연산자 규범칙

수학에서 연산자 규범은 연산자 규범이라고 불리는 실제 숫자를 각각 할당하여 특정 선형 연산자의 "크기"를 측정한다.형식적으로는 주어진 두 표준 벡터 공간 사이의 경계 선형 연산자의 공간에 정의된 표준이다.

도입 및 정의

두 개의 표준 벡터 $공간$ V{\ $displaystyle V}$ $W$ W{\ $displaystyle$ $W}$ 이(가) 지정됨( $W$ 동일한 기준 필드 위에 있는 실제 번호 $\mathbb {R}$ ${\$ 또는 $\mathbb {R}$ 복잡한 번호 $\mathbb {C}$ ${\$ $c$ $})$ $\mathbb {C}$ 선형 $A:V\to W$ A $A:V\to W$ : $A:V\to W$ → W $:$ $V\to W}$ 은(는) 다음과^[1] 같은 $c$ 실제 숫자 $c$ $c$ 이(가) 존재하는 경우에만 연속적이다 $A:V\to W$ .

\Av\ \leq c\ v\\ \quad {\mbox{모두 }v\in V.

왼쪽의 표준은 $W$ $W$ 의 $W$ 표준이고 오른쪽의 $V$ 은V {\ $displaystyle V}$ 의 표준이다 $V$ 직관적으로 연속 $연산자$ A ${\displaystyle$ A}은 $($ 는) $어떤$ 벡터의 길이를 c. ${\displaystystyle c.}$ 이상으로 늘리지 않는다 $A$ . 따라서 $c.$ 연속 연산 하에서 경계된 세트의 이미지ator는 또한 경계선이다.이 특성 때문에 연속 선형 연산자를 경계 연산자라고도 한다.In order to "measure the size" of $A,$ one can take the infimum of the numbers $c$ such that the above inequality holds for all $v\in V.$ This number represents the maximum scalar factor by which $\mathbb {R} ^{n}$ "lengthens" vectors.즉, $A$ $A$ 의 "크기"는 $A$ "가장 큰" 사례에서 벡터 수를 "Lengten"으로 측정한다. $따라서$ A $A$ 의 연산자 규범을 다음과 $A$ 같이 정의한다.

\ A\ _{op}=\inf\{c\geq 0:\ Av\ \leq c\ v\{\mbox{모든 }v\in V\}.

이러한 모든 $c$ $c$ 의 집합이 닫히고 $c$ 비어 있지 않으며 아래로부터 경계를 이루면 최소값이 달성된다.^[2]

이 운영자 규범은 표준 벡터 $공간$ V $[\displaystyle V}$ 및 $V$ W의 표준 선택에 따라 결정된다는 점을 명심해야 한다.

예

모든 실제 $m$ ${\displaystyle$ $m}$ $-n$ ${\$ $displaystyle \mathb {R}$ $^{$ $}}$ 까지의 $n$ $\mathbb {R} ^{n}$ 선형 지도에 해당하는 모든 리얼 m ${\$ $displaystyle \mathb {R}$ ^{ $m}$ 실제 벡터 공간에 적용할 수 있는 (벡터) 규범의 각 $\mathbb {R} ^{m}.$ $m$ 은 모든m { $displaysty$ }에 대해 연산자 표준을 유도한다. $m}-$ $by-n$ $n$ 개의 실제 수 행렬 $n$ . 이러한 유도 규범은 행렬 규범의 하위 집합을 형성한다.

If we specifically choose the Euclidean norm on both $\mathbb {R} ^{n}$ and $\mathbb {R} ^{m},$ then the matrix norm given to a matrix $A$ is the square root of the largest eigenvalue of the matrix $A^{*}A$ (where $A^{*}$ $A^{*}$ 은( $A$ ^[3]는) $A$ {\ $displaystyle A}$ 의 결합 전치 부위를 나타낸다 $A^{*}$ .이것은 $A$ . {\ $displaystyle A$ 의 가장 큰 단수값을 할당하는 것과 같다 $.$ $}$

일반적인 무한 확장형 예제로 넘어가면 다음과 같이 정의된 L^p 공간인 $\ell ^{2},$ 시퀀스 공간 $\ell ^{2},$ 2 $\ell ^{2},$ , ${\displaystyle \ell ^{2$ }을 고려하십시오.

l^{2}=\좌측\{\\\\\\\\\\\n(a_{n}\n)_{n_{n}\mathb {C},\;\sum _{n} \n} ^{2}<potty \right\}.

