랜덤 워크

중앙 지점에서 8단계 랜덤 워크를 5번 합니다.경로에 따라서는 루트가 스스로 2배로 되돌아가고 있는 경우 8단계보다 짧은 것으로 나타납니다.(최신 버전)

수학에서 랜덤 워크(random walk)는 수학 공간에서 일련의 랜덤 스텝으로 구성된 경로를 설명하는 랜덤 프로세스입니다.

랜덤 워크의 기본적인 예는 0에서 시작하여 각 스텝에서 +1 또는 -1을 동일한 확률로 이동하는 정수 $\mathbb {Z}$ Z(\ $displaystyle \mathbb {Z})$ 의 $\mathbb {Z}$ 랜덤 워크입니다.다른 예로는 액체나 기체로 이동하는 분자에 의해 추적되는 경로(브라운 운동 참조), 먹이를 찾는 동물의 탐색 경로, 변동하는 주식의 가격과 도박꾼의 재정 상태를 포함한다.랜덤 워크는 공학 분야와 생태학, 심리학, 컴퓨터 과학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학, 사회학을 포함한 많은 과학 분야에 응용된다.랜덤 워크라는 용어는 1905년 ^[1]Karl Pearson에 의해 처음 도입되었다.

격자 랜덤 워크

일반적인 랜덤 워크 모델은 정규 격자에서의 랜덤 워크 모델이며, 각 단계에서 어떤 확률 분포에 따라 위치가 다른 사이트로 점프한다.단순한 랜덤 워크에서 위치는 격자 경로를 형성하면서 격자의 인접 사이트로만 점프할 수 있습니다.국소적으로 유한한 격자에서 단순한 대칭 랜덤 워크에서, 그 위치가 각각의 바로 이웃으로 점프할 확률은 동일하다.가장 잘 연구된 예는 d차원 정수 격자(초입방체 $\mathbb {Z} ^{d}$ 라고도 함) $\mathbb {Z} ^{d}$ d $\displaystyle \mathbb$ {Z $} ^{d$ ^[2]이다.

상태 공간이 유한 치수로 제한되는 경우, 무작위 보행 모델을 단순 경계 대칭 랜덤 보행이라고 하며, 여백과 코너 상태에 따라 이동이 ^[3]제한되기 때문에 전환 확률은 상태의 위치에 따라 달라진다.

1차원 랜덤 워크

랜덤 워크의 기본적인 예는 정수 라인인 $(\displaystyle$ \ $mathbb$ {Z $\mathbb {Z}$ 의 랜덤 워크로, 0에서 시작하여 각 스텝에서 +1 또는 -1을 동일한 확률로 이동합니다.

이 걸음걸이는 다음과 같이 설명할 수 있다.숫자선 위에 마커를 0에 놓고 페어코인을 뒤집는다.마커가 헤드에 착지하면 마커가 오른쪽으로 한 단위 이동합니다.마커가 꼬리에 착지하면 마커가 왼쪽으로 한 단위 이동합니다.5회 플립하면 마커는 -5, -3, -1, 1, 3, 5가 됩니다.다섯 번의 공중제비, 세 번의 앞부분과 두 번의 뒷부분을 차례로 돌리면 1에 착지합니다.1에 착지하는 방법(머리 3개와 꼬리 2개를 뒤집는 방법), -1에 착지하는 방법(꼬리 3개와 꼬리 2개를 뒤집는 방법), 3에 착지하는 방법(머리 3개와 꼬리 1개를 뒤집는 방법), -3에 착지하는 방법(꼬리 4개와 머리 1개를 뒤집는 방법), 5에 착지하는 방법(5개를 뒤집는 방법), -5에 착지하는 방법(뒤에 착지하는 방법)이 있다.5개의 꼬리에 ping을 합니다).5회 공중제비에서 발생할 수 있는 결과를 보려면 아래 그림을 참조하십시오.

페어 코인 5회 공중제비 후 가능한 모든 랜덤 워크 결과

2차원 랜덤 워크(애니메이션 버전)

2차원 랜덤 워크 25,000보 (애니메이션 버전)

2차원의 랜덤 워크, 200만 걸음 이상의 작은 스텝.이 이미지는 더 자주 통과하는 점이 더 어둡게 생성되었습니다.한계에서는 아주 작은 걸음으로 브라운 운동을 얻을 수 있다.

이 워크를 정식으로 정의하려면 독립 랜덤 $Z_{1},Z_{2},\dots$ $Z_{1},Z_{2},\dots$ , Z $Z_{1},Z_{2},\dots$ , $…(각$ 변수는 1 또는 -1, $Z_{2},\dots$ 를 $S_{0}=0$ 취하고 S 0 = 0 $S_{0}=0$ {\ $displaystyle S_{0} =$ ${\textstyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}.}$ {\displaystyle J ${\textstyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}.}$ ${\textstyle S_{n}=\sum _{j=1}^{n}Z_{j}.}$ 로 $S_{0}=0$ 합니다 $.$ } $시리즈$ { S $}$ { { displaystyle \ { $S$ _ { n $\{S_{n}\}$ } } { { { $\mathbb {Z}$ { z { $called$ （ \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { Z $\{S_{n}\}$ $}$ $\mathbb {Z}$ 。이 시리즈(-1과 1의 시퀀스의 합)는 워크의 각 부분이 1의 길이일 경우 순 보행 거리를 $\mathbb {Z}$ 합니다 $.$ $(\$ $})$ 의 $S_{n}$ $E(S_{n})$ E $(Sn)$ 는 $E(S_{n})$ 0입니다.즉, 동전 던지기 횟수가 증가함에 따라 동전 던지기 평균은 0에 가까워집니다.따라서 기대치의 유한 가산성 특성이 뒤따른다.

