지표면(토폴로지)

x-, y- 및 z- 콘텐트가 표시된 열린 표면.

위상이라 불리는 수학 부분에서 표면은 2차원 다지관이다. 어떤 표면은 3차원 고형물의 경계로 발생하는데, 예를 들어 구체는 고형공의 경계다. 다른 표면은 두 변수의 함수 그래프로 나타난다. 오른쪽 그림을 참조하십시오. 그러나 표면은 주변 공간과 관계없이 추상적으로 정의할 수도 있다. 예를 들어 클라인 병은 3차원 유클리드 공간에 삽입할 수 없는 표면이다.

위상학적 표면에는 리만 메트릭스나 복잡한 구조와 같은 추가 정보가 장착되어 있어 이를 미분 기하학이나 복잡한 분석과 같은 수학 내 다른 분야와 연결하기도 한다. 표면의 다양한 수학적 개념은 물리 세계의 표면을 모형화하는 데 사용될 수 있다.

일반적으로

수학에서 표면은 기형면과 닮은 기하학적 형상이다. 가장 친숙한 예는 구와 같은 일반적인 3차원 유클리드 공간³ R에서 고체 물체의 경계로 발생한다. 표면의 정확한 정의는 상황에 따라 달라질 수 있다. 일반적으로 대수 기하학에서는 표면이 스스로 교차할 수 있고(다른 특이점이 있을 수 있음) 위상과 미분 기하학에서는 그렇지 않을 수 있다.

표면은 2차원 공간이다; 이것은 표면의 이동 지점이 두 방향으로 움직일 수 있다는 것을 의미한다(그것은 자유도가 2도 있다). 즉, 거의 모든 점 주위에 2차원 좌표계가 정의되어 있는 좌표 패치가 있다. 예를 들어, 지구의 표면은 (이상적으로) 2차원 구체와 닮아 있고, 그 위에 위도와 경도가 2차원 좌표(극과 180도 자오선을 따라)를 제공한다.

표면의 개념은 물리학, 공학, 컴퓨터 그래픽, 그리고 많은 다른 분야들에서 널리 사용되며, 주로 물리적 물체의 표면을 표현하는데 사용된다. 예를 들어, 비행기의 공기역학적 특성을 분석할 때, 중심 고려사항은 비행기의 표면을 따라 흐르는 공기의 흐름이다.

정의 및 첫 번째 예제

(위상학) 표면은 모든 지점이 유클리드 평면 E의² 일부 개방된 부분 집합에 대해 개방된 인접 동형체를 갖는 위상학적 공간이다. 그러한 이웃은 상응하는 동형주의와 함께 (조정)차트라고 알려져 있다. 동네가 유클리드 평면의 표준 좌표를 계승하는 것은 이 도표를 통해서다. 이 좌표들은 국부 좌표라고 알려져 있고 이러한 동형체들은 우리가 표면이 국부적인 유클리드라고 설명하도록 이끈다.

그 주제에 관한 대부분의 글에서는 표면이 위상학적 공간으로서도 비어 있지 않고, 두 번째로 셀 수 있으며, 하우스도르프라고 가정하는 경우가 많다. 또한 고려 중인 표면이 연결되어 있다고 가정하는 경우가 많다.

이 글의 나머지 부분은, 달리 명시되지 않는 한, 표면이 비어 있지 않고, 하우스도르프(Hausdorff)가 제2 카운트 가능하며, 연결되어 있다고 가정할 것이다.

보다 일반적으로 경계가 있는 (위상학) 표면은 모든 지점이 C에서 상부 반평면 H² 폐쇄의 일부 개방된 부분 집합에 대해 개방된 인접 동형성을 갖는 하우스도르프 위상학 공간이다. 이러한 동형체들은 또한 (좌표형) 차트로 알려져 있다. 상부 하프 평면의 경계는 x축이다. 차트를 통해 x축에 매핑된 표면의 점을 경계점이라고 한다. 그러한 점들의 집합은 표면의 경계라고 알려져 있는데, 이 경계는 반드시 1 매니폴드(manifold)이며, 즉 닫힌 곡선의 결합이다. 반면 x축 위에 매핑된 점은 내부 포인트다. 내부 지점의 집합은 항상 비어 있지 않은 표면의 내부다. 닫힌 디스크는 경계가 있는 표면의 간단한 예다. 원반의 경계는 원이다.

