레비 과정

확률론에서, 프랑스 수학자 폴 레비의 이름을 딴 레비 과정은 독립적이고 정지된 증가들을 갖는 확률적 과정입니다: 그것은 연속적인 변위들이 임의적이고, 쌍으로 서로소인 시간 간격들에서의 변위들이 독립적인, 같은 길이의 다른 시간 간격에 있는 변위는 동일한 확률 분포를 갖습니다. 따라서 레비 프로세스는 임의 보행의 연속 시간 아날로그로 볼 수 있습니다.

레비 과정의 가장 잘 알려진 예로는 흔히 브라운 운동 과정이라고 불리는 위너 과정과 포아송 과정이 있습니다. 더 중요한 예로는 Gamma process, Pascal process, Mixner process 등이 있습니다. 드리프트가 있는 브라운 운동을 제외하고, 다른 모든 고유한 레비 과정은 불연속적인 경로를 가지고 있습니다. 모든 Levy 공정은 가산 공정입니다.^[1]

수학적 정의

Levy 프로세스는 다음 속성을 만족하는 확률적 프로세스 $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ = $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ { $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ : $X=\{X_{t}:t\geq 0\}$ t ≥ 0} {\displaystyle X =\{X_{t : t\geq 0\}입니다.

$X_{0}=0\,$ $X_{0}=0\,$ = ${\$ displaystyle X $X_{0}=0\,$ {0} = 0\,} 거의 확실합니다.
증분의 독립성: For any $0\leq t_{1}<t_{2}<\cdots <t_{n}<\infty$ , $X_{t_{2}}-X_{t_{1}},X_{t_{3}}-X_{t_{2}},\dots ,X_{t_{n}}-X_{t_{n-1}}$ are mutually independent;
고정 증분: $s<t\,$ 의 s $s<t\,$ < ${\$ 에 대해 $X_{t}-X_{s}\,$ $s<t\,$ $X_{t}-X_{s}\,$ - $X_{t}-X_{s}\,$ $displaystyle X_{t}-X_{s}\,}$ 의 분포는 $X_{t-s};\,$ $X_{t-s};\,$ - $X_{t-s};\,$ ${\$ 와 같습니다 $X_{t}-X_{s}\,$ .
확률의 연속성: 모든 $\varepsilon >0$ ε > 0 ${\displaystyle \varepsilon$ > $t\geq 0$ $t\geq 0$ t ≥ 0 ${\displaystyle$ t\geq 0}의 $경우$ 림 → 0 P(X t + h - X t > $\lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.$ ε) = 0 $\lim _{h\rightarrow 0}P(|X_{t+h}-X_{t}|>\varepsilon )=0.$ {\displaystyle \lim _{h $\$ rightarrow 0} P(X_{t+h}-X_{t} >\varepsilon ) = 0.}

$X$ $X$ 가 Levy 프로세스인 경우, $t\mapsto X_{t}$ ↦ $Xt {\displaystyle$ t $\mapsto$ X_{t}가 거의 확실하게 왼쪽 제한과 오른쪽 $X$ 을 이루도록 $X$ {\ $displaystyle$ X $}$ 버전을 구성할 수 있습니다.

특성.

독립 증분

연속적인 시간 확률 과정은 랜덤 변수 X를 각 점 t ≥ 0에 시간적으로 할당합니다. 사실상 그것은 t의 랜덤 함수입니다. 이러한 공정의 증분은 서로 다른 시간 t < s에서 값 사이의 차이_s X - X입니다_t. 공정의 증분을 독립적이라고 한다는 것은 X - X 및 X - X가 두 시간_s 간격이_t_u 겹치지 않을 때마다_v 독립적인 랜덤 변수이며, 더 일반적으로 쌍으로 겹치지 않는 시간 간격에 할당된 유한 수의 증분은 상호(쌍으로뿐만 아니라) 독립적이라는 것을 의미합니다.