\displaystyle E(S_{n})=\sum _{j=1}^{n}E(Z_{j})=0.}

랜덤 변수의 독립성과 E $E(Z_{n}^{2})=1$ $E(Z_{n}^{2})=1$ 2) $=$ $E(Z_{n}^{2})=1$ {{ $display style$ E $(Z_{n}^{$ 2}= $1$ 이라는 사실을 사용한 유사한 계산은 다음과 같다.

\displaystyle E(S_{n}^{2}=\sum _{i}^{n}E(Z_{i}^{2})+2\sum _{1\leq i<j\leq n}E(Z_{i}Z_{j})=n}

$E(|S_{n}|)\,\!$ , E $E(|S_{n}|)\,\!$ ( $E(|S_{n}|)\,\!$ n $E(|S_{n}|)\,\!$ ) \ $displaystyle$ E ( $S$ _ { $n$ } , \ ! $E(|S_{n}|)\,\!$ }, n 스텝 후의 예상 변환 거리는 n ${\sqrt {n}}$ \ $displaystyle$ \ $sqrt$ { $n$ 입니다.실제로,^[4]

\lim _{n\to \infty}{\frac {E(S_{n})}{\fracrt {n}}=\frac {2}{\pi }}}.

이 결과는 큰 $N$ (\ $displaystyle$ N $N$ ^{[citation needed]}의 경우 제곱근의 동작 방식 때문에 확산이 혼합에 효과적이지 않음을 나타냅니다.

계속 걷는 것이 허용되는 경우 임의 보행이 경계선을 몇 번 통과하는지에 대한 질문에 답하기 위해 Z $(\$ 에서 $\mathbb {Z}$ 단순 임의 보행이 모든 지점을 무한히 통과합니다.이 결과는 수평 교차 현상, 재발 또는 도박꾼의 파멸이라는 많은 이름을 가지고 있다.성의 이유는 유한한 금액의 도박사가 무한 금액의 은행을 상대로 공정한 게임을 벌이면 결국 패하기 때문이다.도박꾼의 돈은 무작위로 걷게 되고, 어느 순간 0에 도달하게 되고, 게임은 끝납니다.

a와 b가 양의 정수인 경우, 0에서 시작하는 1차원 단순 랜덤 워크가 먼저 b 또는 -a를 누를 때까지 예상되는 스텝 수는 ab입니다.이 걸음걸이가 -a 앞에 b를 칠 확률은 a $a/(a+b)$ / $a/(a+b)$ ( $a/(a+b)$ + $a/(a+b)$ ) { $displaystyle$ a $/(a$ + $b$ 입니다.이것은 단순한 랜덤 걸음걸이가 마티게일이라는 사실에서 도출할 수 있습니다.그리고 이러한 기대와 타격 확률은 일반적인 1차원 랜덤 워크 마르코프 사슬의 $O(a+b)$ O ( $O(a+b)$ + $)$ { $displaystyle$ O ( $a$ + $b)}$ 로 $O(a+b)$ 계산할 수 있다.

위에 언급된 결과들 중 일부는 파스칼의 삼각형의 특성에서 도출될 수 있다.각 스텝이 +1 또는 -1인 n 스텝의 다른 스텝의 수는 2입니다ⁿ.단순한 랜덤 워크의 경우, 각각의 워크가 동등하게 될 가능성이 있다.S가_n 숫자 k와 같기 위해서는 보행에서 +1의 숫자가 -1의 숫자 k를 초과하는 것이 필요하고 충분하다.들어 이 의미를 가지고 있는 것은 따라서}Snxk{\displaystyle S_{n}=k을 충족하는 산책의 수가 n요소 set,[5](n(n+k)/2){\textstyle n\choose(n+k)/2}표시에서(n+k)/2 요소를 선택하는 방법의 수와 같+1(n+k)/2번 산책의 n단계 중 하나, 나타나야 한다.,nece 것.ssn + k가 짝수라는 것은 n과 k가 둘 다 짝수이거나 둘 다 홀수라는 것을 의미합니다. $S_{n}=k$ , S n $=$ $S_{n}=k$ (\ $displaystyle S_{n$ }= $k}$ 가 $S_{n}=k$ ${\textstyle 2^{-n}{n \choose (n+k)/2}}$ 2 - ${\textstyle 2^{-n}{n \choose (n+k)/2}}$ ( ${\textstyle 2^{-n}{n \choose (n+k)/2}}$ + ${\textstyle 2^{-n}{n \choose (n+k)/2}}$ ) / ${\textstyle 2^{-n}{n \choose (n+k)/2}}$ $)(\$ 2 $^{-n}{n \choose (n+k)/2$ $S_{n}=k$ 은 인자식으로 표현하고 스털링 공식을 사용하여 큰 값을 얻을 수 있다. $n$ \ $display style$ n $n$ } 。

간결성을 위해 공간이 Z $(\$ +)로 제한된 경우, 랜덤 워크가 5회 공중제비를 갖는 임의의 숫자에 착지하는 방법은 {0,5,0,4,0,1}로 표시할 수 있습니다.

파스칼 삼각형과의 이러한 관계는 n의 작은 값에 대해 입증된다.0회전 시 유일한 가능성은 0을 유지하는 것입니다.그러나 한 바퀴 돌 때 -1에 착지하거나 1에 착지할 가능성이 1번 있다.두 바퀴 돌 때 1의 마커가 2로 이동하거나 다시 0으로 이동할 수 있습니다.마커가 -1일 경우 -2로 이동하거나 다시 0으로 이동할 수 있습니다.따라서 -2에 착지할 확률은 1회, 0에 착지할 확률은 2회, 2에 착지할 확률은 1회입니다.

k	−5	−4	−3	−2	−1	0	1	2	3	4	5
$P[S_{0}=k]$						1
$2P[S_{1}=k]$					1		1
$2^{2}P[S_{2}=k]$				1		2		1
$2^{3}P[S_{3}=k]$			1		3		3		1
$2^{4}P[S_{4}=k]$		1		4		6		4		1
$2^{5}P[S_{5}=k]$	1		5		10		10		5		1

중심 한계 정리와 반복 로그의 법칙은 Z $(\$ 에서의 단순한 랜덤 워크 동작의 중요한 측면을 기술한다. 특히, 전자는 n이 증가할수록 확률(각 행의 숫자에 비례함)이 정규 분포에 근접하는 것을 수반한다.