조건 없이 사용하는 표면이라는 용어는 경계가 없는 표면을 말한다. 특히 경계가 빈 표면은 통상적인 의미에서 표면이다. 경계가 비어 콤팩트한 표면을 '닫힌' 표면이라고 한다. 2차원 구체, 2차원 토러스, 실제 투영면은 닫힌 표면의 예다.

뫼비우스 띠는 시계 방향과 시계 반대 방향의 구분이 국소적으로 정의될 수 있는 표면이지만, 세계적으로 정의될 수는 없다. 일반적으로 표면은 뫼비우스 띠의 동형 카피를 포함하지 않으면 방향을 잡을 수 있다고 하며, 직관적으로 두 개의 뚜렷한 "사이드"를 가지고 있다. 예를 들어 구체와 토러스(torus)는 방향을 잡을 수 있는 반면, 실제 투사 평면은 (1점이 제거된 실제 투사 평면은 열린 뫼비우스 스트립에 대해 동형이기 때문에)가 아니다.

미분 기하학 및 대수 기하학에서는 표면 위상에 추가 구조물이 추가된다. 이 추가된 구조는 평활성 구조(표면으로의 서로 다른 지도를 정의할 수 있게 하는 것), 리만 메트릭스(표면에 길이와 각도를 정의할 수 있게 하는 것), 복잡한 구조(표면에 대한 홀로모르픽 지도를 정의할 수 있게 하는 것)가 될 수 있으며, 이 경우 표면을 리만이라고 한다.표면), 또는 대수 구조(자기 절절이나 쿠스프 같은 특이점을 검출할 수 있도록 하는 것, 그 특이점은 기초 위상에 의해서만 설명할 수 없다.

외관적으로 정의된 표면 및 임베딩

구체는 파라메트릭(x = r sin cos cos φ, y = r sin ,, z = r cos by) 또는 암묵적으로(x² + y² + z + r² = 0²) 정의할 수 있다.

역사적으로 표면은 처음에 유클리드 공간의 하위공간으로 정의되었다. 종종 이러한 표면은 특정 기능, 대개 다항식 함수의 0의 위치였다. 그러한 정의는 표면을 더 큰 (유클리드) 공간의 일부로 간주하였고, 이와 같이 외향적이라 칭하였다.

앞의 절에서 표면은 특정 성질을 가진 위상학적 공간, 즉 하우스도르프와 국부적 유클리드 공간으로 정의된다. 이 위상학적 공간은 다른 공간의 하위 공간으로 간주되지 않는다. 이런 의미에서 현재 수학자들이 사용하는 정의인 위에 주어진 정의는 본질적인 것이다.

유클리드 공간의 하위 공간이라는 추가적인 제약조건을 충족시키기 위해 내재로 정의된 표면이 필요하지 않다. 본질적으로 정의된 일부 표면이 외적 의미의 표면이 아닌 것이 가능할 수 있다. 그러나 휘트니 임베딩 정리는 사실상 모든 표면이 유클리드 공간에 동형적으로 내장될 수 있다고 주장하고 있으며, 실제로 E⁴: 외인적, 내인적 접근법은 동등한 것으로 판명된다.

실제로 방향성이 있거나 경계가 있는 모든 소형 표면은 E에³ 내장할 수 있다. 반면에, 소형이고 방향성이 없으며 경계가 없는 실제 투영면은 E에³ 내장할 수 없다(그라메인 참조). 보이의 표면, 로마 표면, 크로스 캡을 포함한 슈타이너 표면은 E의³ 실제 투사면의 모델이지만 보이 표면만이 몰입된 표면이다. 이 모든 모델들은 서로 교차하는 지점에서 단수적이다.

알렉산더 호른 구(Alexander horned sepace)는 두 개의 vSphere를 세 개의 vSphere에 삽입하는 것으로 잘 알려진 병리학이다.

매듭을 지은 토러스.

선택한 표면이 다른 공간에 내장되는 것은 외부 정보로 간주된다. 표면 자체에 필수적인 것은 아니다. 예를 들어, 토러스(torus)는 "표준" 방식(베이글처럼 생겼음)이나 매듭을 지어 E에³ 내장될 수 있다(그림 참조). 내장된 두 개의 토리는 동위원소가 아닌 동위원소형이다. 그것들은 토폴로지로 동일하지만, 임베딩은 그렇지 않다.

