방정식해결

{}{\overset {}{x={\frac}{-b\pm {\sqrt{b^{2}-4ac}}}{2a}}}}}}}}}}}}}:{2a}}}}}}}}:{x={\frac={\frac}

2차 방정식

도끼 2

+

bx

+ c =

0

의 상징적 솔루션인 2차 공식

뉴턴-Raphson 방법을 사용하여

f (x)

= 0

등식

을 숫자로 푸는 예제

수학에서 방정식을 푸는 것은 그 해법, 즉 방정식에 의해 명시된 조건을 충족시키는 값(숫자, 함수, 집합 등)을 찾는 것으로, 일반적으로 등가 부호로 관련된 두 개의 표현으로 구성된다. 해결책을 모색할 때 하나 이상의 변수를 알 수 없음으로 지정한다. 해법은 방정식의 동일성을 참으로 만드는 미지의 변수에 대한 값을 할당하는 것이다. 즉, 해법은 미지의 것을 대체할 때 방정식이 평등이 되는 값이나 값 집합(미지의 각 1개)이다. 방정식의 해법은 종종 방정식의 뿌리라고 불리는데, 특히 다항식에만 해당하는 것은 아니다. 방정식의 모든 해법 집합은 그 해법 집합이다.

방정식은 숫자 또는 상징적으로 해결될 수 있다. 방정식을 숫자로 푸는 것은 숫자만 해법으로 인정된다는 것을 의미한다. 방정식을 상징적으로 풀어낸다는 것은 그 해답을 표현하는 데 표현식이 사용될 수 있다는 것을 의미한다.

예를 들어, 식 $x + y$ = $2x$ – $1$ 은 $x$ = $y$ + $1$ 이라는 미지의 $x$ 에 대해 해결되는데, 이 $식$ 에서y + $1$ 을 x = y + 1 + x에 대입하면 ( $y$ + 1) + $y$ = $2(y$ + 1 $)$ – $1$ 이 참의 문장이 되기 때문이다. 또한 $변수$ y를 미지의 값으로 가져갈 수도 있고, $그$ 다음 방정식은 y = x – $1$ . $또는$ $x$ 와 y $둘$ 다 미지의 것으로 취급할 수 있고, 그 다음 식에 대한 여러 해법이 있다; 기호 해법은 ( $x,$ y $) =$ ( $a$ + 1 $, a),$ 여기서 a $변수$ 가 어떤 값을 취할지 모른다. 기호용액을 특정 숫자로 인스턴스화하면 숫자적 해법이 나온다. 예를 $들어$ a = $0$ 은 0이 된다 $(x$ $,$ y) = 1, $0$ 은 ( $x, y$ = $0$ ), $a$ = $1$ 은( $x, y)$ = $(2$ , 1)이다 $.$

알려진 변수와 알려지지 않은 변수의 구분은 일반적으로 문제의 문장에서 " $x$ 와 $y$ 의 방정식" 또는 " $x$ 와 $y$ 에 대한 솔브"와 같은 구문에 의해 이루어지는데, 여기서 $x$ 와 y는 미지의 것을 나타낸다. 그러나 미지의 것을 나타내기 위해 $x$ , y, $z$ , ...를 예약하고, 알려진 변수를 나타내기 위해 $a$ , $b$ , $c$ , ...를 사용하는 것이 일반적이며, 이것을 흔히 파라미터라고 부른다. 일반적으로 2차 방정식과 같은 다항식 방정식을 고려할 때 그렇다. 그러나 일부 문제의 경우 모든 변수가 두 가지 역할을 할 수 있다.

문맥에 따라, 방정식을 푸는 것은 어떤 해법(단일 해법 찾기로 충분하다), 모든 해법 또는 주어진 간격에 속하는 것과 같은 추가적인 특성을 만족시키는 해법 중 하나를 찾는 것으로 구성될 수 있다. 어떤 기준에서 가장 좋은 솔루션을 찾는 것이 과제일 때, 이것은 최적화 문제다. 일반적으로, 더 나은 해결책을 찾기 위한 특정 솔루션에서 시작하여, 결국 최선의 해결책을 찾을 때까지 과정을 반복하기 때문에 최적화 문제를 해결하는 것을 "평등 해결"이라고 부르지 않는다.

