비코토티엔트

Noncototient

수학에서 비코티엔트는 양의 정수 m과 그 아래의 조합 정수의 수로 표현할 수 없는 양의 정수 n이다.즉, m - φ(m) = n, 여기서 φ은 오일러의 토털함수를 의미하며 m에 대한 해법이 없다.n의 cototient는 n - φ(n)로 정의되므로 notototient는 결코 cototient가 아닌 숫자다.

모든 비코토틴이 고른 것으로 추측된다.이것은 골드바흐 추측의 약간 더 강한 버전의 변형된 형태에서 따온 것이다: 짝수 n이 두 개의 뚜렷한 p와 q의 합으로 표현될 수 있다면, 그 다음이다.

짝수 6보다 큰 모든 숫자는 두 개의 뚜렷한 소수인 것으로 예상되므로 아마도 5보다 큰 홀수는 비코토티스트일 것이다.나머지 홀수들은 1= -( ), = -( 9)에 의해 다루어진다 1 = 9및 = = 25 -()

짝수 숫자에 대해서는, 그것을 표시할 수 있다.

따라서 n+2가 p, q+1)*(q+1)로 기록될 수 있는 모든 짝수 n은 cototients이다.

처음 몇 명의 비코틴 환자는

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490, ... (sequence A005278 in the OEIS)

n의 cottent는

0, 1, 1, 2, 1, 4, 1, 4, 3, 6, 1, 8, 1, 8, 7, 8, 1, 12, 1, 12, 9, 12, 1, 16, 5, 14, 9, 16, 1, 22, 1, 16, 13, 18, 11, 24, 1, 20, 15, 24, 1, 30, 1, 24, 21, 24, 1, 32, 7, 30, 19, 28, 1, 36, 15, 32, 21, 30, 1, 44, 1, 32, 27, 32, 17, 46, 1, 36, 25, 46, 1, 48, ... (sequence A051953 in the OEIS)

k의 cotient가 n인 최소 k (n = 0으로 시작, k가 존재하지 않는 경우 0)

1, 2, 4, 9, 6, 25, 10, 15, 12, 21, 0, 35, 18, 33, 26, 39, 24, 65, 34, 51, 38, 45, 30, 95, 36, 69, 0, 63, 52, 161, 42, 87, 48, 93, 0, 75, 54, 217, 74, 99, 76, 185, 82, 123, 60, 117, 66, 215, 72, 141, 0, ... (sequence A063507 in the OEIS)

k의 cotient가 n인 최대 k (n = 0으로 시작, k가 존재하지 않는 경우 0)

1, ∞, 4, 9, 8, 25, 10, 49, 16, 27, 0, 121, 22, 169, 26, 55, 32, 289, 34, 361, 38, 85, 30, 529, 46, 133, 0, 187, 52, 841, 58, 961, 64, 253, 0, 323, 68, 1369, 74, 391, 76, 1681, 82, 1849, 86, 493, 70, 2209, 94, 589, 0, ... (sequence A063748 in the OEIS)

k-162(k)가 n인 ks 수(n = 0으로 시작)

1, ∞, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 3, 2, 0, 2, 3, 2, 1, 2, 3, 3, 1, 3, 1, 3, 1, 4, 4, 3, 0, 4, 1, 4, 3, 3, 4, 3, 0, 5, 2, 2, 1, 4, 1, 5, 1, 4, 2, 4, 2, 6, 5, 5, 0, 3, 0, 6, 2, 4, 2, 5, 0, 7, 4, 3, 1, 8, 4, 6, 1, 3, 1, 5, 2, 7, 3, ... (sequence A063740 in the OEIS)

에르데스(1913-1996)와 시에르핀스키(1882-1969)는 무한히 많은 비코토티스트가 존재하는지 물었다.이것은 결국 Browkin과 Schinzel(1995)에 의해 긍정적으로 대답되었는데, 그는 무한가족 2이 예시임을 보여주었다(리젤 번호 참조).그 이후 플람멘캄프와 루카(2000년)에 의해 거의 같은 형태의 다른 무한가족이 주어졌다.

