LP – Gruppen

Gruppen

(318) Eine Gruppe ist eine Menge, auf der nur eine Verknüpfung definiert ist. Das kann z.B. eine Addition oder Multiplikation oder die Hintereinanderausführung von Drehungen einer Ebene um einen festen Punkt sein. Wir benutzen daher ein neues Zeichen $\circ$ für die Verknüpfung in einer Gruppe.

Definition. Eine Menge $G$ heißt Gruppe, falls auf $G$ eine Verknüpfung

$\circ : G \times G \longrightarrow G, \quad (a,b) \longmapsto a \circ b$

definiert ist derart, dass die folgenden Regeln gelten:

(G1) $(a\circ b)\circ c = a \circ (b \circ c)$ für alle $a,b,c \in G\;$ (Assoziativgesetz)
(G2) Es gibt ein neutrales Element $e \in G$ so, dass $e \circ a = a$ für alle $a \in G$ gilt. Man nennt $e$ auch linksneutral.
(G3) Zu jedem $a \in G$ gibt es ein inverses Element $a^{-1} \in G$ so, dass $a^{-1} \circ a = e$ gilt. Man nennt $a^{-1}$ auch Linksinverses zu $a$ .

Gilt in einer Gruppe zusätzlich $a \circ b = b \circ a$ für alle $a,b \in G$ , so heißt $G$ abelsch oder kommutativ. Eine Abbildung $f: G \longrightarrow G'$ einer Gruppe $G$ mit Verknüpfung $\circ_G$ in eine Gruppe $G'$ mit Verknüpfung $\circ_{G'}$ heißt Homomorphismus, wenn $f(a \,\circ_G \, b) = f(a) \, \circ_{G'} f(b)$ für alle $a,b \in G$ gilt.

Beispiele. Jeder Körper ist bezüglich Addition eine abelsche Gruppe. Neutrales Element ist $0$ , und $-a$ ist invers zu $a$ .

Ist $K$ ein Körper, so ist $K^\star := K \setminus \{0\} = \{ a \in K | a \neq 0\}$ bezüglich Multiplikation eine abelsche Gruppe mit neutralem Element $1$ .

Wir kommen nun zu einem ersten mathematischen Beweis. Wir zeigen, dass in einer Gruppe $G$ jedes neutrale Element auch rechtsneutral ist und dass alle zu $a \in G$ inversen Elemente auch Rechtsinverse zu $a$ sind. Daraus ergibt sich dann, dass es überhaupt nur ein neutrales Element in einer Gruppe gibt und dass auch das inverse Element eindeutig bestimmt ist.

Satz. Sei $G$ eine Gruppe mit neutralem Element $e$ . Dann gelten:

$a \circ a^{-1} = e$ und $a \circ e = a$ für alle $a \in G$
Es gibt genau ein $e \in G$ mit $e\circ a = a \; \forall a\in G\,$ , und zu jedem $a\in G$ gibt es genau ein inverses Element $a^{-1}$ mit $a^{-1} \circ a =e$

Beweis.

Sei $(a^{-1})^{-1}$ ein Inverses von $a^{-1}$ . Dann folgt
$\begin{aligned} a \circ a^{-1} &\underset{\text{(G2)}}{=} e \circ (a \circ a^{-1}) \underset{\text{(G3)}}{=} ((a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}) \circ (a \circ a^{-1}) \\ &\underset{\text{(G1)}}{=} (a^{-1})^{-1} \circ (a^{-1} \circ a) \circ a^{-1} \underset{\text{(G3)}}{=} (a^{-1})^{-1}{} \circ (e \circ a^{-1})\\ &\underset{\text{(G2)}}{=} (a^{-1})^{-1} \circ a^{-1}\\ &\underset{\text{(G3)}}{=} e \end{aligned}$

Hieraus folgt $\; a \circ e = a \circ (a^{-1} \circ a) = (a \circ a^{-1}) \circ a = e \circ a = a$ und damit Teil 1.
Seien $e,e' \in G$ mit $e \circ a = a = e' \circ a \; \forall a \in G$ , dann gilt
$e' \underset{\text{(G2)}}{=} e\circ e' \underset{1.}{=} e$

Ist $a^{-1}\circ a = a' \circ a = e$ , dann folgt
$a' \underset{\text{(G2)}}= e \circ a' \underset{\text{(G3)}}= (a^{-1}\circ a) \circ a' \underset{\text{(G1)}}{=} a^{-1}\circ (a \circ a') \underset{1.}= a^{-1}$

LP Georg-August-Universität Göttingen

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