크레인-밀만 정리

함수 분석의 수학 이론에서 크레인-밀만 정리(Krein-Milman theorem)는 국소적으로 볼록한 위상 벡터 공간(TVS)에서 콤팩트한 볼록 집합에 관한 명제입니다.

이 정리는 무한 차원 공간과 임의의 콤팩트한 볼록 집합에 일반화됩니다. 둘레와 "안에" 영역을 포함하여 볼록(즉, "채움"된" 삼각형은 세 꼭짓점의 볼록 껍질과 동일하며, 이 꼭짓점은 이 모양의 꼭짓점입니다. 이 관측치는 평면 R 2의 다른 볼록 다각형에도 적용됩니다. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.$

명세서 및 정의

예비 및 정의

전체적으로 X ${\displaystyle X}$는 실수 또는 복소 벡터 공간이 될 것입니다.

벡터 공간의 임의의 요소 x ${\displaystyle$ x$}$ 및 y ${\displaystyle y}$에 대해 집합[x, y] : ={ t x+(1- t) y: 0 ≤ t ≤ 1 } ${\displaystyle [x,y]:$$=$\{$tx$+($1-t$)y:$0\leq t\$leq 1\} 이 x ${\$displaystyle x}에서 y $사이$의 폐선 세그먼트 또는 폐선간격이라고 합니다. {\$displaystyle$ y.} $x$ ${\displaystyle x}$과 y ${\displaystyle$ y$}$ 사이의 열린 선분 또는 열린 간격은(x, x): $=$ ${\displaystyle ($x,x):$x$ $=$ y {\displaystyle x $=$ y}인 경우 (x, y ): $=$ { t x + (1 - t) y : 0 < t < 1 } {\displaystyle (x, y$=$$\{$$tx$+($1-t)y:$0<t<1\} x$≠$ $y$ ${\displaystyle$ x\n$eq;}$을(x, y)$=$[x$,$ y] $∖$ {x, $y$} ${\displaystyle (x$, y) $=$ [x, y]\setminus \{x, y\} 및 [x, y] $=$ (x, y) $∪$ {x, y}을 만족합니다. {\displaystyle [x, y] $=$ (x, y)\cup \{x, y\}.$}$점 x ${\displaystyle$ x$}$ 및 y ${\displaystyle y}$를 이러한 간격의 끝점이라고 합니다. 구간은 끝점이 서로 다른 경우 축퇴되지 않거나 적절한 구간이라고 합니다.

간격[x, x] =$displaystyle [x,x$] =\{x\} $및$ [x,y] ${\displaystyle$ [$x,y$]}은(는) 항상 끝점을 포함하는 반면, (x,x) = ∅ {\displaystyle (x,x) =\varnothing} 및 (x,y) {\displaystyle (x,y)}은(는) 끝점을 포함하지 않습니다. x ${\displaystyle$ x$}$ 및 y ${\displaystyle y}$가 실수 선 R ${\$의 점인 경우[x, y] ${\displaystyle [x, y]$의 위 정의는 닫힌 구간으로서의 일반적인 정의와 동일합니다.

For any ${\displaystyle p,x,y\in X,}$ the point ${\displaystyle p}$ is said to (strictly) lie between ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ if ${\displaystyle p}$ belongs to the open line segment ${\displaystyle (x,y).}$^[2]

If ${\displaystyle K}$ is a subset of ${\displaystyle X}$ and ${\displaystyle p\in K,}$ then ${\displaystyle p}$ is called an extreme point of ${\displaystyle K}$ if it does not lie between any two distinct points of ${\displaystyle K.}$ That is, if there does not exist x ,$y$$∈$$x$$≠$ y${\$$displaystyle$ x,in K및 < t < 1${\displaystyle$0< t < 1}$eq}$이고 p $=$$+$ $(1$- t ) $y.$ {\displaystyle p $=$ $tx$+ (1 - t) y.$}$이 기사에서는 K ${\displaystyle K}$의 모든 극점 집합을 극$⁡$$($K)으로 표시합니다. ${\displaystyle \operatorname {extreme}($K).$}$^[2]

