Black–Scholes 모형

Black–Scholes / ˌbl æk ˈʃo ʊz / 또는 Black–Scholes–Merton 모델은 다양한 기본 가정을 사용하여 파생 투자 상품을 포함하는 금융 시장의 역학에 대한 수학적 모델입니다. 블랙-숄즈 방정식으로 알려진 모델의 포물선 편미분 방정식에서 블랙-숄즈 공식을 추론할 수 있습니다. 이는 유럽형 옵션의 가격에 대한 이론적 추정치를 제공하며, 옵션이 보안의 위험과 예상 수익률을 고려할 때 고유한 가격을 갖는다는 것을 보여줍니다(대신 보안의 기대 수익률을 위험 중립 비율로 대체). 방정식과 모델은 경제학자 Fischer Black과 Myron Scholes; Robert C의 이름을 따서 지어졌습니다. 이 주제에 대해 처음으로 학술 논문을 쓴 머튼은 가끔 인정을 받기도 합니다.

모델의 주요 원리는 위험을 제거하기 위해 특정 방식으로 기초 자산을 사고팔아 옵션을 헤지하는 것입니다. 이러한 유형의 헤지를 "지속적으로 수정된 델타 헤지"라고 하며 투자 은행과 헤지 펀드가 참여하는 것과 같은 보다 복잡한 헤지 전략의 기초가 됩니다.

이 모델은 옵션 시장 참가자들에 의해 종종 약간의 조정이 있지만 널리 사용됩니다.^{[2]: 751} 모델의 가정은 여러 방향에서 완화되고 일반화되어 현재 파생 가격 및 위험 관리에 사용되는 모델이 지나치게 많습니다. Black-Scholes 공식에 의해 예시된 바와 같이, 모델의 통찰력은 실제 가격과 구별되어 시장 참가자들에 의해 자주 사용됩니다. 이러한 통찰에는 무차익 거래 한도 및 위험 중립 가격(지속적인 수정 덕분)이 포함됩니다. 또한 옵션의 가격을 결정하는 편미분 방정식인 Black-Scholes equation은 명시적인 공식이 불가능할 때 수치적 방법을 사용하여 가격을 결정할 수 있습니다.

Black-Scholes 공식에는 시장에서 직접 관찰할 수 없는 파라미터가 하나 있습니다: 다른 옵션의 가격에서 찾을 수 있지만, 기초 자산의 평균 미래 변동성입니다. 옵션 값(풋이든 콜이든)이 이 파라미터에서 증가하므로 이 값을 반전하여 OTC 파생 모델과 같은 다른 모델을 보정하는 데 사용할 수 있는 "변동성 표면"을 생성할 수 있습니다.

역사

경제학자 Fischer Black과 Myron Scholes는 1968년에 포트폴리오를 동적으로 수정하면 예상되는 증권 수익률이 제거되어 위험 중립적인 주장을 제시한다는 것을 보여주었습니다.^[3][4] 그들은 그들의 생각을 Louis Bachelier, Sheen Kassouf, Edward O를 포함한 시장 연구자들과 실무자들이 이전에 했던 연구에 기반을 두고 있습니다. Thorp. 블랙 앤 스콜스는 그 후 이 공식을 시장에 적용하려고 시도했지만, 그들의 거래에서 위험 관리의 부족으로 인해 재정적 손실을 입었습니다. 1970년, 그들은 학업 환경으로 돌아가기로 결정했습니다.^[5] 3년간의 노력 끝에, 그들이 그것을 공개한 것을 기리기 위해 명명된 이 공식은 마침내 1973년에 "옵션과 기업부채의 가격결정"이라는 제목의 기사로 정치경제학 저널에 실렸습니다.^[6][7][8] 로버트 C. 머튼은 옵션 가격 모델에 대한 수학적 이해를 확장하는 논문을 최초로 발표했으며, "Black–Scholes 옵션 가격 모델"이라는 용어를 만들었습니다.

이 공식은 옵션 거래의 붐을 일으켰고 시카고 이사회 옵션 거래소와 전 세계 다른 옵션 시장의 활동에 수학적 정당성을 제공했습니다.^[9]

Merton and Scholes는 1997년 노벨 경제학상을 수상했는데, 위원회는 위험 중립 동적 수정을 발견한 것이 근본적인 보안의 위험으로부터 그 선택을 분리하는 획기적인 것이라고 언급했습니다.^[10] 비록 1995년 그의 사망으로 인해 그 상을 받을 자격이 되지 못했지만, 블랙은 스웨덴 아카데미에 의해 기고자로 언급되었습니다.^[11]

기본 가설

Black-Scholes 모형은 시장이 일반적으로 주식이라고 불리는 적어도 하나의 위험 자산과 일반적으로 화폐 시장, 현금 또는 채권이라고 불리는 위험이 없는 하나의 자산으로 구성된다고 가정합니다.

자산(자산의 이름과 관련)에 대해 다음과 같이 가정합니다.

• 무위험률: 무위험 자산의 수익률은 일정하므로 무위험 이자율이라고 합니다.
• 임의 보행: 주가의 순간 로그 수익률은 드리프트가 있는 무한소 랜덤 워크이며, 보다 정확하게는 주가는 기하 브라운 운동을 따르며, 움직임의 드리프트와 변동성은 일정하다고 가정합니다. 드리프트와 변동성이 시간에 따라 변하는 경우 변동성이 무작위가 아닌 한 적절하게 수정된 Black-Scholes 공식을 추론할 수 있습니다.
• 주식은 배당금을 지급하지 않습니다.^{[Notes 1]}

시장에 대한 가정은 다음과 같습니다.

• 차익거래 기회가 없습니다(즉, 무위험 수익을 낼 방법이 없습니다).
• 일부 금액이라도 현금을 무위험 요금으로 빌리고 빌려줄 수 있는 능력.
• 주식의 일부라도 사고 팔 수 있는 능력(공매도 포함).
• 위의 거래는 수수료나 비용(즉, 마찰이 없는 시장)을 발생시키지 않습니다.

이러한 가정을 통해 이 시장에서도 파생 증권이 거래되고 있다고 가정합니다. 이 증권은 해당 날짜까지의 주식 가치에 따라 미래에 지정된 날짜에 일정한 보상이 있을 것이라고 명시되어 있습니다. 앞으로 주가가 나아갈 경로는 알 수 없지만 파생상품 가격은 현재 시점에서 결정될 수 있습니다. 유럽 콜 또는 풋 옵션의 특별한 경우에 대해 Black and Scholes는 "주식에서 긴 포지션과 옵션에서 짧은 포지션으로 구성되는 위험회피형 포지션을 생성할 수 있으며, 이는 주식의 가격에 따라 가치가 좌우되지 않을 것입니다"라고 보여주었습니다.^[12] 그들의 동적인 헤지 전략은 옵션의 가격을 결정하는 편미분 방정식으로 이어졌습니다. 그 해는 Black-Scholes 공식에 의해 주어집니다.