직접 일반화로서 결정 격자에 대한 랜덤 워크(유한 그래프에 걸친 무한 접힘 아벨)를 고려할 수 있다.실제로 이 ^[6]^[7]설정에서는 중심 한계 정리 및 큰 편차 정리를 확립할 수 있습니다.

마르코프 연쇄로서

1차원 난보 또한에서 상태 공간 나는 0정도는 정수에 의해에게 주어진 마르코프 연쇄±1,±2,….{\displaystylei=0,\pm 1,\pm 2,\dots.}몇가지 p로 0<>p<1{\displaystyle \,0<, p< 1}은 확률 상태에서 sta 나는으로 이동하는 확률 Pi,j을 충족시켜 볼 수 있다.기 j) 주어진다타고

{\displaystyle\,P_{i,i+1}=p=1-P_{i,i-1}

이종간 일반화

고차원

3차원의 랜덤 워크 3개

고차원에서는 무작위로 걷는 점 집합이 흥미로운 기하학적 특성을 가집니다.사실, 사람은 이산 프랙탈, 즉 확률적 자기 유사성을 대규모로 나타내는 집합을 얻는다.작은 규모에서는 걷기를 수행하는 그리드에서 발생하는 "흔들림"을 관찰할 수 있다.랜덤 워크의 궤적은 방문한 포인트의 집합이며, 워크가 지점에 도달한 시점을 무시하고 세트로 간주한다.1차원에서 궤적은 단순히 보행에서 달성된 최소 높이와 최대 높이 사이의 모든 지점입니다(둘 다 평균적으로 $\$

2차원의 경우를 시각화하기 위해, 한 사람이 무작위로 도시를 돌아다니는 것을 상상할 수 있다.그 도시는 사실상 무한하고 네모난 인도 격자 모양으로 배열되어 있다.교차로마다 4가지 경로(원래 이동 경로 포함) 중 하나를 무작위로 선택합니다.공식적으로, 이것은 정수 좌표를 가진 평면의 모든 점 집합에 대한 무작위 보행이다.

보행의 원래 시작점으로 돌아가는 질문에 답하기 위해, 이것은 위에서 설명한 레벨 교차 문제와 2차원으로 동등합니다.1921년 조지 폴랴는 사람이 2차원 랜덤 워크에서 거의 틀림없이 그럴 것이라는 것을 증명했지만, 3차원 이상일 경우, 차원이 증가함에 따라 원점으로 돌아갈 확률은 감소한다.3차원에서 확률은 약 34%^[8]로 감소합니다.수학자 가쿠타니 시즈오(ut谷o夫)는 이 결과를 술 취한 사람은 집에 갈 길을 찾지만 술 취한 ^[9]새는 영원히 길을 잃을 수 있다고 말한 것으로 알려져 있다.

Pollya가 또한 질문한 이 질문의 또 다른 변형은 "두 사람이 같은 출발점을 떠난다면 그들은 다시 만날 수 있을까?"이다.^[10]이들의 위치 차이(2개의 독립된 랜덤 워크)도 단순한 랜덤 워크이므로 2차원 워크에서 다시 만날 것이 거의 확실하지만 3차원 이상일 경우 차원 수에 따라 확률이 감소한다는 것을 알 수 있다.또한 Paul Erd's와 Samuel James Taylor는 1960년에 4보다 작거나 같은 치수의 경우, 주어진 두 지점에서 시작하는 두 개의 독립적인 무작위 보행이 무한히 많은 교차로를 가지지만, 5보다 큰 치수의 경우 거의 확실하게 자주 ^[11]교차한다는 것을 보여주었다.

스텝 수가 증가함에 따라 2차원 랜덤 워크에 대한 점근 함수는 레일리 분포에 의해 주어진다.확률 분포는 원점으로부터의 반지름의 함수이며 각 단계에서 단계 길이가 일정합니다.

P(r)=param frac {2r}{N}}e^{-r^{2}/N}

위너 프로세스와의 관계

Wiener 프로세스를 2차원으로 근사하는 시뮬레이션 단계

위너 과정은 미세한 입자가 유체에서 확산되는 물리적 현상인 브라운 운동과 유사한 행동을 하는 확률적 과정입니다.(가끔 위너 과정은 "브라운 운동"이라고 불리기도 하지만, 이는 엄밀히 말해 모델링된 현상과 모형을 혼동하는 것입니다.)

와이너 프로세스는 치수 1에서 랜덤 워크의 스케일링 한계입니다.즉, 매우 작은 스텝으로 랜덤 워크가 있는 경우 위너 프로세스(정확하게는 브라운 운동)에 대한 근사치가 있다는 것을 의미합니다.좀 더 정확하게 말하면 스텝사이즈가 θ인 경우 L/θ² 길이로 L의 Wiener 길이에 근접할 필요가 있습니다.스텝 사이즈가 0(및 스텝의 수는 비례적으로 증가) 경향이 있기 때문에 랜덤 워크는 적절한 의미에서 Wiener 프로세스로 수렴됩니다.형식적으로는 B가 최대 topology를 가진 길이 L의 모든 경로의 공간이고 M이 표준 topology를 가진 B에 대한 측정 공간인 경우 컨버전스는 공간 M에 있습니다.마찬가지로, 여러 차원에서의 위너 프로세스는 동일한 차원 수에서의 랜덤 워크의 스케일링 한계이다.

