일반화 함수

수학에서 일반화 함수는 함수의 개념을 확장하는 객체이다.하나 이상의 인정된 이론이 있습니다. 예를 들어 분포 이론입니다.일반화 함수는 특히 불연속 함수를 매끄러운 함수와 유사하게 만들고 점전하와 같은 이산적인 물리적 현상을 설명하는 데 유용하다.그것들은 특히 물리학과 공학에서 광범위하게 적용된다.

일부 접근법의 공통적인 특징은 일상적인 수치 함수의 연산자 측면을 기반으로 한다는 것이다.초기 역사는 연산 미적분에 대한 몇 가지 아이디어와 연결되어 있으며, 특정 방향의 보다 현대적인 발전은 그가 대수적 분석이라고 부르는 사토 미키오의 아이디어와 밀접하게 관련되어 있다.이 주제에 대한 중요한 영향은 편미분 방정식 이론과 군표현 이론의 기술적 요구 사항이었다.

초기 역사

19세기의 수학에서, 일반화 함수 이론의 양상은, 예를 들어 녹색 함수의 정의, 라플라스 변환, 그리고 적분 가능한 함수의 푸리에 급수가 아닌 리만의 삼각 급수 이론에서 나타났다.이것들은 그 당시 수학 분석의 단절된 측면들이었다.

공학에서 라플라스 변환의 집중적인 사용은 연산 미적분이라고 불리는 심볼적 방법을 경험적으로 사용하는 것으로 이어졌다.발산 급수를 사용한 정당성이 주어졌기 때문에, 이 방법들은 순수 수학의 관점에서 나쁜 평판을 받았다.이들은 일반화된 기능 방법을 나중에 적용할 때 전형적으로 사용됩니다.연산 미적분에 대한 영향력 있는 책은 1899년 올리버 헤비사이드의 전자기 이론이었다.

르베그 적분이 도입되었을 때, 수학의 중심인 일반화 함수의 개념이 처음으로 존재했다.르베그 이론에서 적분 가능 함수는 거의 모든 곳에서 동일한 다른 함수와 동등합니다.즉, 특정 시점에서의 가치는 (어떤 의미에서는) 가장 중요한 특징이 아닙니다.함수해석에서는 적분 가능한 함수의 본질적 특징, 즉 다른 함수에 대한 선형 함수를 정의하는 방법에 대한 명확한 공식이 주어진다.이를 통해 약한 도함수를 정의할 수 있습니다.

1920년대 후반과 1930년대 동안 미래의 작업에 기본이 되는 추가 조치가 취해졌다.디락 델타 함수는 폴 디락(그의 과학적 형식주의의 한 측면)에 의해 대담하게 정의되었다. 이것은 측정을 진정한 함수와 같이 밀도(예: 전하 밀도)로 간주하는 것이었다.편미분 방정식 이론에서 일하는 세르게이 소볼레프는 편미분 ^[1]방정식의 약한 해법으로 일하기 위해 수학적 관점에서 일반화 함수의 적절한 첫 번째 이론을 정의했습니다.당시 관련 이론을 제안한 다른 사람들은 살로몬 보히너와 커트 프리드리히였다.소볼레프의 작품은 로랑 슈워츠에 ^[2]의해 확장된 형태로 더욱 발전되었다.

슈워츠 분포

여러 가지 목적을 위해 확정적으로 받아들여져야 할 그러한 개념을 실현한 것이 로랑 슈워츠에 의해 개발된 분포 이론이었다.위상 벡터 공간에 대한 이원성 이론에 기초한 원리가론이라고 할 수 있다.응용 수학에서 이것의 주요 경쟁자는 매끄러운 근사 수열('제임스 라이트힐' 설명)을 사용하는 것인데, 이것은 좀 더 임시적이다.이것은 이제 완화자 ^[3]이론으로 이론에 들어간다.

이 이론은 매우 성공적이었고 여전히 널리 사용되고 있지만, 선형 연산만을 허용한다는 주요 단점으로 어려움을 겪고 있다.즉, 분포는 곱할 수 없습니다(매우 특수한 경우 제외). 대부분의 고전 함수 공간과 달리 대수가 아닙니다.예를 들어 Dirac 델타 함수를 제곱하는 것은 의미가 없습니다.1954년경 슈워츠의 연구는 그것이 본질적인 어려움이라는 것을 보여주었다.

곱셈 문제에 대한 몇 가지 해결책이 제안되었습니다.하나는 Yu. V. Egorov에^[4] 의해 주어진 매우 단순하고 직관적인 정의에 기초하고 있으며, 일반화된 함수에 대한 임의의 연산과 그 사이의 연산을 가능하게 하는 Demidov의 책에 있는 그의 글도 참조한다.

곱셈 문제의 또 다른 해법은 양자역학의 경로 적분 공식에 의해 결정된다.이것은 좌표 변환에서 불변하는 양자 역학의 슈뢰딩거 이론과 동등해야 하기 때문에, 이 특성은 경로 적분에 의해 공유되어야 한다.이는 H. Kleinert와 A에 나타난 것과 같이 일반화된 기능의 모든 제품을 수정한다.체르비아코프.^[5]그 결과는 차원 ^[6]정규화에서 도출할 수 있는 것과 같다.