개요

하나의 일반적인 형태의 방정식은

f\left(x_{1},\filename,x_{n}\right)=c,

여기서 $f$ 는 함수, $x 1, ...,$ $x$ 는_n 미지의 함수, $c$ 는 상수다. 그것의 해결책은 역 이미지의 요소들이다.

f^{-1(c)={{}(a_{1},\dots,a_{n})\in D\mid f\left(a_{1},\dots,a_{n}\right)=c{\bigr \},},

여기서 $D$ 는 함수 $f$ 의 영역이다. 솔루션 세트는 빈 세트(해결책이 없음), 싱글톤(정확히 하나의 해결책이 있음), 유한 또는 무한(해결책이 무한히 많다)일 수 있다.

예를 들어 다음과 같은 방정식이 있다.

3x+2y=21z,

무명 $x,$ $y$ , $z$ 는 방정식의 양쪽에서 $21z$ 를 빼서 위의 형태로 넣을 수 있다.

3x+2y-21z=0

이 특별한 경우, 하나의 해법이 아니라, 무한한 해법 집합이 있는데, 이 해법은 다음과 같이 세트빌더 표기법을 사용하여 작성할 수 있다.

{\bigl \{}(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0{\bigr \}}.

하나의 특정 용액은 $x$ = $0,$ $y$ = 0, $z$ = $0$ 이다. 다른 두 가지 해법은 $x$ = $3$ , $y$ = 6 $, z$ = $1$ , $x$ = 8 $, y$ = $9,$ z = $2$ 이다. 3차원 공간에 이 좌표들로 3개의 지점을 통과하는 독특한 평면이 있으며, 이 평면은 좌표가 방정식의 해법인 모든 점들의 집합이다.

솔루션 세트

그 방정식의 솔루션 세트 .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac.num,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{.mw-parser-output.Border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}x2/4+y2=1형태 타원 때 데카르트 좌표 쌍의 집합으로 해석되었습니다.

주어진 방정식이나 불평등 집합의 해답 집합은 모든 해답 집합이며, 해답은 모든 방정식이나 불평등을 만족시키는 값들의 튜플이다. 해법 집합이 비어 있으면 모든 방정식과 불평등을 동시에 만족시키는 미지의 값이 없다.

간단한 예제의 경우 방정식을 고려하십시오.

x^{2}=2.

이 방정식은 디오판틴 방정식, 즉 정수 용액만을 구하는 방정식으로 볼 수 있다. 이 경우 2는 정수의 제곱이 아니기 때문에 솔루션 집합은 빈 집합이다. 그러나 실제 솔루션을 검색하면 $\sqrt 2$ 와 $-\sqrt 2$ 라는 두 가지 솔루션이 있는데, 즉 솔루션 집합은 ${\sqrt 2$ , - $\sqrt 2}$ 이다.

방정식이 여러 개의 미지수를 포함하고, 방정식보다 미지수가 많은 여러 개의 방정식을 가지고 있을 때, 해법 집합은 무한하는 경우가 많다. 이 경우 해결 방법을 나열할 수 없다. 이들을 표현하기 위해서는 종종 파라메트리제이션이 유용하며, 이는 미지의 일부 또는 보조 변수에 대한 관점에서 해결책을 표현하는 것으로 구성된다. 이것은 모든 방정식이 선형일 때 항상 가능하다.

이와 같은 무한한 용액 세트는 자연스럽게 선, 곡선(그림 참조), 평면, 그리고 보다 일반적으로 대수적 품종이나 다지관과 같은 기하학적 형태로 해석될 수 있다. 특히 대수 기하학은 대수 방정식의 해법 집합에 대한 연구로 볼 수 있다.

해결 방법

방정식을 푸는 방법은 일반적으로 방정식의 유형, 즉 방정식의 식 종류와 미지의 것으로 가정할 수 있는 값의 종류에 따라 달라진다. 방정식의 종류도 다양하고, 그에 상응하는 방법도 다양하다. 아래에는 몇 가지 특정 유형만 언급되어 있다.