원래 모델의 이러한 가정 중 몇 가지는 모델의 후속 확장에서 제거되었습니다. 현대판은 동적 이자율(Merton, 1976),^{[citation needed]} 거래 비용 및 세금(Ingersoll, 1976),^{[citation needed]} 배당금 지급 등을 설명합니다.^[13]

표기법

Black-Scholes 모형의 분석에 사용되는 표기법은 다음과 같이 정의됩니다(주제별로 그룹화된 정의).

일반 및 시장 관련:

t ${\displaystyle t}$는 년 단위의 시간이며, t = 0{\displaystyle t = 0}은 일반적으로 현재 연도를 나타냅니다.

r ${\displaystyle r}$은 연간화된 무위험 이자율로, 연속 복리(이자의 힘이라고도 함)입니다.

자산 관련:

S(t) ${\displaystyle S(t)}$는 t시점의 기초자산 가격으로 St ${\$라고도 합니다.

μ ${\displaystyle \mu$$}$는 연간화된$S$ {\$displaystyle$ S}의드리프트 속도입니다.

$σ${\$displaysty$gma }은 주식 수익률의 표준 편차입니다. 이것은 주식의 변동성을 나타내는 로그 가격 프로세스의 2차 변동의 제곱근입니다.

옵션 관련:

V(S, t) ${\displaystyle$ V$(S,$ t$)}$는 특히 t시점의 기초자산 S의 함수로서 옵션의 가격입니다.

C(S, t) ${\displaystyle C(S,t)}$는 유럽 콜 옵션의 가격이며,

P(S, t) ${\displaystyle P(S,$ t$)}$는 유럽 풋옵션의 가격입니다.

T ${\displaystyle T}$은(는) 옵션 만료 시간입니다.

$τ {\$$displaysty$le \tau $}$는 만기까지의 시간입니다.τ = T - t {\displaystyle \tau = T-t}.

K ${\displaystyle$ K$}$는 옵션의 행사가격이라고도 합니다.

N(x) ${\displaystyle N(x)}$은 표준 정규 누적 분포 함수를 나타냅니다.

${\displaystyle N(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{-z^{2}/2}\,dz.}$

N'(x) ${\displaystyle N'(x)}$은 표준 정규 확률 밀도 함수를 나타냅니다.

${\displaystyle N'(x)={\frac {dN(x)}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x^{2}/2}.}$

블랙-숄즈 방정식

Black-Scholes 방정식은 포물선 편미분 방정식으로, 시간에 따른 옵션의 가격을 설명합니다. 방정식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0}$

이 방정식의 핵심 재무 통찰력은 "위험 제거" 방식으로 기초 자산과 은행 계좌 자산(현금)을 사고팔면 옵션을 완벽하게 헤지할 수 있다는 것입니다. 이 헤지는 결국 Black-Scholes 공식에 의해 반환되는 옵션에 대한 적절한 가격이 단 하나뿐이라는 것을 의미합니다(다음 섹션 참조).

블랙-스쿨스 공식

Black-Scholes 공식은 유럽 풋옵션과 콜옵션의 가격을 계산합니다. 이 가격은 Black-Scholes 방정식과 일치합니다. 이 공식은 해당 단자와 경계 조건에 대한 식을 풀면 구할 수 있으므로 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}&C(0,t)=0{\text{ for all}}t\&C(S,t)\rightarrow S-K{\text{ as }}S\rightarrow \infty \\&C(S,T)=\max\{S-K,0\}\end{aligned}}}$

Black-Scholes 매개변수의 관점에서 무배당 기초 주식에 대한 콜옵션의 가치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle {begin{aligned}C(S_{t},t)&=N(d_{+})S_{t}-N(d_{-})Ke^{-r(T-t)}\\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}\right)(T-t)\right]\\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {T-t}}\\\end{aligned}}}$

할인 계수 e- r(T- t) ${\$ - t$))}$가 있는 풋옵션의 가격은 다음과 같습니다.

${\displaystyle {\begin{aligned}P(S_{t},t)&=Ke^{-r(T-t)}-S_{t}+C(S_{t},t)\\&=N(-d_{-})Ke^{-r(T-t)}-N(-d_{+})S_{t}\end{aligned}\,}$

대체식

보조 변수를 도입하면 공식을 단순화하고 보다 편리한 형태로 재구성할 수 있습니다(Black '76 공식의 특수한 경우입니다).

${\displaystyle {\begin{aligned}C(F,\tau)&=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]\d_{+}&={\frac {1}{\sigma {\sqrt {\tau }}}\left[\ln \left ({\frac {F}{K}}\right)+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right]\d_{-}&=d_{+}-\sigma {\sqrt {tau }\end{aligned}}}$

위치:

D = e-τ {\displaystyle D = e^{-r\tau}} 가 할인율입니다.

F =τ S = SD ${\$$displaystyl$e F =e$^{$r\tau}S ={\frac {S}{D}}는 기초자산의 선도가격이며, S = DF {\displaystyle S = DF}

주어진 풋-콜 패리티(put-call parity)는 다음과 같이 표현됩니다.

${\displaystyle C-P=D(F-K)=S-DK}$

풋옵션의 가격은 다음과 같습니다.

${\displaystyle P(F,\tau )=D\left[N(-d_{-})K-N(-d_{+})F\right]}$

해석

Black-Scholes 공식에 대한 직관적인 해석이 가능하며, 주요 미묘함은 d± ${\$의 해석과 두 개의 다른 용어가 있는 이유입니다.^[14]

이 공식은 먼저 콜 옵션을 자산 또는 무소유 콜에서 현금 또는 무소유 콜을 뺀 두 개의 이진 옵션의 차이로 분해하여 해석할 수 있습니다. 콜 옵션은 만기 시 자산과 현금을 교환하는 반면, 자산 또는 무소유 콜은 자산을 산출할 뿐이며(교환 시 현금이 없음), 현금 또는 무소유 콜은 현금을 산출할 뿐입니다(교환 시 자산이 없음). Black-Scholes 공식은 두 항의 차이이며, 이 두 항은 이진 호출 옵션의 값과 동일합니다. 이러한 바이너리 옵션은 바닐라 콜 옵션보다 거래 빈도가 낮지만 분석하기가 더 쉽습니다.

따라서 공식은 다음과 같습니다.

${\displaystyle C=D\left[N(d_{+})F-N(d_{-})K\right]}$

다음과 같이 구분합니다.

${\displaystyle C=DN(d_{+})F-DN(d_{-})K,}$

여기서 DN(d+) F ${\displaystyle DN(d_{+})$$F}$은(는) 자산 또는 무소유 콜의 현재 값이고, DN(d-) K ${\displaystyle DN(d_{-})K}$은(는) 현금 또는 무소유 콜의 현재 값입니다. D 팩터는 만기일이 미래이기 때문에 할인을 위한 것이며, 이를 제거하면 현재 값이 미래 값(만기 시 값)으로 변경됩니다. 따라서 N(d+) F ${\displaystyle$ N$(d_{+})$$~F}$은(는) 자산 또는 무(는) 통화의 미래 값이고 N(d-) K ${\displaystyle N(d_{-})~K}$은(는) 현금 또는 무(는) 통화의 미래 값입니다. 위험 중립적인 관점에서, 이것들은 위험 중립적인 측정에서 자산의 기대 가치와 현금의 기대 가치입니다.