랜덤 워크는 이산 프랙탈(정수 치수를 가진 함수, 1, 2, ...)이지만, 위너 공정 궤적은 진정한 프랙탈이며, 둘 사이에는 연결이 있습니다.예를 들어, 계단 길이의 반지름 r배 원에 도달할 때까지 무작위로 걷습니다.실행되는 평균 스텝 수는 ^{[citation needed]}r 입니다².이 사실은 Wiener 프로세스 워크가 하우스도르프 차원 ^{[citation needed]}2의 프랙탈이라는 사실을 이산화한 것입니다.

2차원에서, 동일한 무작위 보행이 궤적의 경계에 있는 평균 지점 수는 r이다^4/3.이는 위너 공정의 궤적의 경계가 4/3차원 프랙탈이라는 사실에 해당하며, 이는 만델브롯이 시뮬레이션을 통해 예측했지만 2000년에 롤러, 슈람, ^[12]베르너에 의해 증명되었다.

와이너 프로세스는 랜덤 워크에서는 얻을 수 없는 많은 대칭을 가지고 있습니다.예를 들어, Wiener 프로세스 워크는 회전에는 불변하지만, 기본 그리드는 그렇지 않기 때문에 랜덤 워크는 회전에는 불변하지만 Wiener 프로세스도 회전에는 불변합니다(예를 들어 17도 회전에는 불변입니다.즉, 대부분의 경우 랜덤 워크의 문제를 Wiener 프로세스로 변환하여 문제를 해결한 후 다시 번역함으로써 해결하기가 더 쉬워집니다.반면에, 어떤 문제들은 분리된 특성 때문에 랜덤 워크로 해결하기가 더 쉽다.

랜덤 워크와 위너 프로세스는 서로 매우 근접하도록 강요하는 종속적인 방식으로 동일한 확률 공간에 나타날 수 있습니다.가장 단순한 결합은 스코로호드 매립이지만, 더 정밀한 결합이 존재한다. 예를 들어 Komlos – Major –투스나디 근사 정리.

위너 과정을 향한 랜덤 워크의 수렴은 중심 한계 정리와 돈스커의 정리에 의해 제어된다.t = 0에서 알려진 고정 위치에 있는 입자의 경우, 중심 한계 정리에 따르면 랜덤 워크에서 많은 수의 독립적 단계를 거친 후 보행자의 위치는 총 분산의 정규 분포에 따라 분포된다.

\displaystyle ^{2}=displayfrac {t}{\display t}},\varepsilon ^{2}

여기서 t는 랜덤워크 시작 후 경과한 시간, $\varepsilon$ {\ { $displaystyle$ \ $varepsilon$ }은 $\varepsilon$ 랜덤워크의 스텝 크기, $\delta t$ t { $displaystyle$ \ $verepsilon$ t $}$ 는 $\delta t$ 연속된2개의 스텝 사이에 경과한 시간입니다.

이는 위너 과정을 제어하는 확산 방정식의 그린 함수에 해당하며, 이는 많은 단계 후에 랜덤 워크가 위너 과정을 향해 수렴됨을 나타냅니다.

3D에서 확산 방정식의 그린 함수에 해당하는 분산은 다음과 같습니다.

(\displaystyle\display^{2}=6,D,t)

이 양을 랜덤 워커의 위치와 관련된 분산과 동등하게 함으로써 랜덤 워커가 다수의 스텝 후에 수렴하는 점근적 위너 프로세스에 대해 고려해야 할 등가 확산 계수를 구한다.

({displaystyle D=black}{varepsilon ^{2}}{6\black t})

(3D로만 유효).

위의 두 가지 분산 표현은 랜덤 워크의 양끝을 3D로 연결하는 ${\vec {R}}$ R $→$ {\ $displaystyle {R}}$ 과 ${\vec {R}}$ (와) 관련된 분포에 해당합니다.각 $R_{x}$ $R_{x}$ x {\ $displaystyle R_{x$ $R_{y}$ {\ $displaystyle$ R_ ${y}$ $R_{z}$ R $R_{z}$ {\ $displaystyle R_{z}$ 에 $R_{z}$ 관련된 분산은 이 값의 3분의 1에 불과합니다(아직도 3D).

2D의 ^[13]경우:

({displaystyle D=black}{varepsilon ^{2}}{4\black t}).}

1D의 ^[14]경우:

({displaystyle D=black}{varepsilon ^{2}}{2\black t}).}

가우스 랜덤 워크

금융시장 등의 실제 시계열 데이터의 모델로서 정규 분포에 따라 다른 스텝 사이즈의 랜덤 워크를 이용한다.예를 들어 옵션 가격 모델링에 대한 Black-Scholes 공식은 기본 가정으로 가우스 랜덤 워크를 사용한다.

단, 스텝 사이즈는 역누적 정규분포 $\Phi ^{-1}(z,\mu ,\sigma )$ μ $\Phi ^{-1}(z,\mu ,\sigma )$ $){displaystyle \Phi$ ^{- $1}(z,\mu,\sigma)}$ 입니다 $\Phi ^{-1}(z,\mu ,\sigma )$ .여기서 0 δz δ1은 균등분포 난수이고, μ 및 δ는 각각 정규분포의 평균 및 표준편차이다.

μ가 0이 아닌 경우 랜덤 워크는 선형 트렌드에 따라 달라집니다.v가 랜덤 워크의 시작 값인 경우_s, n단계 이후의 예상 값은 v_s + nμ가 될 것이다.

μ가 0인 특수한 경우 n개의 스텝 후에 변환거리의 확률분포는 N(0, n²),)으로 한다.여기서 N()은 정규분포의 표기법, n은 스텝수, θ는 위와 같은 역누적 정규분포에서 나온다.