R에서² 고차원 R에ⁿ 이르는 연속적인 주입 함수의 이미지는 파라메트릭 표면이라고 한다. 이러한 이미지는² 도메인 R의 x 방향과 y 방향은 이미지를 파라메트리하는 2개의 변수이기 때문에 소위 말하는 것이다. 파라메트릭 표면은 위상학적 표면이 될 필요는 없다. 혁명의 표면은 특별한 종류의 파라메트릭 표면으로 볼 수 있다.

만약 f가 경사가 0이 아닌 R에서³ R까지 매끄러운 함수라면, f의 0의 중심은 암묵적인 표면으로 알려진 표면을 정의한다. 비파니싱 그라데이션 조건을 떨어뜨리면 제로 로쿠스가 특이치를 발생시킬 수 있다.

다각형 구조

각각의 닫힌 표면은 가장자리의 쌍별 식별에 의해 표면의 기본 다각형이라고 불리는 일정한 수의 면이 있는 방향 폴리곤으로 구성될 수 있다. 예를 들어 아래 각 다각형에서는 화살표가 같은 방향을 가리키도록 일치하는 라벨(A가 있는 경우, B가 있는 경우)을 사용하여 측면을 부착하여 표시된 표면을 산출한다.

기본적인 다각형은 다음과 같이 상징적으로 쓸 수 있다. 모든 꼭지점에서 시작하여 시작 꼭지점으로 돌아갈 때까지 폴리곤 둘레를 한 방향으로 이동하십시오. 이 통과 중에 각 가장자리의 레이블을 -1의 지수를 사용하여 각 가장자리의 레이블을 통과 방향과 반대쪽을 가리킬 경우 -1의 지수를 사용하여 기록하십시오. 위의 네 가지 모델은 좌측 상단에서 시작하여 시계 방향으로 주행할 때 수율

구체: $ABB^{-1}A^{-1}$ $ABB^{-1}A^{-1}$ $ABB^{-1}A^{-1}$ - $ABB^{-1}A^{-1}$ $ABB^{-1}A^{-1}$ - $ABB^{-1}A^{-1}$ ${\$ 11}A^{- $1}$
실제 투영 평면: ${\displaystyle AB$ $AB}$
torus: $ABA^{-1}B^{-1}$ $ABA^{-1}B^{-1}$ - $ABA^{-1}B^{-1}$ - $ABA^{-1}B^{-1}$ {\ $displaystyle ABA^{-1}B^{-$ 11}B^{-1 $}$
클라인 병: $ABAB^{-1}$ $ABAB^{-1}$ $ABAB^{-1}$ $ABAB^{-1}$ - $ABAB^{-1}$ ${\$

구체와 투영면 모두 2곤의 인수로 실현될 수 있는 반면, 토러스 및 클라인 병은 4곤(제곱)이 필요하다.

따라서 표면의 기본 폴리곤에서 파생된 표현은 폴리곤 가장자리 레이블을 생성자로 사용하여 표면의 기본 그룹을 표시하는 데 있어 유일한 관계가 되는 것으로 밝혀졌다. 이것은 세이퍼트-반 캄펜 정리의 결과물이다.

폴리곤의 가장자리 접착은 특별한 종류의 우주 공정이다. 지수 개념은 표면의 새로운 또는 대체 구조를 생성하기 위해 더 일반적인 개념으로 적용될 수 있다. 예를 들어 실제 투영면은 구면의 모든 반대점 쌍을 식별하여 구면의 몫으로 얻을 수 있다. 지수의 또 다른 예는 연결된 합이다.

연결합계

M # N으로 표시된 두 표면 M과 N의 연결된 합은 각 표면에서 디스크를 제거하고 그 결과 발생하는 경계 구성요소를 따라 접착함으로써 얻는다. 디스크의 경계는 원이기 때문에 이 경계 요소들은 원이다. M # N의 $\chi$ 오일러 특성 $\chi$ $\chi$ 은 합계 오일러 특성의 합으로, 2를 뺀 값이다.

