빈 집합

빈 집합은 요소를 포함하지 않는 집합입니다.

수학에서 빈 집합은 요소가 없는 고유한 집합입니다. 빈 집합의 크기 또는 카디널리티(세트 내 요소의 수)는 ^[1]0입니다.어떤 공리 집합론은 빈 집합의 공리를 포함함으로써 빈 집합이 존재함을 보장하는 반면, 다른 이론에서는 그 존재를 추론할 수 있다.빈 집합에 대해 가능한 많은 집합 속성이 공허하게 참입니다.

빈 세트 이외의 세트는 비빈 세트라고 불립니다.

일부 교과서 및 대중화에서는 빈 집합을 "늘 집합"^[1]이라고 합니다.그러나, null 집합은 측정 이론의 맥락에서 구별되는 개념으로, 측정 0의 집합을 기술한다(꼭 비워 둘 필요는 없음).빈 집합을 보이드 집합이라고도 합니다.

표기법

빈 집합의 기호

빈 세트의 일반적인 표기법에는 "{}", $"\displaystyle \emptyset"$ 및 ""가 있습니다.후자의 두 기호는 1939년 부르바키 그룹(특히 André Weil)에 의해 덴마크어와 노르웨이어의 알파벳 ^[2]문자 ø에서 영감을 받아 도입되었다.과거에는 빈 집합의 기호로 "0"을 사용하는 경우가 있었지만, 현재는 잘못된 ^[3]표기법으로 간주되고 있습니다.

기호 is는 유니코드 포인트 U+2205에서 ^[4]사용할 수 있습니다.HTML에서는 다음과 같이 코드화할 수 있습니다.∅그리고 로서∅LaTeX에서는 다음과 같이 코드화할 수 있습니다.\varnothing기호 $\emptyset$ {\(\ $displaystyle \emptyset)$ 은 $\emptyset$ LaTeX에서 다음과 같이 코드화되어 있습니다.\emptyset.

덴마크어 및 노르웨이어와 같은 언어로 쓸 경우 빈 집합 문자를 알파벳 문자 ø과 혼동할 수 있습니다(언어학에서 기호를 사용할 때처럼). 대신 ^[5]유니코드 문자 U+29B0 REVERSED EMENTY SET may를 사용할 수 있습니다.

특성.

표준 공리 집합론에서, 확장성의 원리에 따르면, 두 집합이 같은 요소를 가질 경우 같다.따라서 요소가 없는 집합은 1개뿐이므로 "빈 집합"이 아닌 "빈 집합"을 사용합니다.

빈 세트에는 다음 속성이 있습니다.

유일한 서브셋은 빈 세트 자체입니다.
$\displaystyle \forall A:A\subseteq \varnothing \Rightarrow A=\varnothing}$
빈 세트의 전력 세트는 빈 세트만 포함하는 세트입니다.
$\displaystyle 2^{\varnothing}=\{\varnothing \}$
빈 집합의 요소 수(즉, 카디널리티)는 0입니다.
$\displaystyle \mathrm { } \varnothing \mathrm { } = 0 }$

임의의 세트 A:

빈 집합은 A의 하위 집합입니다.
$\displaystyle \forall A:\varnothing \subseteq A}$
A와 빈 세트의 결합은 A:
$\displaystyle \forall A:A\cup \varnothing = A}$
A와 빈 집합의 교차점은 빈 집합입니다.
$\displaystyle \forall A:A\cap \varnothing =\varnothing }$
A와 빈 집합의 데카르트 곱은 빈 집합입니다.
$\displaystyle \forall A:A\times \varnothing =\varnothing }$

모든 속성 P:

$\displaystyle \varnothing$ 의 $\varnothing$ 각 요소에 대해 P가 보유하고 있는 속성(공백한 진실).
속성 P를 유지하는 요소 $"\displaystyle \varnothing"$ 은 $\varnothing$ 없습니다.

반대로 일부 속성 P와 일부 집합 V에 대해 다음 두 개의 문이 유지됩니다.

V의 모든 요소에 대해 특성 P는
속성 P가 유지되는 V 요소가 없습니다.

