Summen von Vektorräumen
(321) Summen von Teilräumen
Sind
(Indexmenge) Teilräume eines
-Vektorraumes
, so
heißt der von der Vereinigung
erzeugte Teilraum
von V die Summe der
. Wir schreiben
Sind
![U_j, j \in J](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/df6c61ba45599f59d82750f310e24a73.png)
![K](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c78a119d61119660da2fbcb96e20dca4.png)
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
![S = \bigcup_{j \in J} U_j](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/015325edb2ce9d77228846ee20c8338c.png)
![U_j](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/6cee2a72a78707a5500dcefa8af07151.png)
![\sum_{j \in J} U_j](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/d025aa010fa858ddddcf8203c6ed6638.png)
Mit Hilfe des Satzes folgt:
![\sum_{j \in J} U_j = \left\{\left. \sum_{j \in J} u_j \;\right|\; u_j \in
U_j,\, u_j \neq \vec{0} \text{ fuer nur endlich viele } j \in J \right\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/21ca066bb6f0eceaecf9cb65a077abb1.png)
Speziell: Sind
,
Teilräume von
, so ist
![U_1](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c59a0bc9549ad32c50c407b7a6f9c330.png)
![U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/30719f1095884901cdf613b38c2ea63f.png)
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
![U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 \;|\; u_1
\in U_1, u_2 \in U_2\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/92d11b29eab3bcce556344587eb1fe7d.png)
Satz.
Seien
,
Teilräume eines
-Vektorraumes
, und sei
. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
![U_1](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c59a0bc9549ad32c50c407b7a6f9c330.png)
![U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/30719f1095884901cdf613b38c2ea63f.png)
![K](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c78a119d61119660da2fbcb96e20dca4.png)
![V](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7259dd24dfbbcdc8a1155b12fa9ea984.png)
![U =
U_1 + U_2\,](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/3be6f5ec1c05bdbe2d8ccaeeb9a41feb.png)
- Ist
für
,
, dann ist
- Für jedes
ist die Darstellung
eindeutig
-
Beweis.
Seien
mit
,
zwei Darstellungen von
. Zu zeigen:
und
. Da
Sei
. Zu zeigen:
Sei
. Zu zeigen
Definition.
- Seien
,
Teilräume eines
-Vektorraumes. Dann heißt die Summe
die (innere) direkte Summe von
und
, falls eine der Bedingungen (und damit alle) aus obigem Satz erfüllt sind. Wir schreiben dann:
- Seien
,
beliebige
-Vektorräume. Wir definieren die (äußere) direkte Summe als
mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.
Beispiel.
Sei
und
und
. Dann
ist
die innere direkte Summe, da
.
Sei
und
. Dann ist
die
äußere
direkte Summe. Analog ist
eine äußere direkte Summe.
![V=\mathbb{R}^2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/7f08fb2521d8ccefa37927e82285866c.png)
![U_1 = \{0\} \times \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/dc756a02dd9cbb76e36c5b8e4743fffa.png)
![U_2 = \mathbb{R} \times \{0\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/3c85e754af9217bbcff98cbebd5edb0c.png)
![\mathbb{R}^2 = U_1 \oplus U_2](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/23bdb8b36214364a134bac2fe5cc320a.png)
![U_1 \cap U_2 =
\{\vec{0}\}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/e3ac09195deaf708e54dca341ff16554.png)
Sei
![V_1 = \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/b24db6b75d5002a64033ed448b2c8e72.png)
![V_2 = \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/4d39fa4326b988f4d2847742c9e91324.png)
![\mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/c42d80de2f64cbd54adebbcc0a54580f.png)
![\mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \oplus \cdots \oplus
\mathbb{R}}_{\text{n-Stueck}}](https://lp.uni-goettingen.de/get/math/80eac5f77166778b7f7b727169dcc131.png)