\chi(M{\mathbin {\#}N)=\chi(M)+\chi-2.\,

구 S는 연결된 합에 대한 ID 요소로서, S # M = M이라는 뜻이다. 구체에서 디스크를 삭제하면 디스크가 남는데, 접착 시 M에서 삭제된 디스크를 교체하기만 하면 되기 때문이다.

Torus T와의 연결 합계는 다른 Summand M에 "핸들"을 부착하는 것으로도 설명된다. M이 방향성을 가질 수 있다면 T # M도 방향성을 가질 수 있다. 연결된 합은 연관성이 있으므로 표면의 유한 집합의 연결된 합이 잘 정의되어 있다.

실제 투영면 두 개, P # P의 연결된 합은 클라인 병 K이다. 실제 투사면과 클라인 병의 연결된 합은 토러스와의 실제 투사면의 연결된 합에 대해 동형이다. 공식으로 P # K = P # T. 따라서 실제 3개의 투영 평면의 연결 합계는 토러스와의 실제 투영 평면의 연결 합계에 대해 동형이다. 실제 투영 평면에 관련된 모든 연결된 합은 방향성이 없다.

닫힌 표면

닫힌 표면은 좁고 경계가 없는 표면을 말한다. 예로는 구, 토러스, 클라인 병과 같은 공간이 있다. 닫히지 않은 표면의 예로는 구멍이 뚫린 구체인 열린 원반, 구멍이 두 개인 구체인 실린더, 뫼비우스 스트립 등이 있다. 닫힌 다지관과 마찬가지로 상속된 유클리드 위상에 관해서 닫힌 유클리드 공간에 내장된 표면이 반드시 닫힌 표면은 아니다. 예를 들어, 경계를 포함하는 $\mathbb {R} ^{3}$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\$ 에 내장된 디스크는 토폴로지적으로 닫힌 표면이지만 닫힌 표면은 아니다.

닫힌 표면의 분류

방향 지정 가능한 닫힌 표면(왼쪽)과 경계가 있는 표면(오른쪽)의 몇 가지 예. Left: 일부 방향성 있는 닫힌 표면은 구의 표면, 토러스 표면, 입방체의 표면이다. (입방체와 구는 위상학적으로 서로 동등하다.) 오른쪽: 경계가 있는 일부 표면은 원반면, 사각면, 반구면이다. 경계선은 빨간색으로 표시되어 있다. 이 세 가지 모두 위상학적으로 서로 동등하다.

닫힌 표면의 분류 정리는 연결된 닫힌 표면이 이 세 개 패밀리 중 한 패밀리의 일부 구성원에 대해 동형체라고 명시한다.

구체,
g ≥ 1에 대한 g tori의 연결된 합,
k ≥ 1에 대한 실제 투영 평면의 연결된 합

처음 두 집단의 표면은 방향을 잡을 수 있다. 구를 0토리의 연결된 합으로 간주하여 두 가문을 결합하는 것이 편리하다. 관련된 토리의 수 g는 표면의 속이라고 불린다. 구체와 토러스에는 각각 오일러 특성이 2와 0이며, 일반적으로 g토리의 연결된 합계의 오일러 특성은 2 - 2g이다.

세 번째 패밀리의 표면은 방향성이 없다. 실제 투사면의 오일러 특성은 1이며, 일반적으로 이들 중 연결된 k의 합계의 오일러 특성은 2 - k이다.

그것은 닫힌 표면이 오일러 특성과 방향성 여부라는 두 가지 정보에 의해 동형성에 이르기까지 결정된다는 것을 따른다. 즉 오일러 특성과 방향성은 닫힌 표면을 동형상까지 완전히 분류한다.

여러 개의 연결된 구성요소가 있는 닫힌 표면은 각각의 연결된 구성요소의 등급에 따라 분류되므로 일반적으로 표면이 연결되어 있다고 가정한다.