$V=\varnothing .$ $V=\varnothing .$ = $。$ { $display$ V $V=\varnothing .$ = \ $varnothing$ . $V=\varnothing .$ }

서브셋의 정의에 따르면 빈 세트는 임의의 세트A의 서브셋입니다.즉 $,$ $displaystyle\varnothing"$ 의 $\varnothing$ 각 요소x는 A에 속합니다.실제로 $"\displaystyle\varnothing"$ 의 $\varnothing$ 모든 요소가 A에 있는 것이 사실이 아닌 경우 $"\displaystyle\varnothing"$ 의 $\varnothing$ 요소는 A에 존재하지 않습니다. $"\display\varnothing"$ 요소는 $\varnothing$ 전혀 없기 때문에 A에 없는 $"\display$ \varnothing $"$ 요소는 없습니다. $"\displaystyle\varnothing$ 의 모든 요소에 대해"로 시작하는 진술은 실질적인 주장을 하지 않습니다.이것은 공허한 진실입니다.이것은 종종 "빈 집합의 요소에 대한 모든 것이 참"으로 바꾸어 표현됩니다.

자연수에 대한 일반적인 집합 이론 정의에서 0은 빈 집합으로 모델링됩니다.

빈 집합에 대한 작업

유한 집합의 원소의 합을 말할 때, 빈 집합의 원소의 합은 0이라는 관례를 피할 수 없다.그 이유는 0이 덧셈의 아이덴티티 요소이기 때문입니다.마찬가지로, 빈 집합의 원소의 곱은 1로 간주되어야 한다(빈 곱 참조). 1은 곱셈의 아이덴티티 요소이기 때문이다.

혼란은 고정된 점 없이 집합을 배열하는 것입니다.빈 세트는 하나의 치환( $0!=1$ $=$ {\ $displaystyle$ 0!= $1})$ 만을 가지므로 그 자체가 혼란스러운 것으로 간주할 수 있으며, 원래 위치를 유지하는 (빈 세트) 요소를 찾을 수 없는 것이 분명합니다.

수학의 다른 영역에서는

확장실수

빈 집합은 순서 있는 집합의 서브셋으로 간주될 때 멤버가 없으므로 해당 집합의 모든 멤버는 빈 집합의 상한과 하한이 됩니다.예를 들어, 실수의 서브셋으로 간주되는 경우, 통상적인 순서가 실수 라인으로 표현되며, 모든 실수는 빈 ^[6]집합의 상한과 하한이 됩니다.두 개의 "숫자" 또는 "점"을 실수(즉, 음의 무한대 $-\infty \!\,,$ 다른 모든 확장 실수보다 작다고 정의됨 $-\infty \!\,,$ 에 $-\infty \!\,,$ $+\infty \!\,,$ 더하여 형성된 확장 실수의 서브셋으로 간주할 때 - $-\infty \!\,,$ infinity $+\infty \!\,,$ , $+\infty \!\,,$ \ $displaystyle -$ \ $infty$ $-\infty \!\,,$ \ $+\infty \!\,,$ , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,다른 모든 확장실수보다 큰 벌금)이 있습니다.

\displaystyle \sup \varnothing =\min(\{-\infty,+\infty \}\cup \mathbb {R})=-\infty ,}

그리고.

\displaystyle \inf \varnothing = \max(\{-\infty ,+\infty \}\cup \mathbb {R})=+\infty .}

즉, 빈 집합의 최소 상한(sup 또는 supremum)은 음의 무한대이고 최대 하한(inf 또는 infimum)은 양의 무한대입니다.위와 같이 확장된 실수의 영역에서 음의 무한은 최대 및 최고 연산자의 식별 요소이고, 양의 무한은 최소 및 최소 연산자의 식별 요소이다.

토폴로지

임의의 위상 공간 X에서 빈 집합은 X와 마찬가지로 정의상 개방됩니다.열린 집합의 보완은 닫히고 빈 집합과 X는 서로 보완되므로 빈 집합도 닫히므로 열린 집합이 됩니다.게다가 빈 집합은 모든 유한 집합이 콤팩트하다는 사실에 의해 콤팩트하다.

빈 집합의 닫힘이 비어 있습니다.이것은 "무효 조합의 보존"으로 알려져 있다.

범주론

$A(\displaystyle$ A $)$ 가 $A$ 세트일 $경우$ 빈 함수 f $(\displaystyle \varnothing)$ 에서 $f$ $\varnothing$ A $(\displaystyle$ A $,\$ displaystyle A)까지 $A,$ 정확히 하나의 $f$ 가 존재합니다.따라서 빈 집합은 집합 및 함수 범주의 고유한 초기 개체입니다.

빈 세트를 빈 공간으로 변환하려면 빈 세트를 열도록 정의해야 합니다.이 빈 토폴로지 공간은 연속된 맵이 있는 토폴로지 공간 범주에서 고유한 초기 개체입니다.실제로는 엄밀한 초기 객체입니다.빈 집합만 빈 집합에 대한 함수를 가집니다.