고정 증분

증분을_t 정지 상태라고 한다는 것은 증분 X - X의_s 확률 분포가 시간 간격의 길이 t - s에만 의존한다는 것을 의미합니다. 동일하게 긴 시간 간격에 대한 증분은 동일하게 분포됩니다.

$X$ $X$ 가 $X$ 위너 공정인 경우 X_t - X의_s 확률 분포는 기대값 0과 분산 t - s로 정규 분포입니다.

X $X$ 가 포아송 공정인 경우, X - X의 확률 분포는 기댓값 λ(t - s)을 갖는 포아송 분포이며, 여기서 λ > 0은 공정의 "강도" 또는 "비율"입니다.

$X$ $X$ 가 코시 공정인 경우, X - X의 확률 분포는 밀도 $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ ( $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ = $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ π $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ [ $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ x $f(x;t)={1 \over \pi }\left[{t \over x^{2}+t^{2}}\right]$ 2 + t 2] {\ $displaystyle$ f (x; t) = {1 \over \pi}\left[{t $\over$ x^{2}+t^{2] $}}\right$

무한 가분성

레비 과정의 분포는 무한 가분성의 성질을 갖습니다: 임의의 정수 n이 주어지면, 시간 t에서의 레비 과정의 법칙은 길이 t/n의 시간 간격에 따른 레비 과정의 증분인 n개의 독립적인 랜덤 변수의 합의 법칙으로 표현될 수 있습니다. 가정 2와 3에 의해 독립적이고 동일하게 분포되어 있습니다. 반대로, 각각의 무한히 나뉠 수 $있는$ 확률분포 F {\ $displaystyle$ F $}$ 에 대해 $F$ $X_{1}$ $X_{1}$ {\ $displaystyle$ X_{ $1}$ 의 법칙이 F{\ $displaystyle$ $F$ $}$ 에 의해 주어지도록 $X_{1}$ 하는 $X$ 레비 $프로세스$ X ${\displaystyle$ X $}$ 가 있습니다 $F$

모먼트

유한 모멘트를 갖는 모든 레비 프로세스에서 n번째 모멘트 $\mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})$ n $\mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})$ = E $\mu _{n}(t)=E(X_{t}^{n})$ t n) {\displaystyle \mu_{n}(t) = E(X_{t}^{n}}는 t의 다항 함수이며, 다음 함수들은 이항 항등식을 만족합니다.

\mu _{n}(t+s)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}\mu _{k}(t)\mu _{n-k}(s).

Levy–Kintchine 표현

레비 과정의 분포는 특징적인 함수로 특징지어지는데, 이 함수는 레비-킨트친 공식(모든 무한히 나눌 수 있는 분포에 대해 일반적임)에 의해 주어집니다.^[2]

$X$ = $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ ( $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ t $X=(X_{t})_{t\geq 0}$ ) t ≥ 0 {\ $displaystyle$ X = ( $X_$ {t})_{t\geq 0}}가 Levy 프로세스인 경우, 해당 특성 함수 φ X (θ) {\displaystyle \varphi_{X}(\theta )}는 다음과 같이 표시됩니다.
$\varphi_{X}(\theta )(t):=\mathbb {E} \left[e^{i\theta X(t)}\right]=\exp {\left(t\left(ai\theta -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}\theta ^{2}+\int_{\mathbb {R} \setminus \{0\}{\left(e^{i\theta x}-1-i\theta x\mathbf {1}_{ x <1}\right)\,\Pi(dx)}\right))}$

$여기서$ ∈ R ${\style$ a $\in \mathbb$ $a\in \mathbb {R}$ $\sigma \geq 0$ σ ≥ 0 ${\$ $displaystyle$ $\$ sigma \geq 0} 및 π {\displaystyle \Pi }은 X {\displaystyle X}의 레비 측도라고 하는 σ-무한 측도이며 속성을 만족합니다.