n k-16(k) = n과 같은 숫자 k n k-16(k) = n과 같은 숫자 k n k-16(k) = n과 같은 숫자 k n k-16(k) = n과 같은 숫자 k
1 모든 시간 37 217, 1369 73 213, 469, 793, 1333, 5329 109 321, 721, 1261, 2449, 2701, 2881, 11881
2 4 38 74 74 146 110 150, 182, 218
3 9 39 99, 111, 319, 391 75 207, 219, 275, 355, 1003, 1219, 1363 111 231, 327, 535, 1111, 2047, 2407, 2911, 3127
4 6, 8 40 76 76 148 112 196, 208
5 25 41 185, 341, 377, 437, 1681 77 245, 365, 497, 737, 1037, 1121, 1457, 1517 113 545, 749, 1133, 1313, 1649, 2573, 2993, 3053, 3149, 3233, 12769
6 10 42 82 78 114 114 226
7 15, 49 43 123, 259, 403, 1849 79 511, 871, 1159, 1591, 6241 115 339, 475, 763, 1339, 1843, 2923, 3139
8 12, 14, 16 44 60, 86 80 152, 158 116
9 21, 27 45 117, 129, 205, 493 81 189, 237, 243, 781, 1357, 1537 117 297, 333, 565, 1177, 1717, 2581, 3337
10 46 66, 70 82 130 118 174, 190
11 35, 121 47 215, 287, 407, 527, 551, 2209 83 395, 803, 923, 1139, 1403, 1643, 1739, 1763, 6889 119 539, 791, 1199, 1391, 1751, 1919, 2231, 2759, 3071, 3239, 3431, 3551, 3599
12 18, 20, 22 48 72, 80, 88, 92, 94 84 164, 166 120 168, 200, 232, 236
13 33, 169 49 141, 301, 343, 481, 589 85 165, 249, 325, 553, 949, 1273 121 1331, 1417, 1957, 3397
14 26 50 86 122
15 39, 55 51 235, 451, 667 87 415, 1207, 1711, 1927 123 1243, 1819, 2323, 3403, 3763
16 24, 28, 32 52 88 120, 172 124 244
17 65, 77, 289 53 329, 473, 533, 629, 713, 2809 89 581, 869, 1241, 1349, 1541, 1769, 1829, 1961, 2021, 7921 125 625, 1469, 1853, 2033, 2369, 2813, 3293, 3569, 3713, 3869, 3953
18 34 54 78, 106 90 126, 178 126 186
19 51, 91, 361 55 159, 175, 559, 703 91 267, 1027, 1387, 1891 127 255, 2071, 3007, 4087, 16129
20 38 56 98, 104 92 132, 140 128 192, 224, 248, 254, 256
21 45, 57, 85 57 105, 153, 265, 517, 697 93 261, 445, 913, 1633, 2173 129 273, 369, 381, 1921, 2461, 2929, 3649, 3901, 4189
22 30 58 94 138, 154 130
23 95, 119, 143, 529 59 371, 611, 731, 779, 851, 899, 3481 95 623, 1079, 1343, 1679, 1943, 2183, 2279 131 635, 2147, 2507, 2987, 3131, 3827, 4187, 4307, 4331, 17161
24 36, 40, 44, 46 60 84, 100, 116, 118 96 144, 160, 176, 184, 188 132 180, 242, 262
25 69, 125, 133 61 177, 817, 3721 97 1501, 2077, 2257, 9409 133 393, 637, 889, 3193, 3589, 4453
26 62 122 98 194 134
27 63, 81, 115, 187 63 135, 147, 171, 183, 295, 583, 799, 943 99 195, 279, 291, 979, 1411, 2059, 2419, 2491 135 351, 387, 575, 655, 2599, 3103, 4183, 4399
28 52 64 96, 112, 124, 128 100 136 268
29 161, 209, 221, 841 65 305, 413, 689, 893, 989, 1073 101 485, 1157, 1577, 1817, 2117, 2201, 2501, 2537, 10201 137 917, 1397, 3161, 3317, 3737, 3977, 4661, 4757, 18769
30 42, 50, 58 66 90 102 202 138 198, 274
31 87, 247, 961 67 427, 1147, 4489 103 303, 679, 2263, 2479, 2623, 10609 139 411, 1651, 3379, 3811, 4171, 4819, 4891, 19321
32 48, 56, 62, 64 68 134 104 206 140 204, 220, 278
33 93, 145, 253 69 201, 649, 901, 1081, 1189 105 225, 309, 425, 505, 1513, 1909, 2773 141 285, 417, 685, 1441, 3277, 4141, 4717, 4897
34 70 102, 110 106 170 142 230, 238
35 75, 155, 203, 299, 323 71 335, 671, 767, 1007, 1247, 1271, 5041 107 515, 707, 1067, 1691, 2291, 2627, 2747, 2867, 11449 143 363, 695, 959, 1703, 2159, 3503, 3959, 4223, 4343, 4559, 5063, 5183
36 54, 68 72 108, 136, 142 108 156, 162, 212, 214 144 216, 272, 284

참조

  • Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). "On integers not of the form n-φ(n)". Colloq. Math. 68 (1): 55–58. Zbl 0820.11003.
  • Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). "Infinite families of noncototients". Colloq. Math. 86 (1): 37–41. Zbl 0965.11003.
  • Guy, Richard K. (2004). Unsolved problems in number theory (3rd ed.). Springer-Verlag. pp. 138–142. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.

외부 링크