구형 기하학

구면 기하학은 구의 2차원 표면의 기하학이다. 이런 맥락에서 "Sphere"라는 단어는 2차원 표면만을 지칭하며 "볼"이나 "솔리드 구체"와 같은 다른 용어는 3차원 내부와 함께 표면에 사용된다.

항법 및 천문학에 대한 실용적 응용을 위해 오랫동안 연구되어 온 구형 기하학은 유클리드 평면 기하학과 많은 유사점과 관계, 그리고 중요한 차이점을 가지고 있다. 구체는 대부분 주변 3차원 공간 내부에 배치되는 표면 생각인 3차원 유클리드 기하학(고체 기하학이라고도 함)의 일부로서 연구되었다. 그것은 또한 표면 자체만을 포함하는 "내성적" 방법에 의해 분석될 수 있으며, 구체 바깥이나 내부에 있는 어떤 주변 공간의 존재를 언급하거나 심지어 가정하지 않는다.

구체와 평면이 기하학적으로 다르기 때문에 (내적) 구면 기하학은 비유클리드 기하학의 일부 특징을 가지고 있으며 때로는 하나로 설명되기도 한다. 그러나 구면 기하학은 평행의 추정이 평면 기하학의 나머지 공리의 논리적인 결과인가 하는 고대 문제를 해결하기에 충분한 완전한 비유클리드 기하학으로 간주되지 않았다. 그 해결책은 대신 쌍곡 기하학에서 발견되었다.

개요

평면(유클리드) 기하학에서 기본 개념은 점 및 (직선) 선이다. 구면 기하학에서 기본 개념은 점과 원이다. 그러나 평면에 있는 두 개의 큰 원은 타원 기하학의 공동선과는 달리 두 개의 반향점들로 교차한다.

외인적 3차원 그림에서 큰 원은 구가 중심을 통과하는 어떤 평면과 교차하는 것이다. 본질적인 접근법에서, 큰 원은 지오데틱이다; 두 지점들 사이에 충분히 가깝다면 가장 짧은 경로. 또는 평면 기하학의 유클리드 공리와 유사한 (내재적) 자명적 접근법에서 "위대한 원"은 위대한 원과 또한 정의되지 않은 "점" 사이의 기본적인 관계를 규정하는 가정과 함께 간단히 정의되지 않은 용어일 뿐이다. 이것은 유클리드(유클리드)가 점·선을 정의되지 않은 원시적 개념으로 처리하고 그들의 관계를 공리화하는 방법과 같다.

여러 면에서 큰 원은 유클리드 기하학의 선과 같은 구형 기하학에서 (구형) 삼각형의 면과 같은 논리적 역할을 한다. 이것은 유추 이상의 것이다; 구면 및 평면 기하학 등은 모두 거리 측정으로부터 구축된 기하학의 우산 아래에서 통일될 수 있다. 여기서 "선"은 최단 경로(지오디컬)를 의미한다. 점의 기하학적 구조와 그러한 "선"에 대한 많은 진술은 선들이 그러한 방식으로 정의되고 이론이 더 높은 차원으로 쉽게 확장될 수 있다면 모든 기하학에서 동등하게 사실이다. 그럼에도 불구하고 그것의 응용과 교육학은 고체 기하학에 묶여 있기 때문에, 그리고 일반화는 평면에서 선의 일부 중요한 성질을 상실하기 때문에, 구면 기하학은 일반적으로 구체 자체의 어떤 것을 지칭하기 위해 "선"이라는 용어를 전혀 사용하지 않는다. 고체 지오메트리의 일부로 개발된 경우 주변 공간의 점, 직선 및 평면(유클리드적 의미)으로 사용한다.

구형 기하학에서, 각도는 큰 원 사이에 정의되어, 많은 면에서 일반적인 삼각형과 다른 구면 삼각형의 내부 각도의 합이 180도를 초과하는 구면 삼각형이 발생한다.

유사한 기하학적 구조와의 관계

구형 기하학은 타원형 기하학과 밀접한 관련이 있다.

구의 그것과 관련된 중요한 기하학은 실제 투영면의 그것이다; 그것은 구에서 반향점(반대점 pair)을 확인함으로써 얻어진다. 국소적으로 투영 평면은 구면 기하학의 모든 속성을 가지고 있지만, 지구적 특성은 다르다. 특히 방향성이 없거나 한쪽으로 치우쳐 있으며, 구와 달리 3차원 공간에서는 교차하지 않고 표면으로 그릴 수 없다.