모노이드 구조

이 분류와 연결된 합계에 관계하여, 동형성에 이르는 닫힌 표면은 실제로 고정된 치수의 다지관과 마찬가지로 연결된 합의 작동 하에서 서로 다른 단면체를 형성한다. 정체는 구체인 반면, 실제 투영면과 토러스에서는 이 모노이드(단일 관계 P # P # P # P = P = P # P = P # T)가 생성되는데, K = P = P이므로 P # K = P = P = P = P = P = P = P = P로 표기될 수도 있다. 이러한 관계는 (Dyck 1888)에서 그것을 증명했던 발터 폰 다이크의 뒤를 이어 다이크의 정리라고도 하며, 트리플 크로스 표면 P # P # P # P를 따라서 다이크의 표면이라고 한다.^[1]

기하학적으로 토러스(# T)가 있는 커넥트섬은 표면의 같은 면에 양 끝을 부착한 손잡이를 추가하고, 클라인 병(# K)이 있는 커넥트섬은 방향성 표면의 반대쪽에 부착된 양 끝을 가진 손잡이를 추가하며, 투영면(# P)이 있는 경우 표면은 방향성이 없다(측면에 대한 개념이 없음), 그래서 토러스(torus)를 붙이는 것과 클라인 병을 붙이는 것 사이에는 아무런 차이가 없는데, 이것이 관계를 설명한다.

증명

닫힌 표면의 분류는 1860년대부터 알려져 왔고,^[1] 오늘날에는 많은 증거가 존재한다.

위상학 및 결합론적 증거는 일반적으로 모든 소형 2-매니폴드가 단순 복합체에 동형체라는 어려운 결과에 의존하는데, 이는 그 자체로 관심의 대상이다. 분류의 가장 일반적인 증거는 (Seifert & Threlfall 1934) harv error: no target: CITREFSeifert이다.트렐팔1934(도움말)^[1]는 삼각형 모양의 표면을 모두 표준 형태로 만든다. 표준 형식을 피하는 단순화된 증거는 1992년 존 H. 콘웨이 circa에 의해 발견되었는데, 그는 이것을 "무반복성 증명" 또는 "ZIP 증명"이라고 불렀고 (Francis & Weeks 1999)에 제시되어 있다.

더 강한 기하학적 결과를 산출하는 기하학적 증거가 획일화 정리다. 이것은 원래 1880년대와 1900년대에 Felix Klein, Paul Koebe, Henri Poincaré에 의해 리만 표면에서만 증명되었다.

경계가 있는 표면

경계가 있을 수 있는 컴팩트한 표면은 홀 수가 한정된 폐쇄된 표면일 뿐이다(개방형 디스크는 제거되었다. 따라서 연결된 콤팩트한 표면은 경계 성분의 수 및 해당 닫힌 표면의 속(균등하게 경계성분의 수, 방향성 및 오일러 특성)에 따라 분류된다. 콤팩트한 표면의 속은 해당 닫힌 표면의 속성으로 정의된다.^{[citation needed]}

이 분류는 닫힌 표면의 분류에서 거의 즉시 따르며, 닫힌 표면에서 열린 디스크를 제거하면 경계 구성요소를 위한 원이 있는 콤팩트한 표면이 나오고, k 오픈 디스크를 제거하면 경계 구성요소를 위한 k 분리 원과 콤팩트한 표면이 나온다. 이 구멍의 정확한 위치는 관계없다. 왜냐하면 동형상 집단은 적어도 2개의 치수의 연결된 다지관에서 k-변환적으로 작용하기 때문이다.

반대로, 콤팩트 표면의 경계는 닫힌 1-manifold이며, 따라서 유한한 수의 원의 분리 결합이다; 이들 원을 디스크로 채우는 것(공식적으로 원뿔을 취함)은 닫힌 표면을 산출한다.

g 속과 k 경계 구성요소를 포함한 고유한 콤팩트한 방향성 표면은 예를 들어 $\Sigma _{g,k},$ 매핑 클래스 그룹의 $\Sigma _{g,k},$ 에서 $\Sigma _{g,k},$ $\Sigma _{g,k},$ , k , ${\displaystyle \Sigma _{g,$ k}로 표시되는 경우가 많다.

비압축면

비 컴팩트 표면은 분류하기가 더 어렵다. 간단한 예로서, 비복합 표면은 닫힌 다지관으로부터 유한한 점 집합을 제거함으로써 얻을 수 있다. 반면에, 콤팩트한 표면의 열린 부분집합은 그 자체로 비 컴팩트한 표면이다. 예를 들어, 칸토르 트리 표면으로 알려진 구체에 설정된 칸토어의 보완을 고려한다. 그러나, 모든 비 컴팩트 표면이 콤팩트한 표면의 부분집합인 것은 아니다; 두 개의 표준적인 counterexample은 제이콥의 사다리와 무한의 속들을 가진 비 컴팩트 표면인 Loch Ness 괴물이다.