이 용어들에 대한 순진하고 약간 잘못된 해석은 N(d+) F ${\displaystyle$ N$(d_{+})$이라는 것입니다.$F}$은(는)화폐N$($ + ) {\$displaystyle N($d_{+})}에서 옵션이 만료될 확률이며, 만료 시 기본 값을 곱한 값입니다. 반면 N(d- )K ${\displaystyle N(d_{-}) K}$은 화폐 N(d- )에서 옵션이 만료될 확률입니다$.$ {\$displaystyle$ N$(d_{-}),$$}$만기 K의 현금 가치를 곱한 것입니다. 두 이진 모두 돈에서 만료되거나 둘 다 돈에서 만료되므로(현금이 자산으로 교환되거나 그렇지 않음) 이 해석은 올바르지 않지만 N(d+) ${\displaystyle$ N$(d_{+})}$과 N(d-) ${\display N(d_{-})}$ 확률은 같지 않습니다. 실제로d ± ${\$는 화폐성(표준편차)의 척도로, N(d±) ${\displaystyle$ N$(d_{\pm})}$은 아래에서 논의한 바와 같이 각각의 숫자에서 ITM(화폐성 백분율)이 만료될 확률로 해석할 수 있습니다. 즉, 현금옵션인 N(d - ) K{\$displaystyle N(d_{-})K$의 해석이 옳으며, 이는 현금의 가치가 기초자산의 움직임과 무관하기 때문에 단순한 '확률적 시간값'의 곱으로 해석될 수 있는 반면, N(d+) F ${\displaystyle N(d_{+})}$$F}$은(는) 만기 시점의 자산 가치와 돈의 만기 확률이 독립적이지 않기 때문에 더 복잡합니다.^[14] 더 정확히 말하면, 만기 시 자산의 가치는 현금 측면에서는 변동이 있지만 자산 자체(자산의 고정 수량) 측면에서는 일정하므로 현금이 아닌 자산으로 변경하는 경우 이러한 수량은 독립적입니다.

점 S를 정방향 F 대신에 사용하는 경우,d± {\$displaystyle d_${\pm}에서 12σ 2 ${\$$textstyle$ {1}{2$}\sigma$ ^{2}} 항 대신에 (r ± 12 σ 2) τ, {\textstyle \left(r\pm {\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)\tau,$}$(적절한 수치에 대한 위험 중립 측정에서) 드리프트 요인으로 해석될 수 있습니다. 표준 화폐성 m = 1σ τ$ln$ ⁡(FK) {\textstyle m = {\frac {1}{\sqrt {\tau }}\ln \left ({\frac {F}{K}}\right)} – 즉, 12σ 2${\textstyle {\frac {$1}{2$}}\sigma$^{2} 인자의 이유는 로그 정규 분포의 중앙값과 평균의 차이 때문입니다. 이는 기하학적 브라운 운동에 적용되는 Ito의 보조정리와 동일한 인자입니다. 또한, 순진한 해석이 틀렸다는 것을 알 수 있는 또 다른 방법은 공식에서 N(d+) ${\displaystyle$ N$(d_{+})}$을 N(d-) ${\displaystyle N(d_{-})}$로 대체하면 통화 외 옵션에 대해 음의 값을 얻을 수 있다는 것입니다.^{[14]: 6}

구체적으로,N(d+), N(d- ){\$displaystyle N(d_{+}), N(d_{-})}$항은 각각 동일 지수 마팅게일 확률 측정치(numéraire=stock) 및 동일 지수 마팅게일 확률 측정치(numéraire=risk free asset) 하에서 옵션이 현금 내에서 만기될 확률입니다. 주가 ST∈$0,$ ∞) ${\displaystyle S_${T$}\$in(0,\infty)}에 대한 위험 중립 확률 밀도는 다음과 같습니다.

${\displaystyle p(S,T)={\frac {N^{\prime }[d_{-}(S_{T})]}{S_{T}\sigma {\sqrt {T}}}}}$

여기서 d- = d- ( K ) {\displaystyle d_{-} = d_{-}(K)}는 위와 같이 정의됩니다.

구체적으로 N(d-) ${\displaystyle N(d_{-})}$은 자산 드리프트가 무위험 환율이라고 가정할 때 콜이 행사될 확률입니다. N(d+) ${\displaystyle N(d_{+})}$그러나 단순한 확률 해석에는 도움이 되지 않습니다. SN(d+) ${\displaystyle SN(d_{+})}$은 만기 시 자산가격이 행사가격 이상이라는 점을 감안할 때 만기 시 기대자산가격의 무위험이자율을 이용하여 현재가치로 정확히 해석됩니다.^[15] 관련 논의 및 그래픽 표현은 실제 옵션 가치 평가는 데이터–매슈 방법을 참조하십시오.

동등한 마팅게일 확률 척도는 위험 중립 확률 척도라고도 합니다. 이 두 가지 모두 측정 이론적 의미의 확률이며, 실제 확률 측정 하에서 두 가지 모두 만기가 도래하는 실제 확률은 아닙니다. 실제("물리적") 확률 측정치 하에서 확률을 계산하려면 물리적 측정치의 드리프트 항 또는 이에 준하는 위험 시장 가격과 같은 추가 정보가 필요합니다.

도함수

Black-Scholes PDE를 해결하기 위한 표준 유도는 Black-Scholes equation 기사에 나와 있습니다.

파인만-카크 공식은 이러한 유형의 PDE에 대한 솔루션이 적절하게 할인될 때 실제로는 마팅게일이라고 말합니다. 따라서 옵션 가격은 옵션의 할인된 보수의 기대 가치입니다. 이러한 기대를 통해 옵션 가격을 계산하는 것이 위험 중립성 접근 방식이며 PDE에 대한 지식 없이도 수행할 수 있습니다.^[14] 주의할 점은 옵션 보상의 기대가 실제 확률 측정치에서 이루어지는 것이 아니라 인위적인 위험 중립 측정치로 실제 측정치와 다르다는 것입니다. 기본 논리는 합리적 가격 아래의 "위험 중립 가치 평가" 섹션과 수학 금융 아래의 "파생 가격: Q 세계" 섹션을 참조하십시오. 자세한 내용은 Hull을 다시 한번 참조하십시오.^{[16]: 307–309}

옵션 그리스인

"그리스인"은 다른 매개변수를 고정한 상태에서 모수 값의 변화에 대한 파생상품 또는 금융 포트폴리오의 가치의 민감도를 측정합니다. 매개변수 값에 대한 가격의 편미분입니다. 한 그리스인 "감마"(여기에 나열되지 않은 다른 사람들뿐만 아니라)는 이 경우 또 다른 그리스인 "델타"의 부분 파생어입니다.