$\int_{\mathbb {R} \setminus \{0\}{\min(1,x^{2})\,\Pi(dx)}<\infty.$

위에서 $\mathbf {1}$ ${\$ 이 $\mathbf {1}$ (가) 지시 함수입니다. 특성 함수는 기본 확률 분포를 고유하게 결정하기 때문에 각 레비 프로세스는 "레비-킨트친 삼중항"(a $(a,\sigma ^{2},\Pi )$ σ 2 $,$ π π) ${\displaystyle(a,\$ sigma $(a,\sigma ^{2},\Pi )$ ^{2},\Pi )}에 의해 고유하게 결정됩니다. 이 삼중항의 조건은 레비 과정이 아래에 설명된 바와 같이 선형 드리프트, 브라운 운동 및 레비 점프 과정의 세 가지 독립적인 구성 요소를 갖는 것으로 볼 수 있음을 시사합니다. 이것은 바로 (비결정적인) 연속적인 레비 과정이 드리프트를 가진 브라운 운동뿐이라는 것을 알려줍니다. 마찬가지로 모든 레비 과정은 반마팅게일입니다.^[3]

레비-이토 분해

독립 확률 변수의 특성 함수가 곱하기 때문에 레비-킨트친 정리는 모든 레비 과정이 드리프트가 있는 브라운 운동과 또 다른 독립 확률 변수인 레비 점프 과정의 합임을 시사합니다. Levy-Itó 분해는 후자를 독립적인 포아송 랜덤 변수의 (정적) 합으로 설명합니다.

ν $\nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}$ = $\nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}$ π $R$ ∖( - 1, 1 ) π( - 1, 1 ) {\display style \n 이라고 $\nu ={\frac {\Pi |_{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))}}$ . $u ={\frac {\Pi _{\mathbb {R} \setminus (-1,1)}}{\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))$ $}}}$ — that is, the restriction of $\Pi$ to $\mathbb {R} \setminus (-1,1)$ , renormalized to be a probability measure; similarly, let $\mu =\Pi _{(-1,1)\setminus \{0\}}$ (but do not rescale). 그리고나서

\int_{\mathbb {R} \setminus \{0\} {\left(e^{i\thetax}-1-i\thetax\mathbf {1} _{ x <1}\right)\,\Pi(dx)}=\Pi(\mathbbb {R} \setminus (-1,1)\int _{\mathbb {R} {(e^{i\thetax}-1)\,\nu (dx)}+\int _{\mathbb {R} }{(e^{i\theta x}-1-i\theta x)\,\mu (dx)}.

전자는 강도 $\nu$ π $\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))$ ∖ $(-$ $\Pi (\mathbb {R} \setminus (-1,1))$ , 1) {\ $displaystyle$ \Pi $(\mathbb {R}$ \setminus (-1, 1)} 및 자식 분포 ν {\displaystyle \n을 갖는 복합 포아송 공정의 특성 함수입니다. $u$ 후자는 보상된 일반화 포아송 프로세스(CGPP)의 프로세스입니다. $\int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty$ 간격 a.s.에서 점프 불연속이 셀 수 없이 많은 프로세스이지만 이러한 불연속의 $1$ 는 1 ${\displaystyle$ 1 $}$ 미만입니다 $1$ $\int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty$ ∫ $\int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty$ $(d$ x ) < ∞ ${\displaystyle$ \int_ ${\mathbb {$ R} { x $\,\$ mu $\int _{\mathbb {R} }{|x|\,\mu (dx)}<\infty$ (dx)}<\infty }, 그러면 CGPP는 순수 점프 과정입니다.^[4]^[5] 따라서 프로세스 측면에서 $X$ $X$ 를 다음과 같은 방법으로 $X$ 분해할 수 있습니다.