비 컴팩트 표면 M은 끝이 비어 있지 않은 E(M) 공간을 가지고 있는데, 비공식적으로 이 표면은 표면이 "무한으로 나가는" 방법을 설명한다. 공간 E(M)는 항상 위상학적으로 캔터 세트의 닫힌 하위 공간과 동일하다. M은 유한하거나 카운트할 수 있는 무한 수 N의_h 핸들뿐만 아니라 유한하거나 카운트할 수 있는 무한 수 N의_p 투영 평면을 가질 수 있다. N과_h N이_p 모두 유한할 경우 이 두 숫자와 끝 공간의 위상학적 유형이 위상학적 동등성까지 표면 M을 분류한다. N과_h N_p 중 하나 또는 둘 다 무한하다면, M의 위상학적 유형은 이 두 숫자뿐만 아니라 무한대가 어떻게 끝의 공간에 접근하는가에 달려 있다. 일반적으로 위상학적 M의 유형은 무한히 많은 손잡이와 무한히 많은 투영 평면의 한계점인 E(M)의 네 개의 하위공간, 오직 손잡이의 한계점 및 둘 중 어느 것도 한계점에 의해서 결정된다.^[2]

두 번째 카운트 가능성의 가정

표면의 정의에서 2차 계수가능성의 가정을 제거한다면, 위상에 대한 계수 가능한 기초가 없는 (필요하게 비교가 되지 않는) 위상학적 표면이 존재한다. 아마도 가장 간단한 예는 실제 숫자의 공간이 있는 긴 선의 데카르트 제품일 것이다.

위상에 대한 계수 가능한 기초는 없지만, 그 존재를 증명할 수 있는 Axiom of Choice가 요구하지 않는 또 다른 표면은 Prufer 다지관인데, Prufer 다지관은 그것을 실제 분석적 표면으로 보여주는 단순한 방정식으로 설명할 수 있다. Prufer 다지관은 각각의 실제 x에 대해 지점 바로 아래(x,0)에 매달린 하나의 추가 "통" T와_x 함께 상부 하프 면으로 생각할 수 있다.

1925년에 티보르 라도는 모든 리만 표면(즉, 1차원 복합 다지관)이 반드시 2차 카운트 가능(Rado의 정리)임을 증명했다. 이와는 대조적으로 Prufer 표면의 구성에서 실수를 복잡한 숫자로 대체하면, 계산 가능한 기초가 없는 2차원 복합 다지관(필수적으로 4차원 실제 다지관)을 얻는다.

지오메트리의 지표면

입방체의 경계와 같은 다면체는 기하학에서 처음 접하는 표면들 중 하나이다. 또한 매끄러운 표면을 정의할 수도 있는데, 각 점은 E에² 있는 어떤 열린 세트에 대한 근린 차이점을 가지고 있다. 이러한 정교함은 많은 결과를 증명하기 위해 미적분을 표면에 적용할 수 있게 한다.

두 개의 부드러운 표면은 동형인 경우에만 차이점형이다. (유사한 결과는 고차원 다지관에 대해 유지되지 않는다.) 따라서 닫힌 표면은 오일러 특성과 방향성에 의해 차이점형까지 분류된다.

리만 지표가 장착된 매끄러운 표면은 미분 기하학에서 기초적으로 중요하다. 리만 미터법은 지오데틱, 거리, 각도 및 면적에 대한 개념으로 표면에 내포한다. 또한 각 지점에서 표면이 얼마나 구부러지거나 구부러졌는지 설명하는 가우스 곡면성을 발생시킨다. 곡면성은 표면의 일반적인 차이점 형태에 의해 보존되지 않는다는 점에서 경직되고 기하학적인 특성이다. 그러나 닫힌 표면의 유명한 가우스-보넷 정리는 전체 표면 S에 대한 가우스 곡률 K의 적분은 오일러 특성에 의해 결정된다고 명시한다.

\int _{S}K\;dA=2\pi \chi(S).

이 결과는 표면의 기하학과 위상 사이의 깊은 관계를 예시한다.