이것은 유클리드 공간 $\mathbb {C} ^{n}.$ $\mathbb {C} ^{n}.$ . $\mathb {C} ^{n$ 의 무한 차원 아날로그로 볼 수 있다. $}$ Now consider a bounded sequence $s_{\bullet }=\left(s_{n}\right)_{n=1}^{\infty }.$ The sequence $s_{\bullet }$ is an element of the space $\ell ^{\infty },$ with a norm given by

\left\s_{\n3}\right\ _{\infit }=\suppy _{n}\왼쪽 s_{n}\right .

점 곱셈으로 $T_{s}$ 연산자 $T_{s}$ $T_{s}$ ${\$ 를 정의하십시오.

\left(a_{n}\right)_{n=1}^{\n1}\\\\stackrel {T_{s}}}}}{\mapsto}}\\\\ \left(s_{n}\cdot a_{n}\오른쪽)_{n=1}^{\inft.}

연산자 $T_{s}$ $T_{s}$ ${\$ 은(는) 연산자 표준과 경계를 이룬다 $T_{s}$ .

\displaystyle \left\T_{s}\right\ _{op}=\left\s_{\bullet }\right\{\infit }}}

이 논의는 $\ell ^{2}$ 2 ${\$ $displaystyle$ $\ell ^{$ $2}}$ $p>1$ 을 $L^{p}$ $p>1$ > 1 ${\displaystyle p>1$ } $\ell ^{\infty }$ $\ell ^{\infty }$ {\ $displaystyle$ $L^{\infty }.$ \ $ell$ $^{\ft$ $}$ 로 대체한 $\ell ^{2}$ $\ell ^{\infty }$ 경우로 $L^{p}$ $확장된다.$

등가정의

$A:V\to W$ A $A:V\to W$ : $A:V\to W$ → W ${\displaystyle A:$ $V\to W}$ 은(는) 정규 공간 사이의 선형 연산자임 $A:V\to W$ .처음 네 가지 정의는 항상 동일하며, $V\neq \{0\}$ ≠ $V\neq \{0\}$ { $V\neq \{0\}$ $V\neq \{0\}$ $V\neq \{0\}$ 을(를) 추가하면 모두 $V\neq \{0\}$ 동일하다.

{\begin{aignatedat}{4}\A\ _{op}&=\inf &&\{c\geq 0~&&:Av\ \leqc\ v\ ~& ~\,&~{모든 \mbox{에}}~&,&v\in V\}\\&,=\sup&&){)Av\ ~&,&:.~\v\ \leq 1~&,&~{\mbox{과}}~&,&v\in V\}\\&,=\sup&&){)Av\ ~&,&:.~\ v\<>1~&,&~{\mbox{과}}~&,&v\in V\}\\&,=\sup&&){)Av\ ~&,&:.~\v\ \in \{0,1\}~&,&~{\mbox{과}}~&,&v\in V\}\\&,=\sup&&){)Av\ ~&,&:.~\ v\ =1~&,&~{\mbox{과}}~&,&v\in V\}\;\와 같이^;{\text{이 평등, 보유하고 있다.if }}V\neq \{0\}\\&=\sup &&{\bigg \{}{\frac {\ Av\ }{\ v\ }}~&&:~v\neq 0~&&~{\mbox{ and }}~&&v\in V{\bigg \}}\;\;\;{\text{ this equality holds if and only if }}V\neq \{0\}.\\end{aignatedat}}

If $V=\{0\}$ then the sets in the last two rows will be empty, and consequently their supremums over the set $[-\infty ,\infty ]$ will equal $-\infty$ instead of the correct value of $0.$ If the supremum is taken over the set $[0,\infty ]$ $[0,\infty ]$ $[0,\infty ]$ $[0,\infty ]$ ${\displaystyle [0,\proft$ ] 대신 $[0,\infty ]$ 빈 집합의 수식은 $0$ $0$ 이고 $0$ 공식은 $V$ . $V.$ $A:V\to W$ A $A:V\to W$ : $A:V\to W$ → W ${\displaystystyle A:$ $그러면$ ^[4] V $\to W}$ 이(가) 제한됨 $A:V\to W$

