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Untervektorräume

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Untervektorräume

Definition. Sei $V$ ein $K$ -Vektorraum. Eine Teilmenge $U$ von $V$ heißt Teilraum oder Untervektorraum von $V$ , wenn folgendes gilt:

(UV1) $U \neq \emptyset$ $U$ enthält mindestens ein Element
(UV2) $u,v \in U$ $\Longrightarrow$ $u+v \in U$ $U$ ist abgeschlossen gegenüber der Addition
(UV3) $u \in U$ und $\lambda \in K$ $\Longrightarrow$ $\lambda u \in U$
$U$ ist abgeschlossen bezüglich der Skalarmultiplikation

Ein Teilraum $U$ von $V$ ist selbst ein $K$ -Vektorraum.

Beweis. Wir müssen nur prüfen, dass $\vec{0} \in U$ und dass mit $u \in U$ auch $-u \in U$ ist. Alle anderen Vektorraumaxiome sind dann erfüllt, da sie in $V$ gelten.

Nach (UV1) gibt es ein $u \in U$ und es folgt: $\; \vec{0} = 0 u \underset{\text{(UV3)}}{\in} U$
Für beliebiges $u\in U$ gilt: $\; -u = (-1) u \underset{\text{(UV3)}}{\in} U$

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