기하학에서 표면이 발생하는 또 다른 방법은 복잡한 영역으로 들어가는 것이다. 복잡한 1매니폴드는 부드러운 방향의 표면으로 리만 표면이라고도 한다. 복잡한 다지관으로 보이는 모든 복잡한 비응축 대수 곡선은 리만 표면이다. 사실, 모든 소형 방향 표면은 리만 표면으로 실현 가능하다. 따라서 콤팩트한 리만 표면은 토폴로지적으로 0, 1, 2, ...의 속성으로 특징지어진다. 반면에 속은 복잡한 구조를 특징짓지 않는다. 예를 들어, 제1속(타원곡선)의 비이형성 콤팩트 리만 표면은 헤아릴 수 없이 많다.

폐쇄 지향 표면의 복잡한 구조는 표면상의 리만 메트릭스의 일치 동등성 등급에 해당한다. (푸앵카레로 인한) 균일화 정리 중 한 버전은 지향적이고 폐쇄적인 표면의 모든 리만 메트릭은 본질적으로 일정한 곡률의 고유한 메트릭과 일치한다고 명시한다. 이것은 위상학적 표면보다 오일러 특성만으로 더 미세한 리만 표면 분류를 제공하는 테이크뮐러 이론에 대한 접근법 중 하나의 출발점을 제공한다.

복잡한 표면은 복잡한 2매니폴드(two manifold)이며 따라서 실제 4매니폴드(four manifold)이다. 이 글의 의미로는 표면이 아니다. 복잡한 숫자 이외의 필드에는 대수 곡선이 정의되지 않으며, 실제 숫자 이외의 필드에는 대수 표면이 정의되지 않는다.

참고 항목

경계(토폴로지)
볼륨ⁿ 폼, E의 표면 볼륨용
리만 표면의 메트릭 속성에 대한 푸앵카레 메트릭
로마표면
소년표면
테트라헤미헥사헤드론
구겨진 표면, 서로 다른 표면을 변형(크러플링)하여 얻은 구별할 수 없는 표면

메모들

^ Jump up to: ^a ^b ^c (Francis & Weeks 1999)
^ Richards, Ian (1963). "On the classification of noncompact surfaces". Trans. Amer. Math. Soc. 106: 259–269. doi:10.2307/1993768.

참조

Dyck, Walther (1888), "Beiträge zur Analysis situs I", Math. Ann., 32: 459–512, doi:10.1007/bf01443580

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기타 교정쇄

부착된 손잡이의 슬라이딩을 사용한 Morse 이론적 증거와Lawson, Terry (2003), Topology: a geometric approach, Oxford University Press, ISBN 0-19-851597-9 유사함
Francis, George K.; Weeks, Jeffrey R. (May 1999), "Conway's ZIP Proof" (PDF), American Mathematical Monthly, 106 (5): 393, doi:10.2307/2589143, JSTOR 2589143, archived from the original (PDF) on 2010-06-12, page discussing the paper: On Conway's ZIP ProofCS1 maint: 포스트스크립트(링크)
Thomassen, Carsten (1992), "The Jordan-Schönflies theorem and the classification of surfaces", Amer. Math. Monthly, 99 (2): 116–13, doi:10.2307/2324180, JSTOR 2324180, 스패닝 그래프를 사용한 간단한 기초 교정
에는 Thomassen의 증거에 대한 짧은 설명이 포함되어 있다Prasolov, V.V. (2006), Elements of combinatorial and differential topology, Graduate Studies in Mathematics, 74, American Mathematical Society, ISBN 0821838091.

외부 링크

Mathifold 프로젝트의 압축면 분류
앤드류 라니키 홈페이지의 표면 분류와 조던 곡선 정리
실시간 회전 보기를 위한 60 - 서페이스 및 Java 애플릿이 있는 Math Surface 갤러리
산술 표면 애니메이션, 수십 개의 표면 회전 보기를 위한 자바스크립트(Canvas HTML) 포함
Z에 의한 표면 강의 노트 분류.피도로비치
표면의 역사와 예술과 그 수학적 모델
다지관 아틀라스의 2-매니폴드

[fw-1] Jump up to: ^a ^b ^c (Francis & Weeks 1999)

[2] Richards, Ian (1963). "On the classification of noncompact surfaces". Trans. Amer. Math. Soc. 106: 259–269. doi:10.2307/1993768.

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