증명: 가우스 랜덤 워크는 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 시퀀스의 합으로 생각할 수 있다_i. 평균이 0인 역 누적 정규 분포의 X와 원래의 역 누적 정규 분포의 θ:

{{displaystyle Z=\sum _{i=0}^{n}{X_{i}}}

그러나 두 개의 독립적인 정규 분포 랜덤 $변수$ 인 Z $= X$ + $Y$ 의 합에 대한 분포는 다음과 같다.

{\displaystyle {N}({X}+\mu_{Y},\sigma_{X}^{2}+\sigma_{Y}^2}})

(여기를 참조).

$이 X$ 경우 $μ Y$ = μ = $0$ , $μ 2 X$ = $δ 2 Y 2$ 수율

{\displaystyle {N}} (0,2\sigma ^{2})

유도에서는 n개의 스텝에 대해 Z

Z\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2}).

Z\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2}).

n 2

Z\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2}).

이

.\displaystyle

Z

\sim {N}}(0,n\sigma

^{

2})

} 평균이

Z\sim {\mathcal {N}}(0,n\sigma ^{2}).

0이고 분산이 유한한 분포(반드시 정규 분포일 필요는 없음)에 따라 분포된 보의 경우 n 보 후의 평균 제곱 변환 거리는 다음과 같다

.

{E S_{n}^2}}=\displaystyle {\displayrt {n}.

그러나 가우스 랜덤 워크의 경우 이는 n단계 이후의 변환 거리 분포의 표준 편차일 뿐입니다.따라서 μ가 0이고 루트 평균 제곱(RMS) 변환 거리가 1 표준 편차이므로 n 스텝 후의 RMS 변환 거리가 ± $(\$ 사이가 $\pm \sigma {\sqrt {n}}$ 될 확률은 68.27%입니다. 마찬가지로 n 스텝 후의 변환 거리도 50%입니다.± $\pm 0.6745\sigma {\sqrt {n}}$ $\pm 0.6745\sigma {\sqrt {n}}$ (\ $displaystyle\pm$ 0.6745\displaystyle\ $pm$ 0.6745\ $displayrt {n$ 사이로 $\pm 0.6745\sigma {\sqrt {n}}$ 떨어집니다.

고유 사이트 수

단일 랜덤 $S(t)$ S $S(t)$ $)$ { $displaystyle$ S $(t)}$ 가 $S(t)$ 방문한 개별 사이트의 수는 정사각형 격자와 입방체 격자와 프랙탈에 ^[15]^[16]대해 광범위하게 연구되었다.이 양은 포획 및 운동 반응 문제 분석에 유용합니다.그것은 또한 ^[17]^[18]^[20]^[21]생태계에서 상태의 진동 밀도, 확산 반응^[19] 과정 그리고 개체군의 확산과 관련이 있다.

정보 속도

오차 거리 제곱에 대한 가우스 랜덤 워크의 정보 속도(즉, 2차 속도 왜곡 함수)는 다음과 같이 매개변수로^[22] 주어진다.

{\displaystyle R(D_{\theta })=varfrac {1}{2}\int _{0}\max\{0,\log _{2}\left(S(\varphi)/\theta \right)\},d\varphi,

D_{\theta}=\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi),\theta \},d\varphi,

S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}

서 S

S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}

(

S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}

)

S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}

(

S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}

sin

S(\varphi )=\left(2\sin(\pi \varphi /2)\right)^{-2}

( \

varphi

)

=

\

left ( 2

\

sin

( \

pi

\

varphi / 2

) \ right

)^{

-

2

）。

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

1

N {

display

style

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{ Z _

1 =

{

n

} { n } }

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

。T것으로 예상되는 모눈이 D({\displaystyle D_{\theta}}. 반면에 대한ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}, 존재하는 N∈ N{\displaystyle N\in \mathbb{N}}에 충분한 이진 코드의 2NR({\displaystyle 2^{NR(D_{\theta})}}디.stinct이 코드에서

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

n

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

{\{Z_{n}\}_{n=1}^{N}}

N

({Z_{n}\}_{n=1

}^{N

})

복구 시 예상되는 평균 제곱 오류가

D_{\theta }-\varepsilon

D_{\theta }-\varepsilon

D_{\theta }-\varepsilon

-

D_{\theta }-\varepsilon

（ \

displaystyle

D _ { \

theta

} - \

varepsilon

이 되도록 합니다.

적용들

Antony Gormley의 런던에 있는 Quantum Cloud 조각은 랜덤 워크 알고리즘을 사용하여 컴퓨터에 의해 디자인되었습니다.

언급한 바와 같이, 특히 물리학과 화학,^[25] 재료 ^[26]^[27]과학 및 ^[28]생물학에서 랜덤^[23]^[24] 워크의 일부 맛에 의해 묘사될 수 있는 자연 현상의 범위는 상당하다.^[29]^[30] 다음은 랜덤 워크의 몇 가지 특정 응용 프로그램입니다.

금융경제학에서 랜덤 워크 가설은 주가 및 기타 ^[31]요인을 모델링하기 위해 사용된다.경험적 연구는 특히 단기 및 장기 상관 관계에서 이 이론 모델에서 일부 편차를 발견했다.주가 참조.
집단 유전학에서 랜덤 워크는 유전적 표류의 통계적 특성을 설명한다.
물리학에서 랜덤 워크는 액체와 기체에서 분자의 랜덤 움직임과 같은 물리적 브라운 운동과 확산의 단순화된 모델로 사용됩니다.확산 제한 집계에 대해서는, 을 참조해 주세요.물리학에서도 랜덤 워크와 자기 상호작용 워크는 양자장 이론에서 중요한 역할을 합니다.
수학 생태학에서 랜덤 워크는 개별 동물의 움직임을 묘사하고, 생물 확산 과정을 경험적으로 지원하며, 때로는 개체군 역학을 모델링하기 위해 사용된다.
고분자 물리학에서 랜덤 워크는 이상적인 체인을 나타냅니다.그것은 ^[32]고분자를 연구하는 가장 간단한 모델이다.
수학의 다른 분야에서는 랜덤 워크를 사용하여 라플라스 방정식의 해법을 계산하고, 조화 측도를 추정하며, 분석과 조합론의 다양한 구성에 사용합니다.
컴퓨터 과학에서 랜덤 워크는 ^[33]웹의 크기를 추정하기 위해 사용됩니다.
영상 분할에서 랜덤 워크는 각 ^[34]픽셀에 연결할 라벨(즉, "객체" 또는 "배경")을 결정하는 데 사용됩니다.이 알고리즘은 일반적으로 랜덤 워커 분할 알고리즘이라고 불립니다.