일반화 함수의 대수

Yu. M. Shirokov와 E에 의한 일반함수 대수의 여러 구성들이 제안되었다.로징거, Y.에고로프, R.로빈슨.^{[citation needed]}첫 번째 경우, 곱셈은 일반화 함수의 정규화에 의해 결정된다.두 번째 경우 대수는 분포의 곱셈으로 구성된다.두 경우 모두 아래에 설명되어 있습니다.

일반화 함수의 비가환 대수

일반화 함수의 대수는 F $F=F(x)$ $F=F(x)$ ( $F=F(x)$ ) $F=F(x)$ F $= F$ ( $F=F(x)$ x ) f ( x ) f $F=F(x)$ = F ( x ) f ( f ( x ) s $F=F(x)$ $F_{\rm {smooth}}$ $F_{\rm {smooth}}$ h \ $display style$ $F _$ { $F_{\rm {singular}}$ rm { $F_{\rm {singular}}$ $F_{\rm {smooth}}$ } its $F_{\rm {smooth}}$ $F_{\rm {singular}}$ $F_{\rm {singular}}$ $F_{\rm {singular}}$ f f $F_{\rm {singular}}$ f $f$ f } } } } $}$ } } } } } } } } } the the the the the the the the the the the the the the the the the the $F_{\rm {smooth}}$ the the the the the일반화된 $함수$ F {\ $displaystyle$ F $}$ 와 $F$ G {\ $displaystyle$ G $}$ 의 $G$ 곱은 다음과 같이 나타납니다.

FG~=~F_{\rm {smooth}~G_{\rm {smooth}}~+F_{singular}}~G_{\rm {singular}}~G_{\rm {sm}}.

(1)

이러한 규칙은 주 기능의 공간과 주 기능의 공간에 작용하는 운영자의 공간 모두에 적용된다.곱셈의 연관성이 달성됩니다.그리고 함수 부호는 그 제곱이 (좌표의 원점을 포함한) 모든 곳의 통일성이 되도록 정의됩니다.단수부품의 곱은 (1)의 오른쪽에 나타나지 않으며, 특히 $\delta (x)^{2}=0$ ( x ) $\delta (x)^{2}=0$ $=$ 0 ( $display style$ \ $display$ ( x )^{2} $= 0$ }. 이러한 형식주의는 (그 곱이 없는) 일반화된 함수에 대한 기존의 이론을 특수한 경우로 포함한다.그러나 결과 대수는 비가환 함수 signum과 델타 안티커뮤트이다.^[7]대수학의 응용은 거의 ^[8]^[9]제안되지 않았다.

분포의 곱셈

분포의 곱셈 문제는 Schwartz 분포 이론의 한계이며 비선형 문제에 대해서는 심각하다.

오늘날에는 다양한 접근법이 사용되고 있습니다.가장 간단한 것은 Yu. V. Egorov에 ^[4]의해 주어진 일반화 함수의 정의에 기초한다.연관 미분 대수를 구성하는 또 다른 접근법은 J.-F.에 기초한다.Colombeau의 구조: Colombeau 대수를 참조하십시오.요인 공간입니다.

G=M/N

기능들의 "불가능한" 모듈로 망의 "적합성"과 "적합성"은 패밀리 지수에 대한 성장을 의미한다.

예: Colombeau 대수

간단한 예는 N, $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ { $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ : $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ , $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ m ; $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ Z $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ { $display$ s = \ { $a$ _ { $m$ : \ $mathbb$ { $N$ } \ $to$ \ $mathbb$ { $R$ } , $n$ \ $mapsto$ n^ { $m$ } ; ~ $m$ \ $mathbb$ { m $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ } } . . $s=\{a_{m}:\mathbb {N} \to \mathbb {R} ,n\mapsto n^{m};~m\in \mathbb {Z} \}$ $}}$ 。

\displaystyle G_{s}(E,P)=blac {{f\in E^{\mathbb {N}}\mid \forall p\in P,\exists m\in \mathbb {Z}:p(f_{n}=o(n^{m})\}{\{f\in E^{\mathbb {N}}\mid \forall p\in P,\forall m\in \mathbb {Z}:p(f_{n})=o(n^{m}}\}}}.

특히 (E, P)=(C, .)의 경우, (Colombeau's) 일반화 복소수 ("무한히 클 수"와 "무한히 작을 수 있고 여전히 비표준 숫자와 매우 유사한 엄밀한 산술이 가능하다)를 얻는다.(E, P) = (C^∞(R),{p_k})에 대하여_k (여기서 p는 반지름 k의 공에서 k보다 작거나 같은 차수의 모든 도함수의 최상) Colombeau의 단순 대수를 구한다.

Schwartz 분포 주입

이 대수는 주입을 통해 D'의 모든 분포 T를 "포함"한다.

j(T) = (θ_n T)_n + N,

여기서 θ는 컨볼루션 연산입니다.

