홀름 윌슨 럭키 행운의 라마누잔 필라이 정규 강하다 선미 초점수(엘리프틱 곡선) 슈퍼싱글러 (달빛설) 좋아 잘 하는 군요 힉스 매우 편협한
기저 의존적	팔린드로믹 에미르프 재단위 $(10 n$ - 1 $)/9$ 퍼머블 원형 잘릴 수 있음 미니멀 섬세한 프라임벌 풀 파충류 유니크 행복하다 셀프 스마란다체-웰린 스트로보그램법 디헤드랄 테트라디어
패턴	트윈( $p,$ p + $2$ ) 바이-트윈 체인( $n$ - 1 $, n$ + 1 $, 2n$ - 1 $, 2n$ + 1, $\dots)$ 트리플릿( $p,$ $p$ + 2 $또는$ $p$ + 4 $, p$ + $6$ ) 쿼드러플릿( $p,$ $p$ + 2 $,$ $p$ + 6 $, p$ + $8$ ) k-투플 사촌( $p,$ p + $4$ ) 섹시( $p,$ p + $6$ ) 첸 소피 제르맹/세이프( $p, 2p$ + $1$ ) 커닝햄( $p, 2p$ ± 1, $4p$ ± 3, $8p$ ± 7, $...)$ 산술수열( $p$ + $a\cdotn,$ $n$ = $0,$ 1, 2 $, 3$ , $...)$ 균형( $연속$ $p$ - $n,$ $p,$ p + $n$ )
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