LP Georg-August-Universität Göttingen

Definition und Rechenregeln

Definition und Rechenregeln

(319) Definition. Ein K-Vektorraum V ist eine abelsche Gruppe bezüglich einer Addition
+ : V \times V \longrightarrow V, \quad (v,w) \longmapsto v+w\,,

und zusätzlich ist eine Skalarmultiplikation
K \times V \longrightarrow V, \quad (\lambda, v) \longmapsto \lambda v

gegeben derart, dass die folgenden Regeln gelten:
  • (SM1) (\lambda\mu)v = \lambda(\mu v) für alle \lambda, \mu \in K, v \in V
  • (SM2) 1 v = v für alle v \in V
  • (D1) \lambda (v +w ) = \lambda v + \lambda w für alle \lambda \in K, v,w \in V
  • (D2) (\lambda + \mu) v = \lambda v + \mu v für alle \lambda, \mu \in K, v \in V
Die Elemente eines K-Vektorraumes nennen wir auch Vektoren. Statt K-Vektorraum sagen wir auch Vektorraum über K.
Rechenregeln in Vektorräumen
 Sei V ein K-Vektorraum. Das neutrale Element der Addition in V bezeichnen wir mit \vec{0} und nennen diesen Vektor den Nullvektor. Wir schreiben -v für das Inverse von v. Nach (G3) und Satz, folgen
-v + v = \vec{0} \qquad \hbox{ und } \qquad v + (-v) = \vec{0}

für alle v \in V.\; Es gilt ferner
\vec{0} + v = v = v + \vec{0} \quad \forall \; v \in V

Es folgen die Regeln:
  1. Für das neutrale Element der Addition 0 \in K ist 0 v = \vec{0} \quad \forall v \in V
  2. \lambda \vec{0} = \vec{0} \quad \forall \lambda \in K
  3. (-1) v = -v \quad \forall v \in V
Beweis.
  1. Es ist 0 v = (0 + 0) v = 0 v + 0 v. Addition von -0v ergibt \vec{0} = 0 v.
  2. Es ist \lambda \vec{0} = \lambda (\vec{0} + \vec{0}) = \lambda \vec{0} + \lambda \vec{0}. Addition von -\lambda \vec{0} ergibt \vec{0} = \lambda \vec{0}.
  3. Es ist \vec{0} = 0 v = (-1 + 1) v = (-1)v + 1v = (-1) v + v, also -v = (-1) v.
Geometrische Anschauung
 Sei V=\mathbb{R}^n und v = (x_1,\ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n. Dann ist
\begin{aligned} \vec{0} &= 0 v = (0, \ldots , 0)\\ -v &= (-1) v = (-x_1, \ldots , -x_n) \end{aligned}

Für beliebiges \lambda \in \mathbb{R} ist \lambda v = (\lambda x_1, \ldots ,\lambda x_n) Ist w = (x_1', \ldots , x_n'), so ist \; v-w = v + (-w) = (x_1 - x_1', \ldots , x_n - x_n') Beispiel in \mathbb{R}^2: v=(2,1), \; w = (1,2) \quad \Longrightarrow \quad v+w=(3,3) \quad \text{und} \quad v-w=(1,-1) Ist w=\lambda v, so sind v und w "linear abhängig". Ist \lambda v + \mu w = \vec{0} nur für \lambda = \mu = 0 möglich, so sind v und w "linear unabhängig".