일반적으로 방정식의 한 부류를 감안할 때 효과가 보장되는 알려진 체계적 방법(알고리즘)이 없을 수도 있다. 이것은 수학 지식의 부족 때문일지도 모른다; 어떤 문제들은 수세기 동안 노력한 후에야 풀렸다. 그러나 이것은 또한 일반적으로 그러한 방법은 존재할 수 없다는 것을 반영한다: 1970년에 해결이 불가능하다고 증명된 힐버트의 10번째 문제와 같은 어떤 문제들은 알고리즘에 의해 해결할 수 없는 것으로 알려져 있다.

여러 종류의 방정식에 대해, 그것들을 해결하기 위한 알고리즘이 발견되었는데, 그 중 일부는 컴퓨터 대수 시스템에 구현되고 통합되었지만, 연필과 종이보다 더 정교한 기술은 필요하지 않은 경우가 많다. 흔히 성공하지만 성공으로 이어지지 않는 휴리스틱한 방법이 알려져 있는 경우도 있다.

시행착오에 의한 브뤼트 힘, 추측에 영감을 주었다.

방정식의 해법 집합이 유한 집합(예를 들어 모듈식 산술 방정식의 경우처럼)으로 제한되거나 제한된 수의 가능성(일부 디오판틴 방정식의 경우처럼)으로 제한될 수 있는 경우, 용액 집합은 가능한 각 값(용액)을 시험함으로써, 짐승의 힘으로, 즉 용액 집합(용액)을 찾을 수 있다.그러나 유한하기는 하지만 고려할 가능성의 수가 너무 커서 전체 검색이 현실적으로 가능하지 않은 경우가 있을 수 있다. 이는 사실 강력한 암호화 방법에 대한 요구 사항이다.

모든 종류의 문제 해결과 마찬가지로, 시행착오도 때때로 해결책을 산출할 수 있는데, 특히 방정식의 형태나 알려진 해답을 가진 다른 방정식과의 유사성이 해답에 "기초적인 추측"으로 이어질 수 있다. 시험했을 때, 추측이 해결책이 되지 못할 경우, 추측이 실패하는 방법을 고려하는 것은 수정된 추측으로 이어질 수 있다.

초등 대수학

예를 $들어$ x와 같은 단일 실제 값을 알 수 없는 선형 또는 단순 이성 함수를 포함하는 방정식

8x+7=4x+35\data.\text{or}\frac {4x+9}{3x+4}=2\

기초 대수학의 방법으로 풀 수 있다.

선형 방정식의 체계

선형 방정식의 작은 시스템도 마찬가지로 초등 대수학 방법으로 해결할 수 있다. 더 큰 시스템을 해결하기 위해 선형 대수학을 기반으로 하는 알고리즘이 사용된다.

다항식

4까지의 다항식 학위는 대수적 방법을 사용하여 정확히 풀 수 있는데, 이 중 2차 공식이 가장 간단한 예다. 5도 이상의 다항식 방정식은 일반적인 수치적 방법(아래 참조) 또는 Bring accic과 같은 특수 기능을 필요로 하지만, 예를 들어 일부 특정 경우는 대수적으로 해결할 수 있다.

4x^{5}-x^{3}-3=0

(합리적 뿌리 정리를 사용하여) 및

x^{6}-5x^{3}+6=0\

()는 대체를 사용하여)z.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.frac.num,.mw-parser-output.frac .den{:80%;line-height:0;vertical-align:슈퍼 font-size}.mw-parser-output.frac .den{vertical-align:서브}.mw-parser-output .sr-only{에 의해.국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}1⁄3는 z에 이차 방정식에 이 간편하게).

디오판틴 방정식

디오판틴 방정식에서 용액은 정수여야 한다. 어떤 경우에는 위에서 언급한 바와 같이 흉포한 힘 접근법을 사용할 수 있다. 그 밖의 경우에 특히 그 방정식이 하나의 미지수에 있는 경우에는 합리적으로 값을 매긴 미지의 방정식을 푸는 것이 가능하다(합리적인 뿌리 정리 참조). 그리고 나서, 용액 세트를 정수값 용액으로 제한함으로써 디오판틴 방정식에 대한 해결책을 찾는 것도 가능하다. 예를 들어, 다항식

2x^{5}-5x^{4}-x^{3}-7x^{2}+2x+3=0\,

이성적 $용액$ x = $-1 / 2$ $및$ x = $3$ 으로, 디오판틴 방정식으로 보아 고유한 $용액$ x = $3$ 을 가진다.