X_{t}=\sigma B_{t}+at+Y_{t}+Z_{t},t\geq 0,

$Y$ 서Y {\ $displaystyle$ Y $Y$ }는 절대값이 $1$ $1$ {\ $displaystyle$ 1}보다 큰 점프를 갖는 복합 포아송 프로세스이고 $Z_{t}$ ${\$ 는 $Z_{t}$ 앞서 언급한 보상 일반화 포아송 프로세스이며, 이는 0 평균 마팅게일이기도 합니다.

일반화

레비 랜덤 필드는 레비 프로세스의 다차원 일반화입니다.^[6]^[7] 더 일반적인 것은 분해 가능한 프로세스입니다.^[8]

참고 항목

참고문헌

^ Sato, Ken-Iti (1999). Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.
^ 졸로타레프, 블라디미르 M. 1차원 안정 분포. 제65권 미국수학학회, 1986
^ P.E. 보호자. 확률적 적분과 미분 방정식. 스프링어, 2005.
^ Kyprianou, Andreas E. (2014), "The Lévy–Itô Decomposition and Path Structure", Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Universitext, Springer Berlin Heidelberg, pp. 35–69, doi:10.1007/978-3-642-37632-0_2, ISBN 9783642376313
^ Lawler, Gregory (2014). "Stochastic Calculus: An Introduction with Applications" (PDF). Department of Mathematics (The University of Chicago). Archived from the original (PDF) on 29 March 2018. Retrieved 3 October 2018.
^ Wolpert, Robert L.; Ickstadt, Katja (1998), "Simulation of Lévy Random Fields", Practical Nonparametric and Semiparametric Bayesian Statistics, Lecture Notes in Statistics, Springer, New York, doi:10.1007/978-1-4612-1732-9_12, ISBN 978-1-4612-1732-9
^ Wolpert, Robert L. (2016). "Lévy Random Fields" (PDF). Department of Statistical Science (Duke University).
^ Feldman, Jacob (1971). "Decomposable processes and continuous products of probability spaces". Journal of Functional Analysis. 8 (1): 1–51. doi:10.1016/0022-1236(71)90017-6. ISSN 0022-1236.

Applebaum, David (December 2004). "Lévy Processes—From Probability to Finance and Quantum Groups" (PDF). Notices of the American Mathematical Society. 51 (11): 1336–1347. ISSN 1088-9477.
Cont, Rama; Tankov, Peter (2003). Financial Modeling with Jump Processes. CRC Press. ISBN 978-1584884132..
Sato, Ken-Iti (2011). Lévy Processes and Infinitely Divisible Distributions. Cambridge University Press. ISBN 978-0521553025..
Kyprianou, Andreas E. (2014). Fluctuations of Lévy Processes with Applications. Introductory Lectures. Second edition. Springer. ISBN 978-3642376313..

[1] Sato, Ken-Iti (1999). Lévy processes and infinitely divisible distributions. Cambridge University Press. pp. 31–68. ISBN 9780521553025.

[2] 졸로타레프, 블라디미르 M. 1차원 안정 분포. 제65권 미국수학학회, 1986

[3] P.E. 보호자. 확률적 적분과 미분 방정식. 스프링어, 2005.

[4] Kyprianou, Andreas E. (2014), "The Lévy–Itô Decomposition and Path Structure", Fluctuations of Lévy Processes with Applications, Universitext, Springer Berlin Heidelberg, pp. 35–69, doi:10.1007/978-3-642-37632-0_2, ISBN 9783642376313

[5] Lawler, Gregory (2014). "Stochastic Calculus: An Introduction with Applications" (PDF). Department of Mathematics (The University of Chicago). Archived from the original (PDF) on 29 March 2018. Retrieved 3 October 2018.

[6] Wolpert, Robert L.; Ickstadt, Katja (1998), "Simulation of Lévy Random Fields", Practical Nonparametric and Semiparametric Bayesian Statistics, Lecture Notes in Statistics, Springer, New York, doi:10.1007/978-1-4612-1732-9_12, ISBN 978-1-4612-1732-9

[7] Wolpert, Robert L. (2016). "Lévy Random Fields" (PDF). Department of Statistical Science (Duke University).