예를 들어, 평면 R2 ${\$의 볼록 다각형의 꼭지점은 해당 다각형의 극한점입니다. R 2 ${\$의 닫힌 단위 디스크의 극한점은 단위 원입니다. R ${\$의 모든 열린 간격 및 축퇴된 닫힌 간격에는 극점이 없지만 축퇴되지 않은 닫힌 간격[x, y] ${\displaystyle [x, y]$의 극점은 x ${\displaystyle x}$ 및 y입니다. ${\displaystyle y}$

임의의 두 점 x, y ∈ S, {\$displaystyle x,$y\inS,} S${\displaystyle$ S}에 선분 [x$,y$] .{\$displaystyle$ [$x$$,y]$ 가 포함된 경우 집합 S ${\displaystyle$ S$}$를 볼록이라고 합니다.$}$ The smallest convex set containing ${\displaystyle S}$ is called the convex hull of ${\displaystyle S}$ and it is denoted by ${\displaystyle \operatorname {co} S.}$ The closed convex hull of a set ${\displaystyle S,}$ denoted by co ¯ ( S ) ,${\displaystyle {\overline {\operatorname {co}}}(S),}$ S를 포함하는 가장 작은 닫힌 볼록 집합입니다$.\displaystyle S}$를 포함하는 모든 닫힌 볼록 부분집합의 교집합과 S ${\displaystyle S}$의 볼록한 선체의 폐쇄와 같습니다. 즉,

여기서 오른쪽은 co⁡(S) ${\displaystyle \operatorname${co$}($S)}의 닫힘을 나타내고 왼쪽은 표기법입니다. 예를 들어, 세 개의 구별되는 점들의 집합의 볼록 껍질은 (그들이 공선인 경우) 폐선 세그먼트 또는 그 둘레를 포함하여 실선(즉, "채워짐") 삼각형을 형성합니다. 그리고 평면R2에서 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ 단위 원은 볼록하지 않지만 닫힌 단위 원은 볼록하고 더 나아가 이 원은 원의 볼록한 선체와 같습니다.

일반적인$노름$‖ ⋅ ‖ 2 ${\displaystyle \cdot$ \_{2}}이(가) 있는 제곱합 가능 시퀀스의 분리 가능한 힐버트 공간 Lp 공간ℓ 2$(N) {\displaystyle$ \$ell ^{2}(\$mathbb {N})}에는볼록한 선체co ⁡($S) {\displaystyle$\operatorname {co}(S)}이 닫혀 있지 않으므로콤팩트한 $부분$ 집합 S ${\displaystyle$ S}가 있습니다. 또한 컴팩트하지 않습니다.^[3] 그러나 모든 완전한 하우스도르프 국소 볼록 공간과 마찬가지로 이 콤팩트 부분 집합의 $닫힌$ 볼록 선체 코 ¯ S {\$displaystyle {\overline {\operatorname {co$}}}S}는 콤팩트합니다. 그러나 하우스도르프 국소 볼록 공간이 완전하지 않은 경우 일반적으로 S ${\$$displaystyle {\operatorname {co$}}} S}가 S {\$displaystyle$ S}일때마다 $co$ ¯ S {\$overline$ {\operatorname {co}}}이(가) 콤팩트하다는 것은 보장되지 않습니다. 예는 ℓ 2(N)의(비완전) 사전 힐베르트 벡터 부분 공간에서도 찾을 수 있습니다.${\displaystyle \ell ^{2}(\mathbb {N}).}$ 모든 콤팩트 부분 집합은 완전 유계("사전 콤팩트"라고도 함)이며 하우스도르프 국소 볼록 공간의 완전 유계 부분 집합의 닫힌 볼록 껍질은 완전 유계가 보장됩니다.^[5]

진술

콤팩트 집합 K ${\displaystyle K}$도 볼록인 경우, 위 정리는 다음 정리의 첫 번째 부분을 상관 관계로 가지며,^[6] 종종 크레인-밀만 정리라고도 합니다.

K ${\displaystyle K}$의 극점의 볼록한 선체는 K ${\displaystyle$ K$}$의 볼록 부분 집합을 형성하므로 증명의 주요 부담은 볼록한 선체가 K를 모두 덮도록 극점이 충분하다는 것을 보여주는 것입니다. ${\displaystyle$ K$} 이러한$ 이유로, 위의 정리에 대한 다음과 같은 상관은 종종 크레인-밀만 정리라고도 합니다.