그리스인들은 금융에 대한 수학적 이론뿐만 아니라 활발한 거래를 하는 사람들에게도 중요합니다. 금융 기관은 일반적으로 거래자가 초과해서는 안 되는 그리스인 각각에 대한 (위험) 한도 값을 설정합니다.^[17]

델타는 보통 가장 큰 위험을 주기 때문에 가장 중요한 그리스인입니다. 많은 트레이더들이 시장의 방향성에 대해 추측하지 않고 Black-Scholes에 의해 정의된 델타 중립 헤징 접근법을 따르지 않는다면 결국 델타를 제로로 만들 것입니다. 트레이더가 포트폴리오에 대한 효과적인 델타 헤지를 설정하려고 할 때, 트레이더는 또한 포트폴리오의 감마를 중화하려고 할 수 있습니다. 이렇게 하면 헤지가 보다 광범위한 기본 가격 움직임에서 효과적일 것을 보장할 수 있기 때문입니다.

흑학교의 그리스어는 아래와 같이 닫힌 형태로 표시됩니다. 이들은 Black-Scholes 공식을 미분하여 얻을 수 있습니다.

		불러	놓다
델타	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial S}}$	${\displaystyle N(d_{1})\,}$	${\displaystyle -N(-d_{1})=N(d_{1})-1\,}$
감마	${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}$	${\displaystyle {\frac {N'(d_{1})}{S\sigma {\sqrt {T-t}}}\,}$
베가	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial \sigma}}}$	${\displaystyle SN'(d_{1}){\sqrt {T-t}}\,}$
세타	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}-rKe^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}$	${\displaystyle -{\frac {SN'(d_{1})\sigma }{2{\sqrt {T-t}}}}+rKe^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,}$
로	${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}$	${\displaystyle K(T-t)e^{-r(T-t)}N(d_{2})\,}$	${\displaystyle -K(T-t)e^{-r(T-t)}N(-d_{2})\,}$

공식에서 감마는 콜과 풋의 값이 같고, 베가도 콜과 풋 옵션의 값이 같다는 것을 알 수 있습니다. 이것은 풋과 콜의 차이가 S에서 선형이고 σ에 무관한 포워드이기 때문에 풋-콜 패리티에서 직접 확인할 수 있습니다(따라서 포워드는 감마와 베가가 0입니다). N'은 표준 정규 확률 밀도 함수입니다.

실제로 일부 민감도는 일반적으로 모수의 변경 가능성이 있는 척도와 일치하도록 축소된 용어로 인용됩니다. 예를 들어, rho는 10,000(1 basis point rate change), vega는 100(1 vol point change), theta는 365 또는 252(1 day decays of calendar days 또는 1년 거래일 기준 1 decays)로 나누어 보고되는 경우가 많습니다.

"베가"는 그리스 문자가 아닙니다. 그리스 문자 nu(다양하게ν${\$displaystyle \n으로 렌더링됨)를 잘못 읽었기 때문에 이름이 지어졌습니다.$u }$, ν, and ν) as a V.

모형의 확장

위 모델은 변동률(그러나 결정론적) 및 변동성에 대해 확장될 수 있습니다. 이 모델은 배당금을 지급하는 상품에 대한 유럽 옵션의 가치를 평가하는 데 사용될 수도 있습니다. 이 경우 배당금이 주가의 알려진 비율인 경우 폐쇄형 솔루션을 사용할 수 있습니다. 알려진 현금 배당금을 지급하는 주식의 미국 옵션과 옵션(단기적으로 비례 배당금보다 더 현실적)은 가치를 평가하기가 더 어렵고, 솔루션 기술을 선택할 수 있습니다(예: 라떼 및 그리드).

연속수익배당을지급하는상품

지수 옵션에 대해서는 배당이 계속 지급되고, 배당액은 지수 수준에 비례한다는 단순화 가정을 하는 것이 타당합니다.

기간[t, t+ dt] ${\displaystyle [t,$ t$+dt]}$ 동안 지불된 배당금은 다음과 같이 모델링됩니다.

${\displaystyle qS_{t}\,dt}$

일정한 q ${\displaystyle q}($배당 수익률)에 대해.

이 공식에 따르면 Black-Scholes 모델이 암시하는 무차익 가격은 다음과 같습니다.

${\displaystyle C(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

그리고.

${\displaystyle P(S_{t},t)=e^{-r(T-t)}[KN(-d_{2})-FN(-d_{1})]\,}$

지금 어디에

${\displaystyle F=S_{t}e^{(r-q)(T-t)}\,}$

d1, d 2 ${\$항에서 수정된 출고가입니다.

${\displaystyle d_{1}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}\left[\ln \left ({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$

그리고.

${\displaystyle d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {T-t}}={\frac {1}{\sigma {\sqrt {T-t}}}}\left[\ln \left({\frac {S_{t}}{K}}\right)+\left(r-q-{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\right)(T-t)\right]}$.^[18]

별개의 비례 배당을 지급하는 금융상품

Black-Scholes 프레임워크를 별도의 비례 배당을 지급하는 상품의 옵션으로 확장할 수도 있습니다. 이는 옵션이 단일 주식에 적용될 때 유용합니다.

일반적인 모델은 주가의 비율δ {\displaystyle\delta}가 미리 결정된시간 t1, t 2, $…,$ t {\$displaystyle t_{$1}, t_{$2},\ldots$ t_{n}에 지불된다고 가정하는 것입니다. 그러면 주식의 가격은 다음과 같이 모델링됩니다.

${\displaystyle S_{t}=S_{0}(1-\delta )^{n(t)}e^{ut+\sigma W_{t}}}$

여기서 n(t) ${\displaystyle$ n$(t)}$은(는$)$ 시간 t {\$displaystyle$ t$}$까지 지불된 배당 횟수입니다.

이러한 주식의 콜옵션 가격은 다음과 같습니다.

${\displaystyle C(S_{0},T)=e^{-rT}[FN(d_{1})-KN(d_{2})]\,}$

지금 어디에

${\displaystyle F=S_{0}(1-\delta )^{n(T)}e^{rT}\,}$

배당금 지급 주식의 선도 가격입니다.

미국식 옵션

미국 옵션의 가격을 찾는 문제는 옵션을 실행할 시간을 찾는 최적의 정지 문제와 관련이 있습니다. American 옵션은 만기일 이전에 언제든지 행사할 수 있으므로 Black-Scholes 방정식은 다음과 같은 형태의 변동 부등식이 됩니다.

${\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV\leq 0}$^[19]

V(S, t) ≥ H$(S$) ${\displaystyle$V(S$,$ $t)\$geq H(S)}와 함께여기서 H$(S$) ${\displaystyle$H(S)}는 주가S ${\displaystyle$ S}에서의 보수를 의미하며, 단말기 조건: V(S, T) = H$(S$) ${\displaystyle$V(S, T) = H(S)}.

