현지 마팅게일

수학에서 지역 마팅게일은 마팅게일 특성의 국산화 버전을 만족시키는 확률적 과정의 일종이다. 모든 마팅게일은 지역 마팅게일이고, 모든 경계 지역 마팅게일은 마팅게일이다. 특히, 아래에서 경계하는 모든 마팅게일은 슈퍼 마팅게일이고, 위에서 경계하는 모든 지역 마팅게일은 하위 마팅게일이 된다. 그러나, 일반적으로 지역 마팅게일은 기대치가 왜곡될 수 있기 때문에 마팅게일이 아니다. 개연성이 적은 큰 값으로 특히 표류성 확산과정은 지역 마팅게일이지만 반드시 마팅게일은 아니다.

국소 마팅칼레스는 확률분석에 필수적이다(이토 미적분, 반마팅칼레, 기르사노프 정리 참조).

정의

Let ${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$ be a probability space; let ${\displaystyle F_{*}=\{F_{t}\mid t\geq 0\}}$ be a filtration of ${\displaystyle F}$; let ${\displaystyle X:[0,\infty )\times \Omega \rightarrow S}$ be an ${\displaystyle F_{*}}$-adapted stochastic process on the set ${\displaystyle S}$. Then ${\displaystyle X}$ is called an ${\displaystyle F_{*}}$-local martingale if there exists a sequence of ${\displaystyle F_{*}}$-stopping times ${\displaystyle \tau _{k}:$$\Oomega \to [0,\fty )}$ 그런 것.

• $τ$ k ${\$$}$는 거의 확실히 증가하고 있다: {{\$displaystyle P\left\{\$tau_${k$}<\tau_${k+1}\right\}=1$
• τ k ${\$ 거의 확실히 분기: P {림 k→ ∞ τ k= } }= 1 ${\displaystyle P\left\{\lim _{k\to \}\put _{k}=\right\}=1$
• 중단 과정
  $${\displaystyle X_{t}^{\tau _{k}}:=X_{\min\{t,\tau _{k}\}}}$$

  
  모든 k ${\$에 대한 F${\displaystyle k}$ -martingale 입니다.

예

예 1

W를_t 위너 공정이 되게 하고 T = 최소{ t : W_t = -1 }의 첫 번째 적중 시간 -1 }. 정지된 공정 W는_{min{ t, T }} 마팅게일이다; 그 기대치는 항상 0이지만, 그럼에도 불구하고 한계(t → ∞)는 거의 확실히 -1(도박자의 파멸의 일종)과 같다. 시간 변경은 프로세스로 이어진다.

${\displaystyle \displaystyle X_{t}={\begin{case}W_{\min \left({\tfrac {t}{1-t}},T\right)}}&{\text{{}}}{{}0\leq t<1,\-1&{\text{}}}{1}\leq t<\infully .\end}}}}}$

X t ${\$ 공정은 거의 확실히 연속적이다. 그럼에도 불구하고, 그 기대는 불연속적이다.

${\displaystyle \displaystyle \operatorname {E}X_{t}={\begin{case}0&{\text{{}}}}}{}0\leq t<,\-1&{\text}{1}\1\leq t<\inft}}}}}}}}}$

이 과정은 마팅게일이 아니다. 하지만, 그것은 지역 마팅게일이다. 위치 지정 시퀀스는 τ k= 최소{ t: X t= k } ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:$$X_{t}=k\}}$이(가) 있는 경우 if k= k ${\displaystyle \tau _{k}=k$ 이 시퀀스는 거의 확실히 분산되는데, 이는 τ k= k ${\displaystyle \tau _{k}=k}$가 충분히 큰 k에 대해(명칭, 프로세스 X의 최대값을 초과하는 모든 k에 대해)이기 때문이다. τ에서_k 멈춘 공정이 마팅게일이다.^{[details 1]}

예 2

W를_t Wiener 프로세스로 하고 ƒ 측정 가능한 함수를 1) < ${\displaystyle \operatorname {E}f(W_{1}) <\infit .}$ 그렇다면 다음 프로세스는 마팅게일이다.

${\displaystyle X_{t}=\operatorname {E} (f(W_{1})\mid F_{t})={\begin{cases}f_{1-t}(W_{t})&{\text{for }}0\leq t<1,\\f(W_{1})&{\text{for }}1\leq t<\infty ;\end{cases}}}$

여기에

${\displaystyle f_{s}=\operatorname {E}f(x+W_{s})=\int f(x+y){1}{\sqrt{2\pi s}}\mathrm {e}^{-y^{-y^{2}/(2s)\dy.}$

The Dirac delta function ${\displaystyle \delta }$ (strictly speaking, not a function), being used in place of ${\displaystyle f,}$ leads to a process defined informally as ${\displaystyle Y_{t}=\operatorname {E} (\delta (W_{1})\mid F_{t})}$ and formally as

${\displaystyle Y_{t}={\begin{case}\delta _{1-t}(W_{t})&{\text{{{}}}}{}}}{{0&\text{{1}\1\leq t}\inft;\case{}}}}}$

어디에

${\displaystyle \property_{s}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi s}\mathrm {e}^{-x^{2}/(2s)}.}$

Y t ${\$ 공정은 거의 확실히 연속적이다(W1 ≠ 0 ${\displaystyle W_{1}\neq$ 0$}).$ 그럼에도 불구하고 그 기대는 불연속적이다.

