LP Georg-August-Universität Göttingen

Erzeugendensysteme

Erzeugendensysteme

Sei V ein K-Vektorraum und S \subset V. Ist \operatorname{Span}(S) = V, so heißt S ein Erzeugendensystem von V.
Ist also S ein Erzeugendensystem, dann gibt es zu jedem v \in V ein m \in \mathbb{N} sowie Elemente v_1, \ldots, v_m \in S, \lambda_1, \ldots, \lambda_m \in K, mit v = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_m v_m Wenn V eine endliche Teilmenge S = \{v_1, \ldots, v_n\} als Erzeugendensystem besitzt, so heißt V endlich erzeugt. Es ist dann
V = \{ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n \;|\; \lambda_1, \ldots, \lambda_n \in K \}

Zum Beispiel
\mathbb{R}^2 = \{ \lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1) \;|\; \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \}

Beispiel. Seien V = \mathbb{R}^2, U_1 = \{0\} \times \mathbb{R} und U_2 = \mathbb{R} \times \{0\}. Dann sind U_1 und U_2 Teilräume von \mathbb{R}^2, aber U_1 \cup U_2 ist kein Vektorraum, denn (1,0) \in U_1, (0,1) \in U_2 aber (1,0) + (0,1) = (1,1) \neq U_1 \cup U_2. Der von S = U_1 \cup U_2 aufgespannte Teilraum von \mathbb{R}^2 ist die Summe

U_1 + U_2 := \{u_1 + u_2 \;|\; u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}

Hier gilt zusätzlich noch U_1 + U_2 = \mathbb{R}^2.
Beispiel. Sei a,b \in \mathbb{R} mit a \neq 0, b \neq 0, dann bilden v_1 = (a,0), v_2 =(0,b) und v_3 = (3,5) ein Erzeugendensystem von \mathbb{R}^2.
Beweis. Sei v \in \mathbb{R}^2 beliebig. Dann ist v= (x,y) mit x,y \in \mathbb{R}. Es folgt
\begin{aligned} v &= (x,y) = \frac{x}{a} (a,0) + \frac{y}{b} (0,b) + 0 (3,5)\\ &= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3 \end{aligned}
mit \lambda_1 =\frac{x}{a}, \lambda_2 = \frac{y}{b} und \lambda_3 = 0.
Man sieht insbesondere, dass v_3 = (3,5) entbehrlich ist.
Beispiel. Bilden v_1 = (1,1), v_2 = (1,-1) ein Erzeugendensystem von \mathbb{R}^2\;?
Ansatz:
\begin{aligned} (x,y) &\overset{!}{=} \lambda_1 (1,1) + \lambda_2 (1,-1) = (\lambda_1,\lambda_1) + (\lambda_2, -\lambda_2)\\ &=(\lambda_1 + \lambda_2, \lambda_1 - \lambda_2) \end{aligned}

also
\left. \begin{aligned} \lambda_1 + \lambda_2 &= x\\ \lambda_1 - \lambda_2 &= y \end{aligned}\right\} \quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = \frac{x+y}{2} \quad \text{ und } \quad \lambda_2 = \frac{x-y}{2}

Die Vektoren (1,1) und (1, -1) bilden also ein Erzeugendensystem, da
(x,y) = \lambda_1 (1,1) + \lambda_2 (1,-1)

mit \lambda_1 =\frac{x+y}{2}, \lambda_2 = \frac{x-y}{2}\quad \forall \; (x,y) \in \mathbb{R}^2 gilt.
Beispiel. Bilden v_1 = (-3,3), v_2 = (1,-1) ein Erzeugendensystem von \mathbb{R}^2\;?
Ansatz:
\begin{aligned} (x,y) &\overset{!}{=} \lambda_1 (-3,3) + \lambda_2 (1,-1) = (-3 \lambda_1, 3 \lambda_1) + (\lambda_2, -\lambda_2)\\ &=(-3 \lambda_1 + \lambda_2, 3 \lambda_1 - \lambda_2) \end{aligned}

also
\begin{aligned} -3 \lambda_1 + \lambda_2 &= x\\ 3 \lambda_1 - \lambda_2 &= y \end{aligned}

Dieses Gleichungssystem ist aber nicht für alle (x,y) \in \mathbb{R}^2 lösbar, denn setze z.B. (x,y) = (0,1), dann ist das System
\begin{aligned} -3 \lambda_1 + \lambda_2 &= 0\\ 3 \lambda_1 - \lambda_2 &= 1 \end{aligned} \quad \Longleftrightarrow \quad \begin{aligned} 3 \lambda_1 - \lambda_2 &= 0\\ 3 \lambda_1 - \lambda_2 &= 1 \end{aligned}

nicht lösbar. Insbesondere ist v = (0,1) keine Linearkombination von v_1 und v_2\,.