\ A\ _{op}=\sup \{\왼쪽 w^{*}(Av)\right :\ v\\leq 1,\leq 1,\reft\w*}\right\\\\light\{\cext{{{{{}\in W^}\right\}}}}}}}}}}}}}}

그리고^[4]

\ A\ _{op}=\left\{}^{t}A\right\ _{op}

여기서

{}^{t}A:W^{*}\to V^{*}

{}^{t}A:W^{*}\to V^{*}

:

{}^{t}A:W^{*}\to V^{*}

{}^{t}A:W^{*}\to V^{*}

→

{}^{t}A:W^{*}\to V^{*}

{}^{t}A:W^{*}\to V^{*}

{\

A:V\to W,

^{*}\to V^{*}}

는 A

A:V\to W,

:

A:V\to W,

→ W

A:V\to W,

,

{\displaystyle A:

V\to W,}

은

A:V\to W,

(는

)

w

w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.

w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.

w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ A.

.

{\displaystyle w^{*}\,\mapsto \,w^{*}\circ

A에 의해 정의된 선형 연산자다.

}

특성.

연산자 표준은 $V$ ${\displaystyle V$ $}$ 과 $V$ ( $)$ W {\ $displaystyle$ W} 사이의 모든 경계 연산자의 공간에 대한 표준이다 $W$ 이는

\A\_{op}\geq 0{\mbox{ 및 }\A\{op}=0{\mbox{{p}=0{\mbox{{{p}}만약에,

\ A\ _{op}= \ A\ _{op}{\mbox{ 모든 스칼라},

\displaystyle \ A+B\ _{op}\leq \ A\ _{op}+\B\ _{op}.}

다음의 불평등은 정의의 즉각적인 결과물이다.

\ Av\ \leq \ A\ _{op}\ v\\\ {\mbox{ 매 }\{}\{}\\v\in.

연산자 표준은 연산자의 구성 또는 곱셈과도 호환된다: $V$ ${\displaystyle$ V $V$ $W$ $W$ 및 X $W$ $X$ 이 $X$ (가) 동일한 베이스 필드에 걸쳐 3개의 표준 공간이고 A $A:V\to W$ : $A:V\to W$ → $A:V\to W$ ${\displaystystyle A:$ $B:W\to X$ $\to W}$ 및 $A:V\to W$ $B:W\to X$ : W $B:W\to X$ → X ${\displaystyle B:$ $W\to X}$ 은 $B:W\to X$ (는) 두 개의 경계 연산자로, 그 다음에는 하위 곱셈 표준으로, 즉 다음과 같다.

\displaystyle \BA\ _{op}\leq \b\ \{op}\{op}\A\ _{op}.}

$V$ $V$ 의 경계 연산자의 경우 이는 연산자 곱셈이 공동으로 연속됨을 의미한다 $V$

일련의 연산자가 연산자 규범에서 수렴할 경우, 경계 집합에서 균일하게 수렴한다는 정의에 따른다.

공통 운영자 규범 표

어떤 공통 운영자 규범들은 계산하기 쉽고, 다른 것들은 NP-hard이다.Except for the NP-hard norms, all these norms can be calculated in $N^{2}$ operations (for an $N\times N$ matrix), with the exception of the $\ell _{2}-\ell _{2}$ norm (which requires $N^{3}$ operations for the exact answer 또는 전력 방법 또는 Lanczos 반복으로 근사치를 구하면 더 적음).

연산자 규범의^[5] 연산성

		공동 도메인
		${\displaystyle \ell _{1}.$	${\displaystyle \ell _{2}}:$	$\displaystyle \ell _{\infully }}$
도메인	${\displaystyle \ell _{1}.$	열의 최대 $\ell _{1}$ $\ell _{1}$ ${\$ } 정규 분포	열의 최대 $\ell _{2}$ $\ell _{2}$ ${\$ }} 표준	열의 최대 ${\$ 규범 $\ell _{\infty }$
	${\displaystyle \ell _{2}}:$	NP-하드	최대 단수 값	$\ell _{2}$ maximum 2 ${\$ 2}}개의 행 표준 $\ell _{2}$
	$\displaystyle \ell _{\infully }}$	NP-하드	NP-하드	행의 최대 $\ell _{1}$ $\ell _{1}$ ${\$ 1} 정규 $\ell _{1}$ 분포