${\displaystyle \operatorname {E}Y_{t}={\begin{case}1/{\sqrt{2\pi }}}{}}{}0\leq t<1,\0&{\text}{1}의 경우.\case}}}$

이 과정은 마팅게일이 아니다. 하지만, 그것은 지역 마팅게일이다. 위치 지정 시퀀스는 τ k= 최소{ t: Y t= k } .${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:$$Y_{t}=k\}.$$}$

예 3

Z t ${\$을(를) 복합 값 Wiener 공정으로 하고

${\displaystyle X_{t}=\ln Z_{t}-1 \,}$

X t ${\$ 공정은 거의 확실하게(Z t ${\$는 거의 확실하게 1을 치지 않기 때문에), 로컬 마팅게일로, u↦ ln u- 1 $displaysty u\mapsto u-1}$은 조화(점 없는 복잡한 평면에서)이기 때문이다. 위치 지정 시퀀스는 τ k= 최소{ t: X t=- k }. ${\displaystyle \tau _{k}=\min\{t:$$X_{t}=-k\}.$$}}$ 그럼에도 불구하고 이 과정에 대한 기대는 일정하지 않다. 더구나

E ⁡ X t→ ∞ ${\displaystyle \operatorname {E} X_{t}\to$\ft $\$to \$inft$ ,}으로 t →$fty$ →∞, $displaysty$ t$\to$\infty ,}로\}

which can be deduced from the fact that the mean value of ${\displaystyle \ln u-1 }$ over the circle ${\displaystyle u =r}$ tends to infinity as ${\displaystyle r\to \infty }$. (In fact, it is equal to ${\displaystyle \ln r}$ for r ≥ 1 but to 0 for r ≤ 1).

지역 마팅세일을 통한 마팅세일즈

M t ${\$을(를) 현지 마팅게일로 한다. In order to prove that it is a martingale it is sufficient to prove that ${\displaystyle M_{t}^{\tau _{k}}\to M_{t}}$ in L¹ (as ${\displaystyle k\to \infty }$) for every t, that is, ${\displaystyle \operatorname {E} M_{t}^{\tau _{k}}-M_{t} \to 0;}$ here M t τ k= M t ∧ k ${\$은(는) 중지된 과정이다. 주어진 관계 τk→ ∞ ${\displaystyle \tau _{k}\$to$\ft}$은 M timplies k → M t {\$displaystyle$ M_${t}^{\tau _{k}}\t}}$는 거의 확실하다는 것을 의미한다. 지배적인 정합화 정리는 다음과 같은 경우에 L의¹ 정합화를 보장한다.

(∗) E⁡ k < $∞{\$

따라서 조건(*)은 현지 마팅게일 M t ${\$이 마팅게일이 되기에 충분하다. 더 강한 조건

( ) E [ , s< ${\$ [$0,$t$]} M_${s}$<\fult}}}.$

또한 충분하다.

주의하다. 약한 상태

supp s[ ,t ] E s<$\$ {\$displaystyle \textstyle \sup _${sup$_{s\in$[$0,t$]}\$operatorname$ {$E} M_{s} <\infully }$

충분하지 않다. 게다가 그 조건도

${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,\inflt )}\opername {E} \mathrm {e}^{M_{t}<\inflt}}$

여전히 충분하지 않다. counterrexample은 위의 예 3을 참조한다.

특별한 경우:

${\displaystyle \textstyle M_{t}=f(t,W_{t}),}$

여기서 W t ${\$은(는) Wiener 프로세스이며,f: [ 0 ,) )× R→ R{\$displaystyle f:[0,\fty$)\$time \mathb {$R$}$ $\to \mathb {R}$은(으)로 연속적으로 두 배 차이가 난다. 프로세스 M t ${\$는 f가 PDE를 만족하는 경우에만 로컬 마팅게일이다.

${\displaystyle{\frac {\partial t}{\partial t}+{\partial t}{1}{1}:{2}}:{\partial x^{2}}:{\big )f(t,x)=0.}$

그러나 이 PDE 자체는 M t ${\$이 마팅게일임을 보장하지는 않는다. (***)을 적용하기 위해서는 f에 다음 조건이 충분하다: 모든 > 0 ${\displaystyle \varepsilon >0}$에 대해,t는 다음과 같은 C= C (ε, t $displaystyle C=C(\varepsilon ,t)$가 있다.

${\displaystyle \textstyle f(s,x) \leq C\mathrm {e}^{\barepsilon x^{2}}$

모든 s ∈[ 0, t ] ${\displaystyle s\in [0,t]}$ 및 x ∈ R. ${\displaystyle$ x$\in \mathb {R}$에 대해$.$

기술적 세부사항

참조

• Øksendal, Bernt K. (2003). Stochastic Differential Equations: An Introduction with Applications (Sixth ed.). Berlin: Springer. ISBN 3-540-04758-1.