일반적으로 이 부등식은 닫힌 형태의 해결책을 갖지 않지만, 배당이 없는 미국 통화는 유럽 통화와 같고 롤 게스케-웨일리 방법은 하나의 배당으로 미국 통화에 대한 해결책을 제공합니다.^[20][21] 블랙의 근사도 참조하십시오.

Barone-Adesi and Whaley는^[22] 추가 근사 공식입니다. 여기서 확률적 미분 방정식(어떤 도함수의 값에도 유효한)은 유럽 옵션 가치와 조기 행사 프리미엄의 두 가지 요소로 구분됩니다. 몇 가지 가정을 통해 후자에 대한 해를 근사하는 이차 방정식을 얻습니다. 이 솔루션에는 조기 연습과 성숙 유지 사이에 무관심할 수 있도록 중요한 $가치인$∗ {\displaystyles$*}$를 찾는 것이 포함됩니다.

Bjerksund와 Stensland는^[25] 트리거 가격에 해당하는 운동 전략을 기반으로 근사치를 제공합니다. 여기서 기초 자산 가격이 트리거 가격 이상이고 값이 S- X ${\displaystyle S-X}$와 같아야 하며, 그렇지 않은 경우 옵션은 "(i) 유럽식 상향 통화 옵션…으로 상승합니다. 그리고 (ii) 만기일 이전에 옵션이 녹아웃된 경우 녹아웃일에 수령하는 리베이트". 이 공식은 풋옵션 평가를 위해 풋옵션 평가를 위해 쉽게 수정됩니다. 이 근사치는 계산적으로 저렴하고 방법이 빠르며, 바로네-아데시와 웨일리보다 오래된 옵션의 가격을 책정하는 데 더 정확할 수 있다는 증거가 있습니다.^[26]

영구 퍼팅

미국 풋 옵션에 대한 일반적인 분석 솔루션이 없음에도 불구하고 영구 옵션의 경우 이러한 공식을 도출할 수 있습니다(즉, T → {\$displaystyle T\rightarrow$\infty} ∞). 이 경우 옵션의 시간 감소는 0이며, 이로 인해 Black-Scholes PDE는 ODE가 됩니다.

S- ${\$는 옵션을 행사하는 데 최적인 하부 연습 경계를 나타냅니다. 경계 조건은 다음과 같습니다.ODE에 대한 해는 두 개의 선형 독립적인 해의 선형 조합입니다.S- ≤ S ${\displaystyle S_{-}\leq$ S}의 경우 이 솔루션을 i = 1, 2 ${\displaystyle$i = ${1,2}$의 ODE로 대체하면 다음과 같습니다.용어를 다시 정리하면 다음과 같습니다.2차공식을 사용하여λ i {\$displaystyle$ \lambda _{i}의 해는 다음과 같습니다.영구 퍼팅에 대한 유한해를 갖기 위해서는 경계 조건이 퍼팅 값의 상한과 하한을 의미하므로 A 1 = 0 ${\$displaystyle A_{1}= 0}을 설정해야 해 V(S)= A 2 S λ 2 {\displaystyle V(S)=$A_{2}S^{\lambda_{2$ 첫 번째 경계 조건으로부터 다음을 알 수 있습니다.따라서 영구적인 풋의 가치는 다음과 같습니다.두 번째 경계 조건은 하부 연습 경계의 위치를 산출합니다.결론적으로, S ≥ S - = λ 2 K λ 2 - 1 {\textstyle S\$geq S_{-}$ = {\lambda _{2} K \over {\lambda _{2}-1}}에 대하여, 영구 아메리칸 풋 옵션은 다음과 같은 가치가 있습니다.

이진 옵션

헤비사이드 함수를 경계 조건으로 하는 Black-Scholes 미분 방정식을 풀면 미리 정의된 행사 가격보다 한 단위 높은 가격을 지불하고 아래에는 아무것도 지불하지 않는 옵션의 가격이 결정됩니다.^[28]

실제로 바닐라 콜 옵션(또는 풋 옵션)의 가격에 대한 Black-Scholes 공식은 콜 옵션을 자산 또는 무자산 콜 옵션에서 현금 또는 무자산 콜 옵션을 제외한 것으로 분해하여 해석할 수 있으며, 마찬가지로 풋의 경우 이진 옵션이 분석하기가 더 쉽고 Black-Scholes 공식의 두 항과 일치합니다.

현금이냐 아니냐의 통화

만기 시 해당 지점이 파업 이상일 경우 현금 1단위를 지급합니다. 그 가치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle C=e^{-r(T-t)}N(d_{2}).\,}$

현금입출금

만기 시 해당 지점이 파업 미만일 경우 현금 1단위를 지급합니다. 그 가치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle P=e^{-r(T-t)}N(-d_{2}).\,}$

자산 또는 무자산 호출

이것은 만기 시 지점이 파업 이상인 경우 자산 1단위를 지급합니다. 그 가치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle C=Se^{-q(T-t)}N(d_{1}).\,}$

애셋 오어 낫띵 풋

이것은 만기 시 지점이 파업 미만인 경우 자산 1단위를 지급합니다. 그 가치는 다음과 같습니다.

${\displaystyle P=Se^{-q(T-t)}N(-d_{1}),}$

외환(FX)

FOR/DOM 환율을 S로 표시하면(즉, 외화 1단위는 국내 통화의 S단위) 만기 시 현물이 파업의 위 또는 아래에 있을 경우 국내 통화 1단위를 지급하는 것은 현금 또는 무(無) 콜과 풋을 각각 지급하는 것과 같다는 것을 알 수 있습니다. 마찬가지로, 만기 시 현물이 파업의 위 또는 아래에 있을 경우 외화 1단위를 지급하는 것은 자산 또는 무소불위와 풋옵션을 각각 지급하는 것과 같습니다. 따라서 rFOR ${\$을 취함으로써$FOR$ 외국인 이자율, rDOM{\$display r_${DOM}, 국내 이자율, 기타 위와 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

디지털 통화(이것은 통화 FOR/풋 DOM)가 현재 가치로 받은 국내 통화의 한 단위를 지불하는 경우:

${\displaystyle C=e^{-r_{DOM}T}N(d_{2})\,}$

디지털 풋(이것은 풋 FOR/콜 DOM)이 현재 가치로 받은 국내 통화의 한 단위를 지불하는 경우:

${\displaystyle P=e^{-r_{DOM}T}N(-d_{2})\,}$

디지털 통화(이것은 통화 FOR/풋 DOM)의 경우 현재 가치로 받은 외화의 한 단위를 지불합니다.