조정 또는 전치 표준은 다음과 같이 계산할 수 있다.We have that for any $p,q,$ then $\ A\ _{p\rightarrow q}=\ A^{*}\ _{q'\rightarrow p'}$ where $p',q'$ are Hölder conjugate to $p,q,$ that is, ${\display$ $스타일 1/p+1/p'=1$ } 및 $1/p+1/p'=1$ $1/q+1/q'=1.$ / $1/q+1/q'=1.$ + $1/q+1/q'=1.$ / $1/q+1/q'=1.$ $1/q+1/q'=1.$ = 1 ${\displaystyle 1/q+1/$ . $}$

힐버트 공간의 운영자

$H$ $H$ 이 $H$ (가) 실제 또는 복잡한 Hilbert 공간이라고 가정해 보십시오. $A:H\to H$ : $A:H\to H$ → H ${\displaystyle A$ 인 경우 $:$ $H\to H}$ 은 $A:H\to H$ (는) 경계 선형 연산자로, 그러면

\ A\ _{op}=\왼쪽\A^{*}\오른쪽\ _{op}

그리고

\left\A^{*}A\right\ _{op}=\A\{op}^{2},

여기서

∗{\

A

^{*}

는 A

A

의 부선 연산자를 의미한다

A^{*}

(

A

표준 내부 제품을 가진 유클리드 공간에서는

행렬

A {\

displaystyle

A

}

의 결합 전이에 해당한다).

A

일반적으로 $A$ {\ $displaystyle A}$ 의 스펙트럼 반경은 $A$ $A$ 의 연산자 규범에 의해 위와 경계를 이룬다 $A$ $A$

\displaystyle \rho (A)\leq \ A\ _{op}.}

평등이 항상 유지되지 않는 이유를 보려면 유한 차원 사례에서 행렬의 요르단 표준 형식을 고려하십시오.초대각선에는 0이 아닌 엔트리가 있기 때문에 평등이 침해될 수 있다.퀘이실렌트 연산자는 그러한 예시의 한 종류다.0이 아닌 quasinilpotent 연산자 $A$ $A$ 의 스펙트럼은 $\{0\}.$ { $\{0\}.$ . $\{0\$ 이다 $A$ . $}$ 따라서 $\{0\}.$ $\rho (A)=0$ ( A $\rho (A)=0$ ) $\rho (A)=0$ = $\rho (A)=0$ ${\displaystyle \rho (A)=0$ $\|A\|_{op}>0.$ $\|A\|_{op}>0.$ $\|A\|_{op}>0.$ > $\|A\|_{op}>0.$ ${\displaystyle$ \ $A\ _{op}0.$ $}$

그러나 행렬 $N$ $N$ 이(가 $N$ ) 정상일 때, 요르단의 표준 형식은 대각선(단일성 등가까지)이다. 이것이 스펙트럼 정리다.그런 경우라면 쉽게 알 수 있다.

\\displaystyle \rho(N)=\ N\ _{op}.}

이 공식은 때때로 주어진 경계 연산자 $A$ $A$ 의 연산자 규범을 계산하는 데 사용될 수 있다 $A$ : 은둔 $B=A^{*}A,$ B = $B=A^{*}A,$ $B=A^{*}A,$ , $B=A^{*},$ 의 스펙트럼 반경을 결정하고 $B=A^{*}A,$ , 제곱근을 취하여 $A$ . ${\displaystystyle A$ 의 연산자 규범을 얻는다 $.$ $}$

연산자 규범에 의해 유도된 위상이 있는 $H,$ $H$ , $H$ 의 경계 연산자의 공간은 분리할 수 없다.예를 들어 Hilbert 공간인 $L^{2}[0,1],$ Lp space $L^{2}[0,1],$ $L^{2}[0,1],$ [ $L^{2}[0,1],$ , 1 $L^{2}[0,1],$ , $L^{2}[0,1],$ 을(를) 고려하십시오.For $0<t\leq 1,$ let $\Omega _{t}$ be the characteristic function of $[0,t],$ and $P_{t}$ be the multiplication operator given by $\Omega _{t},$ that is,

P_{t}(f)=f\cdot \Oomega _{t}.