집합론

서수의 von Neumann 구조에서 0은 빈 집합으로 정의되며, 서수의 $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ 은 $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ S $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ ( $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ ) $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ α $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ { $S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}$ α } {{ $displaystyle$ S $(\alpha$ ) $=$ \ $alpha \cup \{\$ $alpha$ $\}$ $0=\varnothing$ $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ $0=\varnothing$ 으로 $0=\varnothing$ $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ 된다 $1=0\cup \{0\}=\{\varnothing \}$ = $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ { 1 $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ } $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ { $displaystyle 2$ = $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ 1 \ $cup$ \ { 1 \ $=$ \ { \ varnothing $\$ } \ $2=1\cup \{1\}=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}$ \{\ 。적어도 하나의 무한 집합의 존재를 보장하는 무한의 공리와 함께 von Neumann 구조를 사용하여 산술의 Peano 공리를 만족하도록 자연수 $\mathbb {N} _{0}$ $\mathbb {N} _{0}$ 0 $(\style$ \ $mathbb {N}_{0$ 을 구성할 수 있습니다.

의문 존재

공리 집합론

체르멜로 집합론에서, 빈 집합의 존재는 빈 집합의 공리에 의해 보장되며, 그 고유성은 확장성의 공리에 따라 달라진다.그러나 빈 세트의 공리는 적어도 두 가지 방법으로 중복을 나타낼 수 있습니다.

표준 1차 논리는 단지 논리적 공리로부터 무언가가 존재한다는 것을 의미하고 집합론의 언어로 말하면, 그것은 집합이어야 한다.이제 빈 집합의 존재는 분리 공리로부터 쉽게 따라옵니다.
심지어 자유 논리를 사용하더라도, 적어도 하나의 집합, 즉 무한의 공리의 존재를 암시하는 공리가 이미 존재한다.

철학적 문제

빈 집합이 표준적이고 널리 받아들여지는 수학적 개념인 반면, 그것은 존재론적 호기심으로 남으며, 그 의미와 유용성은 철학자들과 논리학자들에 의해 논의된다.

빈 세트는 아무것도 없는 것과 같은 것이 아니라 안에 아무것도 없는 세트이며 항상 세트이다.이 문제는 세트를 가방으로 보는 것으로 해결할 수 있습니다.빈 가방은 아직 존재합니다.Darling (2004)은 빈 집합이 아무것도 아닌 "4개의 변이 있는 모든 삼각형 집합, 9개보다 크고 8개보다 작은 모든 숫자의 집합, 그리고 ^[7]왕을 수반하는 체스에서 모든 오프닝 동작의 집합"이라고 설명한다.

통속 삼단 논법

영원한 행복보다 나은 것은 없다; 햄 샌드위치는 없는 것보다 낫다; 그러므로 햄 샌드위치는 영원한 행복보다 낫다.

무(無)의 개념과 공(空)의 집합 사이의 철학적 관계를 나타내는 데 자주 사용된다.달링은 "영원한 행복보다 나은 것은 없다"와 "햄 샌드위치는 없는 것보다 낫다"는 문구를 수학적인 어조로 고쳐 쓰면 대조를 볼 수 있다고 쓰고 있다.Darling에 따르면 전자는 영원한 행복보다 더 좋은 모든 것의 집합은 $\varnothing$ 【{ $displaystyle \varnothing$ 후자는 【{ham sandwich} 세트가 $【{displaystyle \varnothing}$ 세트보다 낫다.】와 같다.첫 번째는 세트의 요소를 비교하고 두 번째는 세트 ^[7]자체를 비교합니다.

Jonathan Lowe는 다음과 같이 주장합니다.

"수학의 역사에서 의심할 여지 없이 중요한 이정표였다. 우리는 계산에서의 그것의 효용성이 실제로 어떤 대상을 나타내는 것에 달려 있다고 가정해서는 안 된다."

다음과 같은 경우도 있습니다.

"빈 세트에 대해 우리가 알고 있는 것은 (1) 세트이고 (2) 멤버가 없으며 (3) 멤버가 없는 세트 중에서 독특하다는 것뿐입니다.그러나 집합이론적인 의미, 즉 모든 집합이 아닌 '구성원이 없다'는 것은 매우 많습니다.왜 이런 것들이 구성원을 가지고 있지 않은지는 명백하다. 왜냐하면 그것들은 집합이 아니기 때문이다.불명확한 것은 세트 중에서 유일하게 멤버가 없는 세트가 어떻게 존재할 수 있는가 하는 것입니다.규정만으로는 ^[8]그런 실체를 만들 수 없다.