${\displaystyle C=Se^{-r_{FOR}T}N(d_{1})\,}$

디지털 풋(이는 풋 FOR/콜 DOM)이 현재 가치로 받은 외화의 한 단위를 지불하는 경우:

${\displaystyle P=Se^{-r_{FOR}T}N(-d_{1})\,}$

스큐

표준 Black–Scholes 모델에서 위험 중립적인 세계에서 이진 옵션의 프리미엄을 기대값 = 현재 가치로 할인된 인더머니 * 단위로 해석할 수 있습니다. Black-Scholes 모형은 분포의 대칭성에 의존하며 자산 분포의 왜도를 무시합니다. 시장 제조업체는 모든 파업에서 기본 자산σ {\displaystyle\sigma}에 대해 단일 표준 편차를 사용하는 대신 변동성이 파업 가격에 따라 달라지는가변적인하나의σ(K)${\displaystyle$ \sigma(K)}를 통합하여 변동성 스큐를 고려함으로써 이러한 왜도를 조정합니다. 스큐는 정규 옵션보다 이항에 상당히 큰 영향을 미치기 때문에 중요합니다.

이진 호출 옵션은 긴 수명에서 두 개의 바닐라 옵션을 사용한 타이트한 호출 스프레드와 유사합니다. K를 사용할 때 2진 현금 또는 아무것도 없는 옵션인 C의 값을 무한히 촘촘한 스프레드로 모델링할 수 있습니다. 여기서 Cv{\$displaystyle C_{v}}$는 바닐라 유러피언 콜입니다.^[29][30]

${\displaystyle C=\lim_{\epsilon \to 0}{\frac {C_{v}(K-\epsilon )-C_{v}(K)}{\epsilon}}$

따라서 바이너리 콜의 값은 행사가격에 대한 바닐라 콜 가격의 도함수의 음수입니다.

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}}{dK}}}$

변동성 스큐를 고려할 때σ {\displaystyle\sigma}은(는$)$K {\displaystyle K}의함수입니다.

${\displaystyle C=-{\frac {dC_{v}(K,\sigma(K))}{dK}}=-{\frac {\partial C_{v}}{\부분 K}-{\frac {\partial C_{v}}{\부분 \sigma }{\frac {\partial \sigma }{\partial K}}$

첫 번째 항은 스큐를 무시한 이진 옵션의 프리미엄과 같습니다.

${\displaystyle -{\frac {\partial C_{v}}{\partial K}}=-{\frac {\partial(SN(d_{1})-Ke^{-r(T-t)}N(d_{2})}{\partial K}}=e^{-r(T-t)}N(d_{2})=C_{\text{no skew}}}$

∂ CV $∂$ $σ {\$$displaystyle$partial C_{v}}{\partial \sigma}}는 바닐라 콜의 베가입니다. ∂ σ ∂ K {\displaystyle {\frac {\partial \sigma}{\partial K}}는 때때로 "스큐 슬로프" 또는 "스큐"라고 불립니다. 스큐가 일반적으로 음수이면 스큐를 고려할 때 이진 호출 값이 더 높아집니다.

${\displaystyle C=C_{\text{no skew}}-{\text{Vega}}_{v}\cdot {\text{Skew}}$

바닐라 옵션의 그리스인과의 관계

바이너리 콜은 스트라이크에 대한 바닐라 콜의 수학적 도함수이므로, 바이너리 콜의 가격은 바닐라 콜의 델타와 같은 모양이고, 바이너리 콜의 델타는 바닐라 콜의 감마와 같은 모양입니다.

흑인-학교 실습

Black-Scholes 모형의 가정이 모두 경험적으로 타당한 것은 아닙니다. 이 모델은 현실에 대한 유용한 근사치로 널리 사용되지만, 적절한 적용을 위해서는 한계를 이해해야 합니다. 맹목적으로 모델을 따르는 것은 사용자가 예상치 못한 위험에 노출됩니다.^{[31][unreliable source?]} 가장 중요한 제한 사항은 다음과 같습니다.

• 현금 외 옵션으로 위험회피할 수 있는 극단적인 움직임의 과소평가, 꼬리 위험 산출
• 위험회피가 어려운 유동성 위험을 산출하는 즉각적인 무비용 거래의 가정
• 변동성 위험회피로 위험회피할 수 있는 변동성 위험을 산출하는 정상적인 프로세스의 가정
• 감마헤지로 위험회피할 수 있는 갭위험을 산출하는 지속적인 시간과 지속적인 거래의 가정
• 이 모델은 매우 저렴한 옵션을 과소평가하는 경향이 있고, 가격이 너무 높은 옵션을 과대평가하는 경향이 있습니다.^[32]

간단히 말해서 Black-Scholes 모델에서는 델타 헤징만으로 옵션을 완벽하게 헤징할 수 있지만 실제로는 다른 많은 위험원이 있습니다.

Black-Scholes 모형을 사용한 결과는 모형의 가정을 단순화하기 때문에 실제 가격과 다릅니다. 한 가지 중요한 한계는 실제로 보안 가격이 엄격한 고정 로그 정규 프로세스를 따르지 않고 위험이 없는 이자가 실제로 알려져 있지 않다는 것입니다(시간이 지남에 따라 일정하지 않음). 분산이 일정하지 않아 GARCH와 같은 모형에서 변동성 변화를 모형화하는 것으로 관찰되었습니다. 경험적 모델과 Black-Scholes 모델 사이의 가격 불일치는 극단적인 가격 변화에 해당하는, 돈이 훨씬 부족한 옵션에서 오랫동안 관찰되어 왔습니다. 이러한 이벤트는 수익률이 로그 정규 분포를 따르는 경우 매우 드물지만 실제로는 훨씬 더 자주 관찰됩니다.

그럼에도 불구하고 Black-Scholes 가격 책정은 다음과 같은 이유로 실무에서 널리 사용되고 있습니다.^{[2]: 751 [33]}

• 계산하기 쉬운
• 특히 중요 지점을 넘을 때 가격이 움직이는 방향을 분석할 때 유용한 근사치
• 더욱 세련된 모델에 대한 강력한 기초.
• 가역성은 모델의 원래 출력인 가격을 입력으로 사용할 수 있고 다른 변수 중 하나를 해결할 수 있기 때문에, 이러한 방식으로 계산된 내재 변동성은 옵션 가격을 견적하는 데 종종 사용됩니다(즉, 견적 규칙).

첫 번째 포인트는 분명히 유용합니다. 다른 것들에 대해서는 더 논의할 수 있습니다.

유용한 근사치: 변동성이 일정하지는 않지만 모형의 결과는 위험을 최소화하기 위해 정확한 비율로 헤지를 설정하는 데 도움이 되는 경우가 많습니다. 결과가 완전히 정확하지 않은 경우에도 조정할 수 있는 첫 번째 근사치 역할을 합니다.

더욱 세련된 모델의 기초: Black-Scholes 모형은 일부 고장을 처리하기 위해 조정할 수 있다는 점에서 강력합니다. 변동성 또는 이자율과 같은 일부 매개변수를 일정한 것으로 간주하기보다는 변수로 간주하여 위험원을 추가합니다. 이는 그리스인(이들 모수의 변동에 대한 옵션가치의 변동 또는 이와 동등하게 이 변수에 대한 부분파생상품)에 반영되며, 이러한 그리스인의 위험회피는 이러한 모수의 불변성으로 인한 위험을 완화합니다. 그러나 모델을 수정하면 다른 결함, 특히 꼬리 위험과 유동성 위험을 완화할 수 없으며, 이러한 결함은 주로 이러한 위험을 최소화하고 스트레스 테스트를 통해 모델 외부에서 관리됩니다.

