LP Georg-August-Universität Göttingen

Beispiele für Vektorräume

Beispiele für Vektorräume

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  1. \{\vec 0\} mit \vec 0 + \vec 0 =\vec 0 und \lambda \vec 0 = \vec 0 \quad \forall \; \lambda \in K ist ein K-Vektorraum.
  2. \mathbb{R}^n ist ein \mathbb{R}-Vektorraum
  3. Analog ist K^n ein K-Vektorraum mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation. Auch ist K=K^1 ein K-Vektorraum.
  4. Sei X eine nicht leere Menge, und sei V := \{ f:X\longrightarrow K\} die Menge aller Abbildungen von X mit Werten in K. Definiere für f, g \in V und \lambda \in K
    \begin{aligned} \text{Addition} \quad & f+g:X &\longrightarrow K, & x &\longmapsto f(x) + g(x)\\ \text{Skalarmultiplikation} \quad& \lambda f : X & \longrightarrow K, & x &\longmapsto \lambda f(x) \end{aligned}

    Dann wird V dadurch zu einem K-Vektorraum.

    Das neutrale Element der Addition ist die Nullabbildung, die jedes Element aus X auf 0 abbildet, \; X \longrightarrow K, \quad x \longmapsto 0\,.
    Die zu f \in V inverse Abbildung ist \; -f : X \longrightarrow K, \quad x \longmapsto -f(x)\,.

    Dass V ein K-Vektorraum ist, zeigt man durch Rückführung auf die entsprechenden Vektorraumeigenschaften von K. Wir nennen V = \{ f:X\longrightarrow K\} einen Funktionenraum mit Werten in K und bezeichnen diesen Vektorraum auch als
    \operatorname{Abb}(X,K) = \{ f:X\longrightarrow K\}

  5. Ist allgemeiner W ein K-Vektorraum und
    \operatorname{Abb}(X,W):= \{ f:X\longrightarrow W\}

    so ist \operatorname{Abb}(X,W) analog wie oben ein K-Vektorraum. Speziell nennen wir für X = \mathbb{R}^n und W = \mathbb{R}^m den Vektorraum \{ f:\mathbb{R}^n \longrightarrow \mathbb{R}^m \} den Raum der vektorwertigen Funktionen in n Veränderlichen.
  6. \mathbb{R} ist ein \mathbb{Q}-Vektorraum, wie aus den Körpereigenschaften von \mathbb{R} folgt. Ebenso ist \mathbb{C} ein \mathbb{R}-Vektorraum und ein \mathbb{Q}-Vektorraum. Allgemein gilt: Ist L ein Körper, der K als "Teilkörper" enthält, so ist L ein K-Vektorraum.