φ_n （ x ） =n φ （ nx ）。

이 주입은 일체형 1의 완화제 δ의^∞ 선택에 따라 달라지며 0에서 모든 유도체가 소실된다는 점에서 비표준적이다.정규 주입을 얻기 위해 인덱스 세트를 N × D(R)로 변경할 수 있으며, D(R)에 기초한 편리한 필터 베이스(q까지의 소실 모멘트의 함수)를 사용할 수 있습니다.

층 구조

만약 (E,P)가 일부 위상 공간 X에서 반규격 대수의 (전)단이라면, G_s(E,P)도 이 특성을 가질 것이다.이는 제한의 개념이 정의됨을 의미하며, 이는 특히 다음과 같은 서브시프와 함께 일반화 함수의 지원을 정의할 수 있다.

하위 셰프 {0}의 경우 일반적인 지원(함수가 0인 경우 가장 큰 열린 하위 집합의 완성)을 받습니다.
서브시프 E(정규적 (정규적) 주입을 사용하는 경우)의 경우, 단수 지지대, 즉 대략적으로 말하면, 일반화된 함수가 매끄러운 함수가 아닌 집합의 닫힘을 얻는다(E^∞ = C의 경우).

마이크로 로컬 분석

콤팩트하게 지원되는 일반 함수에 대해 정의된 푸리에 변환(성분별로)은 분포와 동일한 구조를 적용할 수 있으며 일반 함수에 대해서도 Lars Hörmander의 파형 프론트 세트를 정의할 수 있습니다.

이것은 특이점 전파 분석에서 특히 중요한 응용 분야를 가지고 있다.

기타 이론

여기에는 통합영역인 컨볼루션 대수의 분수장에 기초한 얀 미쿠신스키의 컨볼루션 몫 이론과 해석함수의 경계값에 기초한 하이퍼함수 이론(초기 개념에서)이 포함되며, 현재는 시프 이론을 이용한다.

토폴로지 그룹

Bruhat은 전형적인 기능 영역인 다지관을 넘어서는 국소적으로 콤팩트한 그룹의 클래스에 현재 알려진 바와 같이 테스트 기능의 클래스인 Schwartz-Bruhat를 도입했다.응용은 대부분 수이론, 특히 아델릭 대수군에 있다.Andre Weil은 이 언어로 테이트의 논문을 고쳐 쓰고, 아이델 군에서의 제타 분포를 특징짓고, L-함수의 명시적 공식에도 적용했다.

일반 섹션

이론이 확장된 또 다른 방법은 매끄러운 벡터 다발의 일반화 단면이다.이것은 Schwartz 패턴으로, 콤팩트한 서포트를 가진 번들의 매끄러운 부분인 테스트 오브젝트와 듀얼 오브젝트를 구성합니다.가장 발전된 이론은 차동 형태와 이중인 드 람 전류이다.미분 형태가 드 람 코호몰로지를 낳는다는 점에서 이것들은 본질적으로 동질적인 것이다.그것들은 매우 일반적인 스톡스의 정리를 만드는 데 사용될 수 있다.

「」를 참조해 주세요.

책들

L. 슈워츠:디오리 데스 배급입니다
A. 뷰링(Beurling), 4차원성 및 일반 분포에 대하여(Stanford, Californ., 1961).[P. L. 듀렌의 노트]
I.M. Gel'fand 등:Generalized Functions, vols I-VI, Academic Press, 1964. (러시아어 번역)
L. Hörmander:Springer Verlag, 1983년 선형 편미분 연산자의 분석.
H. 코마츠, 도쿄 이와나미쇼텐 제2판, 1983년.
J.F. Colombeau:North Holland, New Generalized Functions and Multipliation of Distributions, 1983.
V. S. 블라디미로프, Yu. N. 드로즈히노프, B.I. Zav'yalov, Tauberian donomies for general functions, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1988.
M. Oberggenberger:편미분방정식에 대한 분포 및 적용의 곱(롱맨, 할로우, 1992).
M. Morimoto, Sato의 하이퍼 펑션 소개, AMS, Providence, RI, 1993.
A. S. 데미도프: 수학 물리학의 일반화 함수:주요 아이디어와 개념 (Nova Science Publishers, Huntington, 2001).Yu. V. Egorov가 추가했습니다.
M. 그로스 외:일반상대성이론을 응용한 일반화 함수의 기하학 이론, Kluwer Academic Publishers, 2001.
R. Estrada, R. Kanwal: 점근증에 대한 분포적 접근법.이론과 응용, Birkhauser Boston, Boston, MA, 2002.
V. S. Vladimirov, 일반화 함수 이론의 방법, Taylor & Francis, London, 2002.
H. Kleinert, 양자역학, 통계학, 고분자물리학, 금융시장의 경로적분학, 제4판, 세계과학(싱가포르, 2006) (여기는 온라인).일반화된 기능의 제품은 11장을 참조한다.
S. 필리포비, B.Stankovic, J. Vindas, 일반화된 기능의 점근 거동, World Scientific Publishing Co.NJ, Hackensack, Ltd., 2012년

레퍼런스

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