명시적 모델링: 이 기능은 변동성을 선험적으로 가정하고 그로부터 가격을 계산하는 것이 아니라, 주어진 가격, 기간 및 행사 가격에서 옵션의 내포된 변동성을 제공하는 변동성을 해결하기 위해 모델을 사용할 수 있음을 의미합니다. 주어진 기간 및 행사 가격에 대한 변동성을 해결하면 내포된 변동성 표면을 구성할 수 있습니다. 이 Black-Scholes 모델의 적용에서 가격 영역에서 변동성 영역으로의 좌표 변환이 얻어집니다. 따라서 옵션 가격을 단위당 달러(스트라이크, 기간 및 쿠폰 빈도에 걸쳐 비교하기 어려운)로 견적하기보다는 잠재 변동성으로 견적을 낼 수 있으며, 이는 옵션 시장의 변동성 거래로 이어집니다.

변동성 미소가

Black-Scholes 모형의 매력적인 특징 중 하나는 변동성(만기까지의 시간, 파업, 무위험 이자율 및 현재 기초 가격) 이외의 변수가 명확하게 관측 가능하다는 것입니다. 다른 모든 것이 동일하다면 옵션의 이론적 가치는 내재 변동성의 단조 증가 함수입니다.

서로 다른 스트라이크와 만기를 가진 거래 옵션에 대한 내재 변동성을 계산함으로써 Black-Scholes 모형을 테스트할 수 있습니다. Black-Scholes 모형이 유지되는 경우 특정 주식에 대한 내재 변동성은 모든 스트라이크 및 만기에 대해 동일합니다. 실제로 변동성 표면(스트라이크 및 만기에 대한 내재 변동성의 3D 그래프)은 평평하지 않습니다.

특정 만기에 대한 내포 변동성 곡선의 일반적인 모양은 기본 도구에 따라 달라집니다. 주식은 왜곡된 곡선을 가지고 있는 경향이 있습니다. 즉, 내재된 변동성은 통화 가치와 비교할 때 낮은 가격대의 경우 상당히 높고 높은 가격대의 경우 약간 낮습니다. 통화는 더 대칭적인 곡선을 갖는 경향이 있으며, 통화의 변동성이 가장 낮고 양쪽 날개의 변동성이 더 높습니다. 상품은 종종 주식에 대해 반대 행동을 하며, 더 높은 파업에 대한 더 높은 의미의 변동성을 갖습니다.

변동성 미소의 존재(그리고 Black-Scholes 모델의 다른 모든 가정 위반)에도 불구하고, Black-Scholes PDE 및 Black-Scholes 공식은 여전히 실무에서 광범위하게 사용됩니다. 일반적인 접근 방식은 변동성 표면을 시장에 대한 사실로 간주하고, 이로부터 내포된 변동성을 Black-Scholes 평가 모델에 사용하는 것입니다. 이것은 "올바른 가격을 얻기 위해 잘못된 공식에 있는 잘못된 숫자"를 사용하는 것으로 설명되었습니다.^[34] 이 접근법은 헤지 비율(그리스인)에 대해서도 사용 가능한 값을 제공합니다. 보다 고급 모델이 사용되는 경우에도 거래자들은 Black-Scholes 내재 변동성의 관점에서 생각하기를 선호합니다. 이를 통해 다양한 만기, 파업 등의 옵션을 평가하고 비교할 수 있습니다. 여기서 개발된 다양한 대안적 접근 방식에 대한 논의는 금융 경제학 § 도전과 비판을 참조하십시오.

채권옵션가치평가

Black-Scholes는 pull-to-par로 인해 채권 증권에 직접 적용할 수 없습니다. 채권이 만기일에 도달함에 따라 채권과 관련된 모든 가격이 알려짐으로써 채권의 변동성이 감소하며, 단순 Black-Scholes 모형은 이러한 과정을 반영하지 않습니다. Black 모델을 시작으로 Black-Scholes의 많은 확장이 이 현상을 해결하기 위해 사용되었습니다.^[35] 채권 옵션 § 평가를 참조하십시오.

이자율곡선

실제로 금리는 일정하지 않습니다. 테너(쿠폰 주파수)에 따라 다르므로 금리 곡선을 제공하고, 이 곡선을 보간하여 Black-Scholes 공식에 사용할 적절한 금리를 선택할 수 있습니다. 또 다른 고려 사항은 금리가 시간에 따라 다르다는 것입니다. 이러한 변동성은 특히 장기 옵션의 가격에 상당한 기여를 할 수 있습니다. 이는 단순히 이자율과 채권 가격 관계가 역으로 연관되어 있는 것과 같습니다.

단기주가율

파생상품에 내재되어 있는 짧은 주식 포지션을 취하는 것은 일반적으로 비용이 들지 않으며, 마찬가지로 적은 비용으로 긴 주식 포지션을 대여할 수 있습니다. 어느 경우든 단기차입비용과 장기차입수익 사이에 현저한 비대칭성이 존재하지 않는 한, 이것은 Black-Scholes 평가목적상 지속적인 배당으로 취급될 수 있습니다.^{[citation needed]}

비평 및 논평

Espen Gaarder Haug와 Nassim Nicholas Taleb는 Black-Scholes 모델이 주류 신고전학파 경제 이론과 더 양립할 수 있도록 하기 위해 "위험"이 아닌 실질적으로 불가능한 "동적 위험"의 관점에서 기존의 널리 사용되는 모델을 재구성할 뿐이라고 주장합니다.^[36] 그들은 또한 1964년에 Boness가 Black-Scholes 콜옵션 가격결정 방정식과 "사실상 동일한" 공식을 이미 발표했다고 주장합니다.^[37] 에드워드 소프는 또한 1967년에 블랙-숄즈 공식을 추측했다고 주장하지만 투자자들을 위해 돈을 벌기 위해 그것을 자신에게 맡겼습니다.^[38] 엠마누엘 더먼과 탈렙은 동적 헤징을 비판하고 많은 연구자들이 블랙과 스콜스 이전에 비슷한 모델을 제시했다고 말했습니다.^[39] 이에 대해 폴 윌못은 이 모델을 옹호했습니다.^[33][40]

워렌 버핏은 2008년 버크셔 해서웨이 주주들에게 보낸 편지에서 "블랙-숄즈 공식은 비록 옵션에 대한 달러 책임을 확립하는 기준이지만 장기적인 다양성이 가치 평가될 때 이상한 결과를 낳는다고 믿습니다. 흑인-학교의 공식은 금융의 신성한 글쓰기의 위상에 다가섰습니다... 그러나 이 공식을 장기간에 걸쳐 적용하면 터무니없는 결과를 초래할 수 있습니다. 공정하게 말하면, 블랙 앤 스콜스는 이 점을 잘 이해하고 있었습니다. 하지만 그들의 헌신적인 추종자들은 그들이 처음 공식을 공개했을 때 두 사람이 붙인 어떤 경고도 무시하고 있을지 모릅니다."^[41]