뇌 연구에서, 무작위 보행과 강화된 무작위 보행은 뇌에서 일어나는 뉴런의 연속적인 발사를 모델링하는데 사용된다.
시각과학에서 눈의 표류는 무작위로 ^[35]걷는 것처럼 행동하는 경향이 있다.일부 저자에 따르면, 일반적으로 고정 눈동자의 움직임은 무작위 ^[36]보행으로도 잘 설명된다.
심리학에서 랜덤 워크는 결정을 내리는 데 필요한 시간과 특정 결정이 ^[37]내려질 확률 사이의 관계를 정확하게 설명한다.
랜덤 워크를 사용하여 알 수 없거나 매우 큰 상태 공간에서 샘플을 추출할 수 있습니다(예: 인터넷에서 ^{[citation needed]}랜덤 페이지를 선택하는 경우).컴퓨터 과학에서 이 방법은 마르코프 연쇄 몬테 카를로(MCMC)로 알려져 있습니다.

무선 네트워크에서는 ^{[citation needed]}랜덤 워크를 사용하여 노드 이동을 모델링합니다.
운동성 박테리아는 편파적인 ^[38]무작위 보행에 관여한다.
물리학에서, 랜덤 워크는 페르미 ^{[citation needed]}추정 방법의 기초가 된다.
웹에서 트위터 웹사이트는 팔로우할 사람을^[39] 제안하기 위해 랜덤 워크를 사용합니다.
Dave Bayer와 Persi Diaconis는 7리플 셔플이 카드 한 팩을 혼합하기에 충분하다는 것을 증명했습니다(자세한 내용은 셔플 아래 참조).이 결과는 푸리에 분석을 통한 그룹 구조의 중요한 사용을 증명하는 대칭 그룹의 랜덤 워크에 대한 진술로 해석된다.

변종

순수 무작위 보행과 유사하지만 단순한 구조가 더 일반화될 수 있는 많은 유형의 확률적 과정이 고려되었다.순수 구조는 독립적이고 균등하게 분포된 랜덤 변수에 의해 정의되는 단계로 특징지을 수 있습니다.랜덤 워크는 그래프, 정수, 실선, 평면 또는 고차원 벡터 공간, 곡면 또는 고차원 리만 다양체 및 그룹과 같은 다양한 공간에서 발생할 수 있다.또한 임의의 시간에 스텝을 밟는 랜덤 워크를 정의할 수 있으며, 이 경우 $위치 t$ X는 모든 $시간$ $t †$ [0 $,$ +")에 대해 정의되어야 한다.무작위 보행의 특정 사례 또는 한계에는 브라운 운동과 같은 레비 비행 및 확산 모델이 포함된다.

그래프에서

루트 0을 가진 무한 그래프 G의 길이 k의 랜덤 워크는 X $X_{1}=0$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ $=$ ( $표시 스타일$ X_{1}, X $k$ (\ $dots, X_{k})$ 및 X $+{xstyle$ 1 $)$ 과 ${X_{i+1}}$ 랜덤 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ X 1, $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ , $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ k (\ $displaystyle$ X_ ${$ $1$ }= $0})$ 를 $X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}$ $X_{1}=0$ 갖는 확률적 프로세스이다. $X_{i}$ 의 $X_{i}$ $X_{i$ 입니다. $p_{v,w,k}(G)$ 으로 숫자 $p_{v,w,k}(G)$ v $p_{v,w,k}(G)$ $p_{v,w,k}(G)$ ( $p_{v,w,k}(G)$ G $){displaystyle p_{v,w,k}(G)}$ 는 $p_{v,w,k}(G)$ v에서 시작하는 길이k의 랜덤 워크가 w에서 끝날 확률입니다.특히 G가 $p_{0,0,2k}$ $p_{0,0,2k}$ $p_{0,0,2k}$ 0 $p_{0,0,2k}$ $,$ $p_{0,0,2k}$ ({ $displaystyle p_{0, 0,$ 2k $p_{0,0,2k}$ })의 그래프일 경우 $({displaystyle 2k})$ $2k$ 랜덤워크가 0으로 돌아갈 확률입니다.

더 높은 차원에 대한 이전 섹션의 유추에 기초하여, 이제 우리 도시가 더 이상 완벽한 정사각형 그리드가 아니라고 가정해 보십시오.어떤 교차로에 도달했을 때, 그는 같은 확률로 이용할 수 있는 다양한 도로들 사이에서 선택을 합니다.따라서 교차로에 출구가 7개 있으면 7분의 1 확률로 각 출구로 이동합니다.이것은 그래프상의 랜덤 워크입니다.우리 사람이 집에 도착할까요?다소 가벼운 조건에서도 여전히 "그렇다"^[40]는 답변이 나왔지만 그래프에 따라 '두 사람이 다시 만날 것인가?'라는 변종 질문에 대한 답변은 그들이 무한히 ^[41]자주 만나는 것이 아닐 수 있다.