조지 불로스는 집합론에 의해 지금까지 얻어진 것의 많은 부분이 집합들을 ^[9]구성원과 같은 다른 실체를 가진 단일 실체로 재분류하지 않고 개인에 대한 복수 수량화에 의해 쉽게 얻어질 수 있다고 주장했다.

「」를 참조해 주세요.

0 – 번호
거주 집합 – 구성 수학의 집합 종류
없음 – 무엇인가가 존재하지 않음을 나타내는 개념
전원 집합 – 특정 집합의 모든 하위 집합을 포함하는 수학 집합

레퍼런스

^ ^a ^b Weisstein, Eric W. "Empty Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.
^ "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic".
^ Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.
^ "Unicode Standard 5.2" (PDF).
^ 예: Nina Grönnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: 단스크의 연인들.코펜하겐의 아카데미스크 포를라그.
^ 브루크너, A.N., 브루크너, J.B. 및 톰슨, B.S.(2008)초등실제분석, 제2판, 9페이지
^ ^a ^b D. J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.
^ E. J. Lowe (2005). Locke. Routledge. p. 87.
^ 조지 불로스(1984), "죽음은 변수의 가치가 되는 것", 철학 저널 91: 430-49.1998년에 전재된 로직, 로직, 로직 (리처드 제프리, 버지스, J. eds)하버드 대학 출판부, 54-72

추가 정보

할모스, 폴, 순진한 집합론프린스턴, 뉴저지: D.반 노스트랜드 컴퍼니, 1960년1974년 뉴욕주 스프링거-발락에서 전재.ISBN 0-387-90092-6(스프링거-버래그 에디션).마르티노 파인북스 전재, 2011.ISBN 978-1-61427-131-4(페이퍼백판).
Jech, Thomas (2002), Set Theory, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2
Graham, Malcolm (1975), Modern Elementary Mathematics (2nd ed.), Harcourt Brace Jovanovich, ISBN 0155610392

외부 링크

Weisstein, Eric W. "Empty Set". MathWorld.

[:1-1] Weisstein, Eric W. "Empty Set". mathworld.wolfram.com. Retrieved 2020-08-11.

[2] "Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic".

[3] Rudin, Walter (1976). Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 300. ISBN 007054235X.

[4] "Unicode Standard 5.2" (PDF).

[5] 예: Nina Grönnum (2005, 2013) Fonetik og Fonologi: 단스크의 연인들.코펜하겐의 아카데미스크 포를라그.

[6] 브루크너, A.N., 브루크너, J.B. 및 톰슨, B.S.(2008)초등실제분석, 제2판, 9페이지

[Darling-7] D. J. Darling (2004). The Universal Book of Mathematics. John Wiley and Sons. p. 106. ISBN 0-471-27047-4.

[Lowe-8] E. J. Lowe (2005). Locke. Routledge. p. 87.

[9] 조지 불로스(1984), "죽음은 변수의 가치가 되는 것", 철학 저널 91: 430-49.1998년에 전재된 로직, 로직, 로직 (리처드 제프리, 버지스, J. eds)하버드 대학 출판부, 54-72

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v t 집합론
개요	집합(수학)
악리	부가 선택. 셀 수 있다 의존하는 세계적인 시공성(V=L) 결정성 확장 기능 Infinity 크기 제한 페어링 전원 세트 규칙성 유니언 마틴의 공리 Axiom 스키마 치환 사양
운용	데카르트 곱 보완(차이 설정) 드 모르간의 법칙 분리 결합 아이덴티티 교차로 전원 세트 대칭차 유니언
개념 방법들	카디널리티 기수(대) 학급 구성 가능한 우주 연속체 가설 대각 인수 요소 순서쌍 태플 가족 강제 일대일 대응 서수 Set-Builder 표기법 초한 유도 벤도
유형 설정	비정질 카운트 가능 빈 유한(전통적으로) 필터 기초 서브베이스 울트라필터 흐릿하다 무한(데데킨드 무한) 재귀적 싱글턴 서브셋 · 슈퍼셋 추이적 셀 수 없다 유니버설
이론들	대안 자명한 천진난만 칸토르의 정리 체르멜로 일반 프린키피아 매스매티카 새로운 기초 체르멜로프랭켈 폰 노이만-베네이스괴델 모스켈리 크립케-플라텍 타르스키 그로텐디크
패러독스 문제	러셀의 역설 서슬린 문제 부랄리-포르티 역설
집합 이론가	아브라함 프렝켈 버트런드 러셀 에른스트 체르멜로 게오르크 칸토르 요한 폰 노이만 쿠르트 괴델 폴 버네이즈 폴 코헨 리하르트 데데킨트 토머스 젝 토랄프 스콜렘 윌러드 콰인

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