그러나 일반적으로 디오판타인 방정식은 가장 풀기 어려운 방정식에 속한다.

역함수

하나의 변수, 예를 들어, $h (x$ )의 단순한 경우 $,$ $h$ 의 역함수로 알려진 것을 고려함으로써 어떤 상수 $c$ 에 대해 $h (x)$ = c $형식$ 의 방정식을 풀 수 있다.

함수 $h$ : $A$ → $B$ 를 주어 $h$ 로⁻¹⁻¹ 표기하고 h : $B$ → $A$ 로 정의되는 역함수는 다음과 같은 함수다.

h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}=h{\bigl (}h^{-1}(x){\bigr )}=x\,

이제 역함수를 $h (x)$ = $c$ 의 양쪽에 적용하면 여기서 $c$ 는 $B$ 의 상수 값이다.

{\regated}h^{-1}{\bigl (}h(x){\bigr )}&=h^{-1}(c)\x&=h^{1}(c)\end{aged}}}}}}}

방정식의 해답을 찾았어 그러나 함수에 따라 역은 정의되기 어렵거나, 설정된 $B$ 의 모든(일부 부분 집합에만 해당)에 대한 함수가 아닐 수 있으며, 어느 시점에는 많은 값을 가질 수 있다.

전체 솔루션 세트 대신 하나의 솔루션만 사용할 수 있다면, 실제로 기능적 정체성만 있으면 충분하다.

h\left(h^{-1}(x)\오른쪽)=x

holds. 예를 들어, $((x 1,$ $y)$ = $x$ 에 의해 정의되는 $투영 1 2 r$ : R → $R$ 은 후입력이 없지만, $((x -1 1)$ = ( $x,$ 0)에 의해 정의되는 전입 $π$ 을⁻¹
₁ 가지고 있다 $.$ $실제로 1$ 방정식 $x (x,$ y) = $c$ 는 다음과 같이 해결된다.

(x,y)=\pi _{1}^{1}-1}(c)=(c,0)

역함수의 예로는 n번째 루트( $x$ 의ⁿ 반대), 로그( $a$ 의^x 반대), 역삼각 함수, 램버트의 W 함수( $xe$ 의^x 반대)가 있다.

인자화

방정식 $P$ = $0$ 의 왼쪽 식을 P = $QR$ 로 인수할 수 있는 경우, 원래 용액의 솔루션 세트는 두 $방정식$ Q = $0$ 과 R = $0$ 의 솔루션 세트의 조합으로 구성된다. 예를 들어, 방정식

\displaystyle \tan x+\display x=2}

$탠$ $x$ $cot$ $x$ = $1$ 을 사용하여 다시 쓸 수 있음

{\frac {\tan ^{2}x-2\tan x+1}{\tan x}=0,

로 간주할 수 있는.

{\frac {\좌(\tan x-1\우)^{2}}{\tan x}}=0.

따라서 해결책은 $tann$ $x$ = 1 $방정식$ 의 해결책이며, 따라서 집합이다.

x={\tfrac {\pi }{4}+k\pi,\pm 1,\pm 2,\ldots .

수치적 방법

실제 또는 복잡한 숫자의 더 복잡한 방정식으로, 방정식을 푸는 간단한 방법은 실패할 수 있다. 종종 뉴턴-래프슨 방법과 같은 뿌리 찾기 알고리즘을 사용하여 방정식의 수치적 해결책을 찾을 수 있는데, 어떤 응용의 경우 어떤 문제를 해결하기에 완전히 충분할 수 있다.

행렬 방정식

실수의 행렬과 벡터를 포함하는 방정식은 종종 선형대수의 방법을 사용하여 해결할 수 있다.

미분 방정식

다양한 종류의 미분 방정식을 수치적으로나 분석적으로 풀 수 있는 방법은 광범하다. 여기서 속한다고 볼 수 있는 특정한 종류의 문제는 통합이며, 이러한 종류의 문제를 해결하기 위한 분석적 방법을 이제는 상징적 통합이라고 한다.^{[citation needed]} 미분 방정식의 해법은 암묵적이거나 명시적일 수 있다.^[1]

참고 항목

참조

^ Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[Zill2012-1] Dennis G. Zill (15 March 2012). A First Course in Differential Equations with Modeling Applications. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

[1]

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