2012년 "세상을 ^[42][43]바꾼 17개의 방정식"이라는 제목의 책을 쓴 영국 수학자 이안 스튜어트는 블랙-스콜스가 "대규모 경제 성장을 뒷받침했다"고 말했고, "국제 금융 시스템은 2007년까지 매년 1조 달러의 파생상품을 거래했다"고 말했습니다. 그는 Black-Scholes 방정식이 "거래에 대한 수학적 정당성"이며, 따라서 2007-08년의 금융 위기에 기여한 "재정적 무책임, 정치적 무능, 비뚤어진 인센티브 및 느슨한 규제의 풍부한 스튜의 한 구성 요소"라고 말했습니다.^[44] 그는 "방정식 자체가 진짜 문제가 아니라 금융산업에서의 남용"이라고 해명했습니다.^[44]

Black-Scholes 모형은 양의 기초 가격을 가정합니다. 기초 가격이 음인 경우에는 모형이 직접 작동하지 않습니다.^[45][46] 기초가 마이너스가 될 수 있는 옵션을 다룰 때 실무자는 Bachelier 모델과^[46][47] 같은 다른 모델을 사용하거나 단순히 가격에 일정한 오프셋을 추가할 수 있습니다.

참고 항목

• 옵션 가격을 계산하기 위한 이산 수치 방법인 이항 옵션 모델
• Black–Scholes 옵션 가격 결정 모형의 변형인 Black Model
• 금융 예술 작품인 검은 숄즈
• 브라운식 금융시장모형
• 재무수학(관련기사 목록 포함)
• 실물옵션평가를 위한 퍼지보수방법
• Black-Scholes PDE가 변환될 수 있는 열 방정식
• 점프 확산
• Monte Carlo 옵션 모델, 복잡한 특징을 가진 옵션의 평가에 시뮬레이션을 사용합니다.
• 실물옵션분석
• 확률변동성

메모들

참고문헌

주참조사항

• [1]Black, Fischer; Scholes, Myron (1973). "The Pricing of Options and Corporate Liabilities". Journal of Political Economy. 81 (3): 637–654. doi:10.1086/260062. S2CID 154552078. (흑인과 스콜스의 논문 원본)
• Merton, Robert C. (1973). "Theory of Rational Option Pricing". Bell Journal of Economics and Management Science. The RAND Corporation. 4 (1): 141–183. doi:10.2307/3003143. hdl:10338.dmlcz/135817. JSTOR 3003143. [2]
• Hull, John C. (1997). Options, Futures, and Other Derivatives. Prentice Hall. ISBN 0-13-601589-1.

역사적, 사회학적 측면

• Bernstein, Peter (1992). Capital Ideas: The Improbable Origins of Modern Wall Street. The Free Press. ISBN 0-02-903012-9.
• 데어만, 이매뉴얼. "My Life as a Quant" John Wiley & Sons, Inc. 2004. ISBN 0-471-39420-3
• MacKenzie, Donald (2003). "An Equation and its Worlds: Bricolage, Exemplars, Disunity and Performativity in Financial Economics" (PDF). Social Studies of Science. 33 (6): 831–868. doi:10.1177/0306312703336002. hdl:20.500.11820/835ab5da-2504-4152-ae5b-139da39595b8. S2CID 15524084. [3]
• MacKenzie, Donald; Yuval Millo (2003). "Constructing a Market, Performing Theory: The Historical Sociology of a Financial Derivatives Exchange". American Journal of Sociology. 109 (1): 107–145. CiteSeerX 10.1.1.461.4099. doi:10.1086/374404. S2CID 145805302. [4]
• MacKenzie, Donald (2006). An Engine, not a Camera: How Financial Models Shape Markets. MIT Press. ISBN 0-262-13460-8.
• Mandelbrot & Hudson, "시장의 (잘못된) 행동" 기초 서적, 2006. ISBN 978-0-465-04355-2
• Szpiro, George G., 미래의 가격 책정: 금융, 물리학 그리고 흑-학 방정식으로의 300년 여정 천재와 발견 이야기 (뉴욕: 베이직, 2011) 298 pp
• 탈렙, 낫심. "Dynamic Hedging" John Wiley & Sons, Inc. 1997. ISBN 0-471-15280-3
• Thorp, Ed. "모든 시장을 위한 남자" 랜덤 하우스, 2017. ISBN 978-1-4000-6796-1

더보기

• Haug, E. G (2007). "Option Pricing and Hedging from Theory to Practice". Derivatives: Models on Models. Wiley. ISBN 978-0-470-01322-9. 이 책은 옵션 거래자들이 Black, Scholes 및 Merton 모델보다 훨씬 더 강력한 위험회피 및 가격결정 원칙을 사용한다는 이론을 뒷받침하는 일련의 역사적 참고자료를 제공합니다.
• Triana, Pablo (2009). Lecturing Birds on Flying: Can Mathematical Theories Destroy the Financial Markets?. Wiley. ISBN 978-0-470-40675-5. 이 책은 블랙, 스콜스, 머튼 모델을 비판적으로 다루고 있습니다.

외부 링크

모델에 대한 논의

• 아제이 샤. 흑인, 머튼 그리고 스콜스: 그들의 일과 그 결과. 경제정치주간, XXXII(52):3337-3342, 1997년 12월
• 2012년 2월 12일 관찰자에서 이안 스튜어트에 의해 은행이 폭락하게 된 수학 방정식
• 지속적으로 헤지할 수 없는 경우: 흑학교 교정, 에마누엘 더먼

유도 및 해

• 그린의 함수를 이용한 블랙-스쿨 방정식의 해법, 교수 데니스 실버맨
• 수학자 테렌스 타오의 블랙-스쿨 방정식 설명 기사.

컴퓨터 구현

• 다국어로 된 흑인학교
• Black–Scholes in Java - 아래 링크로 이동 -
• 자바의 흑인학교
• Chicago 옵션 가격 책정 모델(Graphing Version)
• Black–Scholes–Merton 내포 변동성 표면 모형(Java)
• 온라인 Black–Scholes 계산기

히스토리컬

• 조 달러 내기—2000년 2월 8일에 원래 방송된 노바 에피소드에 대한 동반 웹 사이트. "이 영화는 금융의 세계를 영원히 바꾸어 놓았고, 1997년 노벨 경제학상을 창조한 사람들에게 영광을 안겨준 수학적 성배인 흑학 공식의 발명에 대한 매혹적인 이야기를 다루고 있습니다."
• BBC Horizon 이른바 Midas 공식과 장기자본관리(LTCM) 파산에 관한 TV 프로그램
• BBC 뉴스 매거진 블랙-스쿨즈: 금융위기와 연계된 수학 공식(2012.4.27.기사)