구면 기하학의 개념은 특정 공식에 대해 사소한 수정이 구현되어야 하지만 장방형 구체에도 적용될 수 있다.

고차원 구형 기하학이 존재한다. 타원형 기하학을 참조한다.

역사

고대 그리스

우리 시대로 내려온 고대의 가장 초기의 수학적 저작은 기원전 4세기 말에 살았던 피타네의 오토리쿠스(Autolycus)의 회전구(On πεὶὶ μνμμ μέηηηηηηηηηηηη ,,,α,, Peri kinoumenes sphairas)이다.^[1]

구면 삼각법은 그리스의 천문학자 겸 수학자인 비티니아의 테오도시우스와 구의 기하학에 관한 책인 스피어닉스를 저술한 알렉산드리아의 메넬라오스 등 초기 그리스 수학자들이 연구한 것으로, ^[2]스파이에리카라 불리는 구면 삼각법에 관한 책을 저술하고 메넬라오스의 정리를 발전시켰다.^[3][4]

이슬람 세계

이슬람 수학자 알 자야니가 쓴 구의 알려지지 않은 호는 구면 삼각법에 관한 최초의 논문으로 여겨진다. 이 책에는 오른손 삼각형의 공식, 씨인의 일반법칙, 극 삼각형의 방법에 의한 구형 삼각형의 해법이 수록되어 있다.^[5]

1463년경에 쓰여진 Regiomontanus의 Triangles on Triangles는 유럽 최초의 순수 삼각관계 작품이다. 그러나 제롤라모 카르다노는 한 세기 후 구면 삼각법에 관한 자료의 상당 부분이 12세기 안달루시 학자인 자비르 이븐 아프라의 작품에서 가져왔다는 점에 주목했다.^[6]

오일러의 작품

레온하르트 오일러는 구면 기하학에 관한 중요한 회고록을 연재했다.

• L. Euler, Principes de la trigonométrie sphérique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1753), 1755, p. 233–257; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVII, p. 277–308.
• L. Euler, Eléments de la trigonométrie sphéroïdique tirés de la méthode des plus grands et des plus petits, Mémoires de l'Académie des Sciences de Berlin 9 (1754), 1755, p. 258–293; Opera Omnia, Series 1, vol. XXVII, p. 309–339.
• L. 오일러, 슈퍼피키 슈파리에리카의 드 쿠르바 직교, 노비 코멘타리 학회, 사이언티움 페트로폴리타나에 15, 1771, 페이지 195–216; 오페라 옴니아, 시리즈 1, 시리즈 1, 28권, 페이지 142–160.
• L. 오일러, 데 멘수라 앵글로룸 솔리드룸, 액타 아카데미아 사이언티어 사이언티어 2, 1781, 페이지 31–54, 오페라 옴니아, 시리즈 1, vol. XXVI, 페이지 204–223.
• L. 오일러, 푸르마티스 쿠이우스담 파피 알렉산드리니 컨스트럭션io, 액타 아카데미아레 사이언톨리움 임페리얼리스 페트로폴리티나에 4, 1783, 페이지 91–96; 오페라 옴니아, 시리즈 1, vol. XXVI, 페이지 237–242.
• L. 오일러, 기하학 등 스페이리카 퀘담, 메무아르 드 l'Academie des Sciences de Saint-Pétersbourg 5, 1815, 페이지 96–114; 오페라 옴니아, 시리즈 1, vol. XXVI, 페이지 344–358.
• L. 오일러, Trigonometria sphaerica universa, ex primis primis breviter et dilucide derivata, Acta adciariae schiarum 쁘트로폴리티나에 3, 1782, 페이지 72–86; 오페라 옴니아, 시리즈 1, 시리즈 1, 224–236.
• L. 오일러, 변종 투기는 수퍼 면적 삼각형, 노바 액타 학구적 사이언티아라움 사이언티어리얼리스 페트로폴리티나에 10, 1797, 페이지 47–62; 오페라 옴니아, 시리즈 1, 권 XXIX, 페이지 253–266이다.

특성.