[8] Feldman, Jacob (1971). "Decomposable processes and continuous products of probability spaces". Journal of Functional Analysis. 8 (1): 1–51. doi:10.1016/0022-1236(71)90017-6. ISSN 0022-1236.

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v t 확률적 과정
이산시간	베르누이 과정 분기공정 중식당과정 갈턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분산 랜덤 변수 마르코프 체인 모란과정 임의 보행 루프가 지워진 자기기피 편향된 최대 엔트로피
연속시간	덧셈공정 베셀과정 출생-사망과정 순산 브라운 운동 다리 익스포크 분수 기하학적 미앤더 코시공정 연락과정 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산과정 다이슨 브라운 운동 경험적 과정 펠러공정 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크 공정 헌트과정 상호작용하는 입자계 Itô 확산 Itô process 점프 확산 점프 과정 레비 과정 현지시간 마르코프 덧셈 과정 맥킨-블라소프 과정 오른슈타인-울렌벡 과정 포아송 과정 컴파운드 비균질적 슈람-로너 진화 세미마팅게일 시그마마팅게일 안정공정 수퍼프로세스 전신과정 분산 감마 과정 위너공정 위너 소시지
둘다요.	분기공정 갤브스–뢰처바흐 모형 가우스 과정 은닉 마르코프 모형(HMM) 마르코프 과정 마르팅게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 임의동역학계 재생과정 갱신과정 가변 길이의 메모리를 갖는 확률적 사슬 백색소음
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모형 아이싱모델 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트먼-요르프로세스 점공정 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤그래프
시계열 모형	자기회귀 조건부 이분산성(ARCH) 모형 자기회귀식 통합이동평균(ARIMA) 모형 자기회귀모형 자기회귀-이동평균(ARMA) 모형 일반화 자기회귀 조건부 이분산성(GARCH) 모형 이동평균(MA)모델
재무모형	이항옵션가격결정모형 블랙-더만–토이 블랙-카라신스키 블랙-스쿨즈 찬-카롤리-롱스태프-샌더스(CKLS) 첸 등분산탄력성(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) Garman–Kohlhagen 히스-재로우-모턴(HJM) 헤스턴 호이-리 헐-화이트 리보 시장 렌들맨 – 바터 SABR 변동성 바시체크 윌키
보험수리모형	ü만 크라머-룬드베르크 리스크프로세스 스페어-앤더슨
대기열 모델	벌크 유동적 일반화 대기열망 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	까들랑길 계속되는 연속경로 에르고딕 교환가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 조각적 결정론적 예측가능 점진적으로 측정 가능 셀프시밀러 정지된 시간 가역
리미트 정리	중심 극한 정리 돈스커 정리 두브의 마팅게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-그네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프 정리 0-1 법칙 (블루멘탈 , 보렐-칸텔리, 엥겔베르트-슈미트, 휴이트-새비지, 콜모고로프, 레비)
부등식	부르크홀더-다비스-건디 두브마팅게일 두브 업크로스 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	캐머런-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌레앙-데이드 지수 두브분해정리 두브마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 딘킨 공식 파인만-카크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 Itô 적분 Itmma's 보조개 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로코로프 계량 맬리아빈 미적분학 마르팅게일 표현정리 선택적 정지 정리 프로호로프 정리 이차 변동 반사원리 스코로호드 적분 스코로호드의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률미분방정식 다나카 정지시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 일반적인 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
규율	보험수리수학 제어이론 계량경제학 에르고딕 이론 극값 이론(EVT) 대이동설 수리금융 수학통계학 확률론 대기열 이론 갱신설 파멸론 신호처리 통계학 확률적 분석 시계열 분석 기계학습
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