LP Georg-August-Universität Göttingen

Summen von Vektorräumen

Summen von Vektorräumen

(321) Summen von Teilräumen
 Sind U_j, j \in J (Indexmenge) Teilräume eines K-Vektorraumes V, so heißt der von der Vereinigung S = \bigcup_{j \in J} U_j erzeugte Teilraum von V die Summe der U_j. Wir schreiben
\sum_{j \in J} U_j

Mit Hilfe des Satzes folgt:
\sum_{j \in J} U_j = \left\{\left. \sum_{j \in J} u_j \;\right|\; u_j \in U_j,\, u_j \neq \vec{0} \text{ fuer nur endlich viele } j \in J \right\}

Speziell: Sind U_1, U_2 Teilräume von V, so ist
U_1 + U_2 = \{u_1 + u_2 \;|\; u_1 \in U_1, u_2 \in U_2\}

Satz. Seien U_1, U_2 Teilräume eines K-Vektorraumes V, und sei U = U_1 + U_2\,. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent:
  1. Ist u_1 + u_2 = \vec 0 für u_1 \in U_1, u_2 \in U_2, dann ist u_1 = u_2 = \vec{0}
  2. Für jedes u \in U ist die Darstellung u = u_1 + u_2 eindeutig
  3. U_1 \cap U_2 = \{\vec{0}\}
Beweis.
  • 1 \Longrightarrow 2 Seien u = u_1 + u_2 = u_1' + u_2' mit u_1, u_1' \in U_1, u_2, u_2' \in U_2 zwei Darstellungen von u. Zu zeigen: u_1 = u_1' und u_2 = u_2'. Da

    \begin{aligned} u_1 + u_2 = u_1' + u_2'\\ \Longrightarrow \underbrace{u_1 - u_1'}_{\in U_1} + \underbrace{u_2 - u_2'}_{\in U_2} =\vec{0}\\ \overset{\text{nach 1.}}{\Longrightarrow} u_1 - u_1' = \vec{0} \quad \text{ und } \quad u_2 - u_2' = \vec{0} \Longrightarrow u_1 = u_1' \quad \text{ und } \quad u_2 = u_2' \end{aligned}

  • 2 \Longrightarrow 3 Sei u\in U_1 \cap U_2. Zu zeigen: u = \vec{0} \begin{aligned} \text{Es ist} \quad u=u+\vec{0}=\vec{0} + u \quad \overset{\text{nach 2.}}{\Longrightarrow} u=\vec{0} \end{aligned}

  • 3 \Longrightarrow 1 Sei u_1 + u_2 = \vec{0}. Zu zeigen u_1 = u_2 = \vec{0}

    \begin{aligned} \text{Da} \quad u_1 + u_2 = \vec{0} \quad \Longrightarrow \quad u_1 = -u_2 \in U_2 \quad \Longrightarrow \quad u_1 \in U_1 \cap U_2 \quad \Longrightarrow \quad u_1 = \vec{0} \quad \Longrightarrow \quad u_2 = \vec{0} \end{aligned}
Definition.
  • Seien U_1, U_2 Teilräume eines K-Vektorraumes. Dann heißt die Summe U_1 + U_2 die (innere) direkte Summe von U_1 und U_2, falls eine der Bedingungen (und damit alle) aus obigem Satz erfüllt sind. Wir schreiben dann:

    U_1 \oplus U_2

  • Seien V_1, V_2 beliebige K-Vektorräume. Wir definieren die (äußere) direkte Summe als

    V_1 \oplus V_2 := \{ (v_1, v_2) \;|\; v_1 \in V_1, v_2 \in V_2\}

    mit komponentenweiser Addition und Skalarmultiplikation.
Beispiel. Sei V=\mathbb{R}^2 und U_1 = \{0\} \times \mathbb{R} und U_2 = \mathbb{R} \times \{0\}. Dann ist \mathbb{R}^2 = U_1 \oplus U_2 die innere direkte Summe, da U_1 \cap U_2 = \{\vec{0}\}.
Sei V_1 = \mathbb{R} und V_2 = \mathbb{R}. Dann ist \mathbb{R}^2 = \mathbb{R} \oplus \mathbb{R} die äußere direkte Summe. Analog ist \mathbb{R}^n = \underbrace{\mathbb{R} \oplus \cdots \oplus \mathbb{R}}_{\text{n-Stueck}} eine äußere direkte Summe.