이 정리와 결론을 시각화하려면 K ${\displaystyle K}$가 볼록 다각형인 특별한 경우를 생각해 보십시오. 이 경우 다각형 모양을 복구하는 데 필요한 모든 것이 다각형의 모서리(극점)입니다. 다각형이 볼록하지 않으면 정리의 문장은 거짓입니다. 주어진 점을 모서리로 하는 다각형을 그리는 많은 방법이 있기 때문입니다.

볼록 집합 K ${\displaystyle K}$가 콤팩트해야 하는 요건은 다음과 같은 강화된 일반화 버전의 정리를 제공하기 위해 약화될 수 있습니다.^[7]

위의 성질을 준콤팩트 또는 볼록콤팩트라고 부르기도 합니다. 유한 교차 속성(FIP)을 갖는 모든 닫힌 부분집합의 계열이 비어 있지 않은 교차점(즉, 커널이 비어 있지 않은)을 갖는 경우에만 위상 공간이 컴팩트하기 때문에 컴팩트함은 볼록 컴팩트함을 의미합니다. 볼록 콤팩트성의 정의는 (모든 닫힌 부분집합이 아닌) 볼록한 부분집합만을 포함한다는 점을 제외하고는 FIP 측면에서 콤팩트한 공간의 이러한 특성화와 유사합니다.

더 일반적인 설정

제임스 로버츠(James Roberts, 1977)는 비국소 볼록 공간 Lp[0, 1] ${\displaystyle$ L$^{p}[0,1]}$에 대한 반례를 작성했으며, 여기서 < < 1 ${\displaystyle$ 0$<p< 1.}$

Nicolas Monod(2016)가 증명한 바와 같이 CAT(0) 공간의 약하게 콤팩트한 볼록 집합에 대해서는 문이 실패하기 때문에 선형성도 필요합니다.^[10] 그러나 테오 뷸러(2006)는 크레인-밀만 정리가 계량적으로 작은 CAT(0) 공간에 대해 성립한다는 것을 증명했습니다.^[11]

관련결과

Under the previous assumptions on ${\displaystyle K,}$ if ${\displaystyle T}$ is a subset of ${\displaystyle K}$ and the closed convex hull of ${\displaystyle T}$ is all of ${\displaystyle K,}$ then every extreme point of ${\displaystyle K}$ belongs to the closure of T .${\displaystyle T.}$ 이 결과는 크레인-밀만 정리에 대한 밀만의 역(부분)으로 알려져 있습니다.^[12]

Choquet–Bishop–de Lieuw 정리는 K ${\displaystyle$ K$}$의 모든 점이 K의 극한 점 집합에서 지원되는 확률 척도의 무게 중심이라고 말합니다. ${\displaystyle K.}$

선택의 공리와의 관계

ZF(Zermelo–Frankel set theory) 공리적 프레임워크에서 선택 공리(AC)는 문장 KM과 그 일반화 SKM을 포함하여 위에서 주어진 크레인-밀만 정리의 모든 버전을 증명하기에 충분합니다. 선택의 공리는 또한 BPI(Boolean prime ideal theorem)를 의미하지만, 이는 바나흐-알라오글루 정리와 동등하지 않습니다. 반대로, 부울 소수 이상 정리(BPI)와 함께 크레인-밀만 정리 KM은 선택의 공리를 암시합니다.^[13] 요약하면 AC는 KM과 BPI가 모두 유지되는 경우에만 유지됩니다.^[8] ZF 하에서 선택 공리는 다음 문장과 동등합니다.

모든 실제 정규 공간의 연속 이중 공간의 닫힌 단위 공은 극단적인 점을 가지고 있습니다.^[8]

또한 실제 벡터 공간(HB)에 대한 한-바나흐 정리와 함께 SKM도 선택 공리와 동일합니다.^[8] BPI는 HB를 의미하지만, 그에 해당하지 않는 것으로 알려져 있습니다(다른 말로 BPI는 HB보다 엄격하게 강합니다).