그런 다음 각 $P_{t}$ $P_{t}$ ${\$ 은(는) 연산자 규범 1을 갖는 경계 연산자다 $P_{t}$ .

\left\P_{t}-P_{s}\right\ _{op}=1\quad {\mbox{{}모든 }}

그러나 $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ { $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ : 0 $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ < $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ $\{P_{t}0<t\leq 1\}}$ 은 $\{P_{t}:0<t\leq 1\}$ (는) 계산할 수 없는 집합이다.이는 L $L^{2}([0,1])$ ( $L^{2}([0,1])$ [ $L^{2}([0,1])$ $L^{2}([0,1])$ $L^{2}([0,1])$ 의 경계 연산자 공간이 연산자 표준에서 분리할 수 없음을 $L^{2}([0,1])$ 의미한다.이것을 시퀀스 공간 ${\$ 이(가) 분리할 $\ell ^{\infty }$ 수 없다는 사실과 비교할 수 있다.

힐버트 공간의 모든 경계 연산자에 대한 연관 대수, 연산자 규범 및 조정 연산자와 함께 C*-알지브라(C*-algebra)를 산출한다.

참고 항목

연속 선형 연산자
불연속 선형 지도
이중 표준 – 표준 벡터 공간에 대한 측정
행렬 정규 – 행렬의 벡터 공간에 대한 정규 분포
표준(수학) – 벡터 공간에서의 길이
규범공간
연산자 대수 – 함수 분석 부문
연산자 이론
위상 벡터 공간 – 근거리 개념의 벡터 공간
Hilbert 공간의 연산자 집합에 대한 토폴로지
언바운드 연산자

메모들

^ Kreyszig, Erwin (1978), Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, p. 97, ISBN 9971-51-381-1
^ 예: 참조알리프란티스 & 보더(2007)의 레마 6.2.
^ Weisstein, Eric W. "Operator Norm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-03-14.
^ ^a ^b 루딘 1991, 페이지 92–115.
^ 섹션 4.3.1, Joel Tropp의 박사 논문, [1]

참고 문헌 목록

Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.

참조

Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2007), Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide, Springer, p. 229, ISBN 9783540326960.
Conway, John B. (1990), "III.2 Linear Operators on Normed Spaces", A Course in Functional Analysis, New York: Springer-Verlag, pp. 67–69, ISBN 0-387-97245-5

[1] Kreyszig, Erwin (1978), Introductory functional analysis with applications, John Wiley & Sons, p. 97, ISBN 9971-51-381-1

[2] 예: 참조알리프란티스 & 보더(2007)의 레마 6.2.

[3] Weisstein, Eric W. "Operator Norm". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-03-14.

[FOOTNOTERudin199192–115-4] 루딘 1991, 페이지 92–115.

[5] 섹션 4.3.1, Joel Tropp의 박사 논문, [1]

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[5]

