Erzeugendensysteme
Sei
ein
-Vektorraum und
. Ist
, so heißt
ein Erzeugendensystem von
.
Ist also
ein Erzeugendensystem, dann gibt es zu jedem
ein
sowie Elemente
,
, mit
Wenn
eine endliche Teilmenge
als
Erzeugendensystem besitzt, so heißt
endlich
erzeugt. Es ist dann
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
![K](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c78a119d61119660da2fbcb96e20dca4.png)
![S \subset V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/bed4dc9157babdddae14bcbcf58e9697.png)
![\operatorname{Span}(S) = V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c7487455b2e8c1d61e3b10b58787fde2.png)
![S](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/e7c6eaba8f6d2da50ee4fcddb0b8a228.png)
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
Ist also
![S](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/e7c6eaba8f6d2da50ee4fcddb0b8a228.png)
![v \in V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/ece646a3f25578169373fc0928173a51.png)
![m
\in \mathbb{N}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/88dde576469381a1762a2ce01433c8b6.png)
![v_1, \ldots, v_m \in S](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/945a20b01302d9ae4414499d23315c18.png)
![\lambda_1, \ldots,
\lambda_m \in K](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/1597b7b2a1d27dfabb7c1f19b43e73bf.png)
![v = \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_m v_m](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/3c015e79119720dec50e8b0c7f930d86.png)
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
![S = \{v_1, \ldots, v_n\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/ba9a69b0453dbedce45345ddca84cded.png)
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
![V = \{ \lambda_1 v_1 + \cdots + \lambda_n v_n \;|\; \lambda_1, \ldots,
\lambda_n \in K \}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/0250e234b25e06e9d81d32cabb0bd0ca.png)
Zum Beispiel
![\mathbb{R}^2 = \{ \lambda_1 (1,0) + \lambda_2 (0,1) \;|\; \lambda_1, \lambda_2 \in \mathbb{R} \}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/83de70b33f9a41798375de14f353f2ac.png)
Beispiel.
Seien
,
und
. Dann sind
und
Teilräume von
, aber
ist kein
Vektorraum, denn
,
aber
.
Der von
aufgespannte Teilraum von
ist die Summe
![U_1 + U_2 := \{u_1 + u_2 \;|\; u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/1839a11c19ed3b7350e0a8a8b71f8e17.png)
Hier gilt zusätzlich noch
.
![V = \mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7f08fb2521d8ccefa37927e82285866c.png)
![U_1 = \{0\} \times \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/dc756a02dd9cbb76e36c5b8e4743fffa.png)
![U_2 = \mathbb{R} \times
\{0\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/3c85e754af9217bbcff98cbebd5edb0c.png)
![U_1](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c59a0bc9549ad32c50c407b7a6f9c330.png)
![U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/30719f1095884901cdf613b38c2ea63f.png)
![\mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/6772d7e1311d73ee720c507cb102f0e5.png)
![U_1 \cup U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/bf99d25b0c619cd8ed8c1bfcb19c4444.png)
![(1,0) \in U_1](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/fb166f60a79e3e392126e686ac8f29c5.png)
![(0,1) \in U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7ffe81b9836fa690ac6fd4b1f8d19fb9.png)
![(1,0) + (0,1) =
(1,1) \neq U_1 \cup U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/99bb202444277b3a4c1baa1257804915.png)
![S = U_1 \cup U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/3e4c610df640ca583af9b59556adc470.png)
![\mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/6772d7e1311d73ee720c507cb102f0e5.png)
![U_1 + U_2 := \{u_1 + u_2 \;|\; u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/1839a11c19ed3b7350e0a8a8b71f8e17.png)
Hier gilt zusätzlich noch
![U_1 + U_2 = \mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/2385cb252c34fa92907ea8d434d444bf.png)
Beispiel.
Sei
mit
, dann bilden
und
ein Erzeugendensystem von
.
![\begin{aligned}
v &= (x,y) = \frac{x}{a} (a,0) + \frac{y}{b} (0,b) + 0 (3,5)\\
&= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3
\end{aligned}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/027f84a8d9e3690ddd1f8951e4babb55.png)
entbehrlich ist.
![a,b \in \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/1614e65465b31ef5c9234fd5c3797436.png)
![a \neq 0, b \neq 0](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/a63bb2bccfa491f516cba8707531c000.png)
![v_1 = (a,0), v_2
=(0,b)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/5a4c314721ff5777c77b8e5b8f570ff4.png)
![v_3 = (3,5)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/512483416d860a915756f3a9ebaf0e6a.png)
![\mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/6772d7e1311d73ee720c507cb102f0e5.png)
Beweis.