사람이 거의 확실하게 집에 도착할 수 있는 예로는 모든 블록의 길이가 a와 b 사이일 때(여기서 a와 b는 두 개의 유한한 양의 숫자이다)가 있습니다.그래프가 평면이라고 가정하지 않습니다. 즉, 도시는 터널과 다리를 포함할 수 있습니다.이 결과를 증명하는 한 가지 방법은 전기 네트워크에 접속하는 것입니다.도시 지도를 가지고 모든 블록에 1옴 저항을 배치하십시오.이제 "점과 무한대 사이의 저항"을 측정합니다.즉, 어떤 숫자 R을 선택하고 R보다 큰 거리에 있는 전기 네트워크 내의 모든 점을 취하여 함께 배선합니다.이것은 이제 유한한 전기 네트워크이며, 이 지점에서 유선 지점까지의 저항을 측정할 수 있습니다.R을 무한대로 가져가세요.한계를 점과 무한대 사이의 저항이라고 합니다.다음과 같은 사실이 밝혀졌습니다(기본적인 증거는 도일과 스넬의 책에서 찾을 수 있습니다).

정리: 그래프는 점과 무한대 사이의 저항이 유한한 경우에만 과도합니다. 그래프가 연결되어 있으면 어떤 점을 선택하는지는 중요하지 않습니다.

즉, 과도 시스템에서는 한정된 저항만 극복하면 어떤 점에서든 무한대에 도달할 수 있습니다.반복 시스템에서, 어떤 점에서 무한대까지의 저항은 무한하다.

이 전이 및 반복의 특성은 매우 유용하며, 구체적으로는 거리를 경계로 하여 평면 내에 그려진 도시의 사례를 분석할 수 있다.

그래프상의 랜덤 워크는 마르코프 사슬의 매우 특별한 경우이다.일반적인 마르코프 연쇄와 달리 그래프상의 랜덤 워크는 시간 대칭 또는 가역성이라고 불리는 특성을 가진다.대략적으로 말하면, 상세 균형 원리라고도 불리는 이 속성은 주어진 경로를 한 방향으로 또는 다른 방향으로 횡단할 확률이 그들 사이에 매우 단순한 연결성을 가지고 있다는 것을 의미합니다(그래프가 규칙적인 경우, 그것들은 그냥 동일합니다).이 속성은 중요한 결과를 초래합니다.

1980년대부터 그래프의 특성과 랜덤 워크를 연결하는 많은 연구가 이루어졌습니다.위에서 설명한 전기 네트워크 연결 이외에도 등간격 부등식, 소볼레프 및 푸앵카레 부등식과 같은 기능 부등식 및 라플라스 방정식의 해법 특성과의 중요한 연관성이 있습니다.이 연구의 상당 부분은 최종 생성된 그룹의 케일리 그래프에 초점을 맞췄다.대부분의 경우 이러한 이산 결과는 다지관 및 Lie 그룹으로 이어지거나 다지관 및 Lie 그룹에서 파생됩니다.

랜덤 그래프, 특히 Erdrs-Rényi 모델의 경우 랜덤 워커의 일부 특성에 대한 분석 결과를 얻었다.여기에는 워커의 첫 번째 및 마지막 타격^[43] 시간의 분포가^[42] 포함된다.여기서 워커는 그래프의 처음 방문한 장소에 발을 들여놓았을 때 첫 번째 타격 시간이 주어지고 마지막 타격 시간은 워커가 이전에 방문한 사이트를 다시 방문하지 않고는 추가 이동을 할 수 없는 첫 번째 시간에 해당한다.

그래프에서 랜덤 워크에 대한 좋은 참고 자료는 Aldous와 Fill의 온라인 책이다.무리는 워스의 책을 참조하라.전환 $p(x,y)$ p $p(x,y)$ , $p(x,y)$ )(\ $displaystyle$ p $(x,y))$ 자체가 $p(x,y)$ 랜덤( $\omega$ ${\\displaystyle \omega$ 에 기초함)인 경우 랜덤 워크는 "랜덤 환경에서의 랜덤 워크"라고 불립니다.랜덤 워크의 법칙에 $임의성$ 이 포함되어 있는 경우 $\omega$ 이 법칙은 해제된 법칙이라고 불리며 $,$ 반대로 이 $법칙$ 이 $\omega$ 고정된 것으로 간주되면 소멸된 법칙이라고 불립니다 $.$ 휴즈의 책, 레베즈의 책, 차이투니의 강의 노트를 보세요.

불확실성(엔트로피)을 국소적으로 최대화하는 것과 동일한 확률로 가능한 모든 에지를 선택하는 것을 생각할 수 있습니다.또, 글로벌하게 실시할 수 있습니다.최대 엔트로피 랜덤 워크(MERW)에서는, 모든 패스가 균등하게 개연성이 있는 것이 바람직합니다.즉, 2개의 정점 마다, 주어진 길이의 각 패스가 균등하게 ^[44]개연성이 있는 것이 바람직합니다.이 랜덤 워크는 현지화 특성이 훨씬 강합니다.

자기 인터랙티브 랜덤 워크

각 단계가 과거에 복잡한 방식으로 의존하는 많은 흥미로운 랜덤 경로 모델이 있습니다.이 모든 것은 일반적인 랜덤 워크보다 분석적으로 해결하기에 더 복잡하다. 그러나 랜덤 워커의 모든 모델의 동작은 컴퓨터를 사용하여 얻을 수 있다.예를 들어 다음과 같습니다.

스스로 회피하는 걸음걸이.^[45]

$\mathbb {Z} ^{d}$ d \ $displaystyle$ $\mathbb {Z} ^{d}$ \ $mathbb {Z}$ ^{ $d}$ 에서의 $\mathbb {Z} ^{d}$ 길이 n의 자기 회피 워크는 원점에서 시작하여 Z $\mathbb {Z} ^{d}$ \ $displaystyle \mathbb$ {Z $}$ ^{ $d$ 에서의 $\mathbb {Z} ^{d}$ 사이트 간에만 이행하고 사이트를 재방문하지 않으며 이러한 모든 경로에서 균일하게 선택된다.2차원에서는 자기 트래핑으로 인해 일반적인 자기 회피 보행은 매우 ^[46]짧은 반면, 고차원에서는 모든 경계를 넘어 성장합니다.이 모델은 1960년대부터 폴리머 물리학에 자주 사용되어 왔습니다.