역사

마크 크레인과 데이비드 밀먼(David Milman, 1940)이 증명한 최초의 진술은 여기에 명시된 양식보다 다소 덜 일반적이었습니다.^[14]

앞서 헤르만 민코프스키(Hermann Minkowski, 1911)는 X ${\displaystyle$ X$}$가 3차원이면 K ${\displaystyle K}$는 극점 집합의 볼록한 선체와 같다는 것을 증명했습니다.^[15] 이 주장은 Ernst Steinitz(1916)에 의해 유한 차원의 경우로 확장되었습니다.^[16] 크레인-밀만 정리는 이를 임의의 국소 볼록X {\$displaystyle$ X$}$로 일반화하지만 유한 차원 공간에서 무한 차원 공간으로 일반화하려면 폐쇄를 사용해야 합니다.

참고 항목

• 바나흐 – 알라오글루 정리 – 함수해석학의 정리
• 카라테오도리 정리 (곡면 선체) – 집합 P의 볼록한 선체에 있는 점 Rd는 D+1개의 점들의 볼록한 조합입니다.
• 초케 이론 – 함수해석 및 볼록해석 영역
• 헬리 정리 – d차원 볼록 집합의 교집합에 관한 정리
• 라돈의 정리 – d차원의 d+2개의 점은 볼록한 선체가 교차하는 두 부분집합으로 분할될 수 있다고 말합니다.
• 샤플리–포크만 보조정리 – 벡터 집합의 합은 거의 볼록합니다.
• 위상 벡터 공간 – 근접 개념을 가진 벡터 공간

인용

서지학

• Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topological Vector Spaces: The Theory Without Convexity Conditions. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 639. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
• Aliprantis, Charalambos D.; Border, Kim C. (2006). Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide (Third ed.). Berlin: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-29587-7. OCLC 262692874.
• Bourbaki, Nicolas (1987) [1981]. Topological Vector Spaces: Chapters 1–5. Éléments de mathématique. Translated by Eggleston, H.G.; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-13627-4. OCLC 17499190.
• Black, Paul E., ed. (2004-12-17). "extreme point". Dictionary of algorithms and data structures. US National institute of standards and technology. Retrieved 2011-03-24.
• Borowski, Ephraim J.; Borwein, Jonathan M. (1989). "extreme point". Dictionary of mathematics. Collins dictionary. HarperCollins. ISBN 0-00-434347-6.
• Grothendieck, Alexander (1973). Topological Vector Spaces. Translated by Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
• Jarchow, Hans (1981). Locally convex spaces. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
• Kelley, John L.; Namioka, Isaac (1963). Linear Topological Spaces. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 36. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 978-3-662-41768-3. OCLC 913438183.
• Köthe, Gottfried (1983) [1969]. Topological Vector Spaces I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 159. Translated by Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. MR 0248498. OCLC 840293704.
• Köthe, Gottfried (1979). Topological Vector Spaces II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
• Pincus, David (1974). "The strength of the Hahn-Banach theorem". In Hurd, A.; Loeb, P. (eds.). Victoria Symposium on Nonstandard Analysis. Lecture Notes in Mathematics. Vol. 369. Berlin, Heidelberg: Springer. pp. 203–248. doi:10.1007/bfb0066014. ISBN 978-3-540-06656-9. ISSN 0075-8434.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topological Vector Spaces. Pure and applied mathematics (Second ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
• N. K. Nikol'skij (Ed.). 기능분석 I. Springer-Verlag, 1992.
• Robertson, Alex P.; Robertson, Wendy J. (1980). Topological Vector Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 53. Cambridge England: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
• H. L. Royden, Real Analysis. 프렌티스 홀, 1988년 뉴저지, 잉글우드 클리프스
• Rudin, Walter (1991). Functional Analysis. International Series in Pure and Applied Mathematics. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces. GTM. Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
• Schechter, Eric (1996). Handbook of Analysis and Its Foundations. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topological Vector Spaces, Distributions and Kernels. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Modern Methods in Topological Vector Spaces. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.

이 기사는 크리에이티브 커먼즈 속성/공유-유사 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 Krein-Milman 정리의 자료를 통합합니다.