Sei
beliebig. Dann ist
mit
. Es
folgt
![v \in \mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/061b167fc82c06cf29358a03d65ab8fe.png)
![v= (x,y)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/b1dbf273ed0ddcaa8bb9e2582568c48d.png)
![x,y
\in \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/a004aa873254473a4045ad8b474e3a95.png)
![\begin{aligned}
v &= (x,y) = \frac{x}{a} (a,0) + \frac{y}{b} (0,b) + 0 (3,5)\\
&= \lambda_1 v_1 + \lambda_2 v_2 + \lambda_3 v_3
\end{aligned}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/027f84a8d9e3690ddd1f8951e4babb55.png)
mit
,
und
.
Man sieht insbesondere, dass ![\lambda_1 =\frac{x}{a}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/fb0120106943008f015cab4fa55d3ff0.png)
![\lambda_2 = \frac{y}{b}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/da38e5970a7b7c79370f161207158f81.png)
![\lambda_3 =
0](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/e24854eb90e3bc7cc61ef69686ab5aea.png)
![v_3 = (3,5)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/512483416d860a915756f3a9ebaf0e6a.png)
Beispiel. Bilden
,
ein Erzeugendensystem von
?
Ansatz:
![v_1 = (1,1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/bae13e32c83a101eac6a27c0ad52ce3f.png)
![v_2 = (1,-1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/5c17dae4da332aeac02878ac98b7ef9e.png)
![\mathbb{R}^2\;](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/b36256abf32a62d8caee1a18b0bbfd92.png)
Ansatz:
![\begin{aligned}
(x,y) &\overset{!}{=} \lambda_1 (1,1) + \lambda_2 (1,-1) =
(\lambda_1,\lambda_1) + (\lambda_2, -\lambda_2)\\
&=(\lambda_1 + \lambda_2, \lambda_1 - \lambda_2)
\end{aligned}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/ab86624dac015542d18518330770615a.png)
also
![\left. \begin{aligned}
\lambda_1 + \lambda_2 &= x\\
\lambda_1 - \lambda_2 &= y
\end{aligned}\right\}
\quad \Longrightarrow \quad \lambda_1 = \frac{x+y}{2} \quad \text{ und } \quad
\lambda_2 = \frac{x-y}{2}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/67856c9bbd1a2fa70df84099508924e0.png)
Die Vektoren
und
bilden also ein Erzeugendensystem, da
![(1,1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/3e2dffe439622592d8a973e334c12ad8.png)
![(1, -1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/80d5895ffca53872c133331b394b34fd.png)
![(x,y) = \lambda_1 (1,1) + \lambda_2 (1,-1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c7443750c1f91515bd06de08f6950fca.png)
mit
gilt.
![\lambda_1 =\frac{x+y}{2}, \lambda_2 = \frac{x-y}{2}\quad \forall \;
(x,y) \in \mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/611c881962d854130bc6fe21b3b88763.png)
Beispiel. Bilden
,
ein Erzeugendensystem
von
?
Ansatz:
![v_1 = (-3,3)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/2816e5337b61a2790e027a5dee338985.png)
![v_2 = (1,-1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/5c17dae4da332aeac02878ac98b7ef9e.png)
![\mathbb{R}^2\;](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/b36256abf32a62d8caee1a18b0bbfd92.png)
Ansatz:
![\begin{aligned}
(x,y) &\overset{!}{=} \lambda_1 (-3,3) + \lambda_2 (1,-1) =
(-3 \lambda_1, 3 \lambda_1) + (\lambda_2, -\lambda_2)\\
&=(-3 \lambda_1 + \lambda_2, 3 \lambda_1 - \lambda_2)
\end{aligned}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/f1b78c857301a28c0da02e7f6bce81ff.png)
also
![\begin{aligned}
-3 \lambda_1 + \lambda_2 &= x\\
3 \lambda_1 - \lambda_2 &= y
\end{aligned}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/688c33fc9cffc7e973a7a8f15798aeee.png)
Dieses Gleichungssystem ist aber nicht für alle
lösbar,
denn setze z.B.
, dann ist das System
![(x,y) \in \mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/d2878b31dba2a8258ab8930ab9efbe53.png)
![(x,y) = (0,1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/a582d34a7ef2a5c2d4969fdecbcea74d.png)
![\begin{aligned}
-3 \lambda_1 + \lambda_2 &= 0\\
3 \lambda_1 - \lambda_2 &= 1
\end{aligned}
\quad \Longleftrightarrow \quad
\begin{aligned}
3 \lambda_1 - \lambda_2 &= 0\\
3 \lambda_1 - \lambda_2 &= 1
\end{aligned}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7ea62971cc531f551a3e77fadb7e1274.png)
nicht lösbar. Insbesondere ist
keine Linearkombination von
und
.
![v = (0,1)](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/aacf4fafab080c05d13e82be0d6e62ce.png)
![v_1](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/0fbca483a39d96906e2eb7780be2a890.png)
![v_2\,](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/815651127e9fe25774375486c3b217e0.png)