그래프에서 편향된 랜덤 워크

최대 엔트로피 랜덤 워크

엔트로피 속도를 최대화하기 위해 선택한 랜덤 워크는 훨씬 더 강력한 현지화 특성을 가집니다.

상관 랜덤 워크

랜덤 워크는 한 번에 이동 방향이 다음 번에 이동 방향과 상관관계가 있습니다.그것은 동물의 ^[51]^[52]움직임을 모형으로 만드는데 사용된다.

「」를 참조해 주세요.

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v t 확률적 과정
이산 시간	베르누이 과정 분기 프로세스 중식당 과정 골턴-왓슨 과정 독립적이고 동일한 분포의 랜덤 변수 마르코프 연쇄 모란법 랜덤 워크 루프 소거 자기 회피 편향된 최대 엔트로피
연속 시간	가법법 베셀법 출생-사망 과정 순생 브라운 운동 다리 Excursion(익스커전) 프랙셔널 기하학 굽이굽이 코시 과정 연락 프로세스 연속 시간 랜덤 워크 콕스 과정 확산 과정 경험적 과정 펠러법 플레밍-비오트 과정 감마 과정 기하학적 과정 호크스 과정 헌트 프로세스 상호작용 입자계 이토 확산 이토 과정 점프 확산 점프 프로세스 레비 과정 현지 시간 마르코프 가법 과정 맥킨-블라소프 과정 오른스타인움렌벡법 포아송 과정 컴파운드 비균질 슈람-뢰너 진화 세미마트게일 시그마 마티게일 안정된 프로세스 슈퍼프로세스 전신 처리 분산 감마 과정 위너법 위너 소시지
둘다요.	분기 프로세스 갈베스-뢰체르바흐 모형 가우스 과정 숨겨진 마르코프 모델(HM) 마르코프 과정 마티게일 차이점. 현지의 서브- 슈퍼- 랜덤 다이내믹 시스템 재생 프로세스 갱신 프로세스 가변 길이의 메모리를 가진 확률적 연쇄 화이트 노이즈
필드 및 기타	디리클레 과정 가우스 랜덤 필드 깁스 측도 홉필드 모델 이징 모형 포츠 모형 부울 네트워크 마르코프 랜덤 필드 퍼콜레이션 피트만-요르 과정 포인트 프로세스 콕스 포아송 랜덤 필드 랜덤 그래프
시계열 모델	자기 회귀 조건부 이색 탄성(ARCH) 모형 자기 회귀 통합 이동 평균(ARIMA) 모형 자기 회귀(AR) 모형 자기 회귀 이동 평균(ARMA) 모델 GARCH(Generalized Autrogressive Conditional Hetheroskedasticity) 모델 이동평균(MA) 모델
재무 모델	이항 옵션 가격 설정 모형 블랙-더맨-장난감 블랙-카라신스키 블랙-숄즈 Chan-Karolyi-Longstaff-Sanders(CKLS) 첸 일정 탄성 분산(CEV) 콕스-잉거솔-로스(CIR) 가르만-콜하겐 Heath-Jarrow-Morton (HJM) 헤스톤 호리 헐-흰색 LIBOR 시장 렌들먼-바터 SABR의 변동성 바시체크 윌키
보험 수리 모델	뷸만 크라메르-룬드베르크 리스크 프로세스 스파르앤더슨
큐잉 모델	벌크 유체 범용 큐잉 네트워크 M/G/1 M/M/1 M/M/c
특성.	카들라그 패스 계속되는 연속 경로 에르고딕 교환 가능 펠러 연속 가우스마르코프 마르코프 믹싱 부분적 결정론 예측 가능한 점진적 측정 가능 자기유사 문방구 시간 되돌리기 가능
한계 정리	중심 한계 정리 돈스커의 정리 두브 마티게일 수렴 정리 에르고딕 정리 피셔-티펫-네덴코 정리 대편차원리 대수의 법칙(약함/강함) 반복 로그의 법칙 최대 에르고딕 정리 사노프의 정리 제로-1 법칙(Blumenthal , Borel-Cantelli, Engelbert-Schmidt, Hewitt-Savage, Kolmogorov, Levy )
불평등	버크홀더-데이비스-건디 두브마티게일 두브가 업크로스 하고 있다. 구니타와타나베 마르킨키에비치-지그문트
도구들	카메론-마틴 공식 랜덤 변수의 수렴 돌리안 데이드 지수 두브 분해 정리 두브-마이어 분해 정리 두브의 선택적 정지 정리 다이킨 공식 파인만-케이크 공식 여과 기르사노프 정리 무한소 생성기 이토 적분 이토의 보조군 카르후넨-뢰브 정리 콜모고로프 연속성 정리 콜모고로프 확장 정리 레비-프로호로프 메트릭 말리아빈 미적분 마티게일 표현 정리 선택적 정지 정리 프로호로프의 정리 이차 변동 반사원리 스코로호트 적분 스코로호트의 표현 정리 스코로호드 공간 스넬 봉투 확률 미분 방정식 다나카 정지 시간 스트라토노비치 적분 균일한 통합성 통상 가설 위너 공간 고전적인 추상적인
부문	보험 수리 수학 제어 이론 계량경제학 에르고딕 이론 극치가론(EVT) 대편차 이론 수리금융 수리통계학 확률론 큐잉 이론 갱신 이론 파멸론 신호 처리 통계 정보 확률적 분석 시계열 분석 기계 학습
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