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Inhaltsverzeichnis: Analytische Geometrie und Lineare Algebra


Inhalt

  1. Analytische Geometrie und Lineare Algebra
    1. Voraussetzungen: Einige Grundbegriffe (mit Übungen) (enthält 6 Unterkapitel)
      1. Die komplexen Zahlen
      2. Der n-dimensionale Raum über den reellen Zahlen
      3. Lineare Gleichungssysteme in zwei Unbekannten
      4. Körper
      5. Gruppen
      6. Übungsaufgaben (Grundbegriffe der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra)

    2. Vektorraumtheorie (mit Übungen) (enthält 8 Unterkapitel)
      1. Definition und Rechenregeln
      2. Beispiele für Vektorräume
      3. Untervektorräume
      4. Beispiele und Gegenbeispiele
      5. Der von einer Teilmenge aufgespannte Teilraum
      6. Erzeugendensysteme
      7. Summen von Vektorräumen
      8. Übungsaufgaben (Vektorraumtheorie)

    3. Basis und Dimension (mit Übungen) (enthält 14 Unterkapitel)
      1. Lineare Unabhängigkeit
      2. Kriterium für lineare Abhängigkeit
      3. Definition einer Basis und Beispiele
      4. Eindeutigkeit der Basisdarstellung
      5. Charakterisierende Eigenschaften einer Basis
      6. Existenzsatz
      7. Basisergänzungssatz
      8. Austauschsatz
      9. Folgerung aus dem Austauschsatz
      10. Dimension eines K-Vektorraums
      11. Weitere Folgerungen aus dem Austauschsatz
      12. Dimension eines Untervektorraums
      13. Dimensionssatz
      14. Übungsaufgaben (Basis und Dimension)

    4. Lineare Abbildungen (mit Übungen) (enthält 11 Unterkapitel)
      1. Definitionen
      2. Beispiele
      3. Existenz- und Eindeutigkeitssatz
      4. Eigenschaften von linearen Abbildungen
      5. Isomorphismen von K-Vektorräumen
      6. Klassifikationssatz für endlich dimensionale Vektorräume
      7. Dimensionsformel
      8. Folgerung aus der Dimensionsformel
      9. Beispiele für unendlich dimensionale Vektorräume
      10. Rechenregeln für lineare Abbildungen
      11. Übungsaufgaben (Lineare Abbildungen)

    5. Matrizenkalkül (mit Übungen) (enthält 16 Unterkapitel)
      1. Matrizen
      2. Produkt von Matrizen
      3. Transponierte Matrix
      4. Die Matrix einer linearen Abbildung
      5. Die Dimension eines Homomorphismus
      6. Die Darstellungsmatrix
      7. Invertierbare Matrizen
      8. Basiswechsel in V
      9. Basiswechsel und Darstellungsmatrix
      10. Eine geschickte Basiswahl
      11. Die Standardabbildung zu einer Matrix
      12. Faktorisierung einer linearen Abbildung
      13. Rang einer Matrix
      14. Rang und Invertierbarkeit
      15. Zeilenrang einer Matrix
      16. Übungsaufgaben

    6. Lineare Gleichungssysteme (mit Übungen) (enthält 9 Unterkapitel)
      1. Beispiele
      2. Lösbarkeitskriterien
      3. Die Menge der Lösungen
      4. Elementare Umformungen einer Matrix
      5. Elementare Umformungen und die Lösungsmenge
      6. Gaußscher Algorithmus
      7. Verfahren zur Inversion einer Matrix
      8. Gaußscher Algorithmus
      9. Übungsaufgaben (Lineare Gleichungssysteme)

    7. Die Determinante einer nxn-Matrix (mit Übungen) (enthält 15 Unterkapitel)
      1. Definition der Determinante
      2. Eigenschaften der Determinante
      3. Beweis der Eindeutigkeitsaussage in 7.1
      4. Laplacescher Entwicklungssatz
      5. Die Determinante einer oberen Dreiecksmatrix
      6. Kriterium für invertierbare Matrizen
      7. Determinante der transponierten Matrix
      8. Multiplikationssatz für Determinanten
      9. Kästchenregel
      10. Methode zur Berechnung der inversen Matrix
      11. Cramersche Regel
      12. Die spezielle lineare Gruppe
      13. Die Determinante eines Endomorphismus
      14. Zur Bedeutung der Determinante (enthält 2 Unterkapitel)
        1. Orientierung von reellen Vektorräumen
        2. Die Determinante als Volumen

      15. Übungsaufgaben (Determinante einer nxn-Matrix)

    8. Eigenwertprobleme (mit Übungen) (enthält 11 Unterkapitel)
      1. ähnliche Matrizen und Diagonalisierbarkeit
      2. Eigenwerte und Eigenvektoren
      3. Kriterium für Diagonalisierbarkeit
      4. Wann sind Eigenvektoren linear unabhängig?
      5. Einschub über Polynome
      6. Charakteristisches Polynom
      7. Eigenräume
      8. Hauptsatz über Diagonalisierbarkeit
      9. Rechenschritte zur Diagonalisierung
      10. Trigonalisierbarkeit
      11. Übungsaufgaben (Eigenwertprobleme)

    9. Metrische Vektorräume (mit Übungen) (enthält 14 Unterkapitel)
      1. Involution auf K
      2. Metrik auf V
      3. Die zu einer Metrik gehörende Matrix
      4. Basiswechsel
      5. Skalarprodukt
      6. Standardskalarprodukt
      7. Cauchy-Schwarzsche Ungleichung
      8. Winkel
      9. Orthonormalbasen
      10. Selbstadjungierte Endomorphismen
      11. Spektralsatz
      12. Hermitesche und symmetrische Matrizen
      13. Hauptachsentransformation
      14. Übungsaufgaben (Metrische Vektorräume)

    10. Orthogonale und unitäre Abbildungen (mit Übungen) (enthält 11 Unterkapitel)
      1. Metrische Abbildungen
      2. Die Matrix einer Isometrie
      3. Lineare Gruppen
      4. Bestimmung der orthogonalen 2 x 2 - Matrizen
      5. Orthogonale und unitäre Endomorphismen
      6. Orthogonale und unitäre Matrizen
      7. Spiegelungen
      8. Drehungen von R x R
      9. Fixpunkte orthogonaler Abbildungen
      10. Drehungen von R³
      11. Übungsaufgaben (Orthogonale und unitäre Abbildungen)



Seiten mit Übungsaufgaben in diesem Abschnitt

  1. Übungsaufgaben (Grundbegriffe der Analytischen Geometrie und Linearen Algebra)
  2. Übungsaufgaben (Vektorraumtheorie)
  3. Übungsaufgaben (Basis und Dimension)
  4. Übungsaufgaben (Lineare Abbildungen)
  5. Übungsaufgaben (Lineare Gleichungssysteme)
  6. Übungsaufgaben (Determinante einer nxn-Matrix)
  7. Übungsaufgaben (Eigenwertprobleme)
  8. Übungsaufgaben (Metrische Vektorräume)
  9. Übungsaufgaben (Orthogonale und unitäre Abbildungen)

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