Vektorraumtheorie
Lernziele des Kapitels:
Fertigkeiten. Rechnen mit Vektoren und elementare
Beweistechniken
Kenntnisse. Beispiele für Vektorräume, Teilräume,
Erzeugendensystem, Summe und direkte Summe von Vektorräumen
Einleitung
Wir haben schon ein Beispiel eines Vektorraumes
kennengelernt, nämlich den
-dimensionalen Raum
. Statt des
Körpers
kann man aber auch einen beliebigen Körper
zugrunde legen
und dann den
-dimensionalen Raum
analog einführen. Schließlich
abstrahiert man auch davon und führt einen beliebigen
-Vektorraum ein als
Menge, die mit einer Addition und einer Skalarmultiplikation versehen ist,
wobei gewisse Regeln erfüllt sein müssen. Ein Vektorraum besteht dann nicht
unbedingt aus
-Tupeln von Zahlen, sondern kann
z.B. aus "Funktionen" bestehen, was in Mathematik und Physik häufig
vorkommt.
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