구형 기하학에는 다음과 같은 특성이 있다.^[7]

• 어떤 두 개의 큰 원은 대척점이라고 불리는 두 개의 정반대의 점에서 교차한다.
• 대척점이 아닌 두 점이 독특한 원형을 결정한다.
• 각도 측정의 자연적인 단위(혁명에 근거한 단위), 길이의 자연적인 단위(큰 원의 원주에 근거한 단위), 영역의 자연적인 단위(구면적에 근거한 단위)가 있다.
• 각각의 큰 원은 그것의 극이라고 불리는 한 쌍의 반향점들과 관련이 있는데, 이것은 그것과 수직인 큰 원들의 집합의 공통적인 교차점이다. 이것은 구면에서의 거리 측정에 관하여, 원: 중심에서 특정 거리에 있는 모든 점의 위치라는 것을 보여준다.
• 각 점은 점의 극원이라 불리는 독특한 원과 연관되는데, 이 원은 구의 중심을 통과하는 평면에 있는 큰 원이며 주어진 점을 통과하는 구의 직경에 수직이다.

그들이 결정하는 원에는 대척점이 아닌 한 쌍의 점으로 결정되는 두 개의 호가 있기 때문에, 세 개의 비협착점은 고유한 삼각형을 결정하지 않는다. 그러나 옆면이 원형의 작은 호인 삼각형만 고려한다면 다음과 같은 성질을 갖게 된다.

• 삼각형의 각도 합계는 180° 이상 540° 미만이다.
• 삼각형의 면적은 180° 이상의 각도 합이 초과된 것에 비례한다.
• 각도 합이 같은 두 삼각형은 면적이 같다.
• 삼각형 영역에는 상한이 있다.
• 두 개의 반사(대순환)의 구성(제품)은 축의 교차점 중 하나에 대한 회전으로 간주할 수 있다.
• 두 개의 삼각형은 그러한 반사의 유한한 산물에 해당하는 경우에만 합치된다.
• 해당 각도가 같은 두 삼각형은 합치(즉, 모든 유사한 삼각형은 합치)이다.

유클리드 기판과의 관계

"선"이 큰 원을 의미하는 것으로 받아들여진다면, 구형 기하학은 유클리드 공법 중 두 번째 공법("직선으로 연속적으로 유한 직선을 생산하기 위해")과 네 번째 공법("모든 직각이 서로 동일")에 따른다. 그러나 그것은 다른 세 가지를 위반한다: 첫 번째 추정과는 반대로, 두 지점 사이에 고유한 최단 경로가 없다(구형 지구상의 북극과 남극과 같은 반동 지점은 백열이다). 세 번째 추정과는 반대로 구에는 임의로 큰 반경의 원이 포함되어 있지 않다. 다섯 번째 추정과는 반대다.평행) 주어진 선을 절대 교차시키지 않는 선을 그릴 수 있는 점이 없다.^[8]

평행추정에 해당하는 문장은 각도가 최대 180°에 이르는 삼각형이 존재한다는 것이다. 구면 기하학이 평행한 체형을 위반하기 때문에 구면 표면에는 그러한 삼각형이 존재하지 않는다. 구체에 있는 삼각형의 각도의 합은 180°(1 + 4f)이며, 여기서 f는 삼각형으로 둘러싸인 구면 표면의 분수다. f의 모든 양의 값은 180°를 초과한다.

참고 항목

• 구면 천문학
• 구면 원뿔
• 구면 거리
• 구면 다면체
• 반쪽 공식
• 레나르트 구
• 베르소르

메모들

참조

• Meserve, Bruce E. (1983) [1959], Fundamental Concepts of Geometry, Dover, ISBN 0-486-63415-9
• Papadopoulos, Athanase (2015), Euler, la géométrie sphérique et le calcul des variations. In: Leonhard Euler : Mathématicien, physicien et théoricien de la musique (dir. X. Hascher et A. Papadopoulos), CNRS Editions, Paris, ISBN 978-2-271-08331-9
• Van Brummelen, Glen (2013). Heavenly Mathematics: The Forgotten Art of Spherical Trigonometry. Princeton University Press. ISBN 9780691148922. Retrieved 31 December 2014.
• 로슈디 라쉬와 아타나세 파파도풀로스(2017) 메넬라오스 스피릭스: 얼리번역과 알마하니/알하라위 버전 아랍어 원고에 실린 메넬라오스의 슈페릭스에 대한 비판판, 역사 및 수학 논설위원 드 그뤼터 시리즈: 사이언티니아 그라코 아라비카 21 ISBN 978-3-11-057142-4

외부 링크

• 구의 기하학 라이스 대학교
• Weisstein, Eric W. "Spherical Geometry". MathWorld.
• 탐색 스프레드시트: 탐색 삼각형
• Sphaerica - 구체에 시공하기 위한 지오메트리 소프트웨어