v t 공간 주제 차단
바나흐 공간의 유형	아스플룬드 바나흐(목록) 바나흐 격자 그로텐디크 힐버트(내부 제품 공간) 양극화 정체성) (폴리노멀리) 반사적 리에츠 L-세미인너 제품 (B) 엄밀히 균일) 볼록 균일하게 매끈매끈함 (주치적) 투영)텐서 제품(힐버트 공간)
바나흐 공간:	바렐라드 F-공간 프레셰트(테임) 국소 볼록(세미나미/밍코스키 기능) 맥키 정규화(일반) 콰시노르메드 고정관념
함수 공간 위상	이중 이중 공간(이중 정규) 연산자 울트라위크 약한(극) 운영자) 강한(극성) 운영자) 울트라스트롱 균일 수렴
선형 연산자	조정 이린린(형식) 운영자 sesquilinar) (Un)경계됨 닫힌 컴팩트(힐버트 공간) (분산)연속 조밀하게 정의됨 프레드홀름(커널) 운영자) 힐베르트슈미트 함수(양수) 사이비-모노톤 정상 핵 자수성가 완전 단수형 트레이스 클래스 전치하다 유니타리
연산자 이론	바나흐 알헤브라스 C알제브라스 연산자 공간 스펙트럼(C-알지브라) 반경) 스펙트럼 이론(ODEs) 스펙트럼 정리) 극분해 단수 값 분해
정리	앤더슨-케이덱 바나흐알라오글루 바나흐-마주르 바나흐-삭스 Barnach-Schauder(개방 매핑) 바나흐-슈타인하우스 (통일된 경계) 베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 닫힌 그래프 폐쇄 범위 에베를린-슈물리안 프로이트스펙트럼 겔판-마주르 겔판-나이마르크 골드스틴 한-바나흐(하이퍼플레인 분리) 카쿠타니 고정점 크레인-밀만 로모노소프의 불변 아공간 맥키아렌스 마주르의 보조정리 M. 리에즈 확장 파르세발의 정체 리에즈 보조정리 리에즈 표현 로빈슨우르세스쿠 슈워더 고정점
분석	추상 위너 공간 바나흐 다지관 보따리를 싸다 보크너 공간 볼록 시리즈 프리셰트 공간의 차별화 파생상품(프레셰트) 가토 기능적 단형의 준) 통합(보치너) 던퍼드 겔판-페티스 규제의 팰리-위너 약한) 기능성 미적분(보렐) 연속의 홀로모픽) 측정(레베그) 투영 값 벡터) 약하게/강하게 측정할 수 있는 기능
세트 종류	절대 볼록스 흡수. 아핀 균형/순환 경계 볼록스 볼록콘(하위 세트) 볼록 시리즈 관련 (cs, lcs)-닫힘, (cs, bcs)-완전, (하위) 이상 볼록, (Hx), (Hx) 선형 원뿔(하위 세트) 방사상 방사형 볼록/별 모양 대칭 조노토프
하위 집합/작업 설정	아핀 선체 (상대) 대수 내부(핵심) 경계점 볼록 선체 극한점 실내 선형스팬 민코스키 덧셈 극지 (Quasi) 상대 인테리어
예	절대 연속성 AC $(\displaystyle ba(\Sigma )}$ c 스페이스 바나흐 좌표 BK Besov B $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ , $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ( $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ ) $B_{p,q}^{s}(\mathbf {R} )$ 비른바움-올리츠 경계변동 BV B스 스페이스페이스 K 콤팩트 하우스도르프가 있는 연속 C(K) 하디^p H 힐베르트 H Morrey-Campanato $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ , $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ( $L^{\lambda ,p}(\Omega )$ ) ${\displaystyle$ L $^{\lambda ,p}(\Oomega )}$ ℓ^p (ℓ^{${\infty }$}) L^p( $∞{\$ L $^{\inflt })}$ 가중치 있는 슈워츠 $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ( R $S\left(\mathbf {R} ^{n}\right)$ ) ${\$ 세갈-바르그만 F 소볼레프^k,p W (소볼레프 불평등) 트리벨-리조킨 Wiener amalgam $W(X,L^{p})$ ( $W(X,L^{p})$ , $W(X,L^{p})$ $W(X,L^{p})$ ) $W(X,L^{p}})$
적용들	미분 연산자 유한요소법 양자역학의 수학적 공식화 일반 미분 방정식(ODE) 유효숫자

v t 힐베르트 공간
기본개념	조정 이너 제품 및 L-세미인너 제품 힐버트 공간과 프레힐버트 공간 직교보충제 직교 기준
주요 결과	베셀의 부등식 카우치-슈바르츠 불평등 리에즈 표현
기타 결과	힐버트 투영 정리 파르세발의 정체 양극화 정체성(병렬법)
지도	Hilbert 공간의 컴팩트 연산자 조밀하게 정의됨 에르미트 힐베르트슈미트 정상 자수성가 세실린형 트레이스 클래스 유니타리
예	K 컴팩트가 있는 Cⁿ(K) & n(으) 세갈-바르그만 F

v t 선형 지도의 이중성과 공간
기본개념	이중공간 이중 시스템 이중 위상 이중성 연산자 위상 폴라 세트 극 위상 선형 지도 공간의 토폴로지
토폴로지	노르말 위상 이중규범 울트라위크/위크-* 약한 극성의 운영자 힐베르트의 공간에. 맥키 스트롱 듀얼 극지 위상 운영자 울트라스트롱
주요 결과	바나흐알라오글루 맥키아렌스
지도	선형 지도의 전치
하위 집합	포화가족 총 집합
기타개념	이오르토곤계

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