테오도로스의 나선

기하학에서 테오도로스의 나선형(사각근 나선형, 아인슈타인 나선형 또는 피타고라스 나선형이라고도 함)^[1]은 가장자리에서 가장자리로 배치된 직삼각형으로 구성된 나선형이다. 키레네의 테오도로스의 이름을 따서 지은 것이다.

건설

나선은 직각 삼각형으로 시작되며, 각 다리의 단위는 단위 길이다. 또 다른 직각 삼각형이 형성되는데, 한쪽 다리는 이전 삼각형의 하이포텐유(길이 22)이고 다른 한쪽 다리는 1이다. 이 두 번째 삼각형의 하이포텐유 길이는 length3이다. 그런 다음 프로세스가 반복된다. 시퀀스의 n번째 삼각형은 옆 길이 lengthsn과 1을 가진 직각 삼각형이며, 하이포텐use √n + 1을 사용한다. 예를 들어, 16번째 삼각형은 4(=16), 1(=16), 17(17)의 하이포텐유(hypotenuse)의 면이다.

역사와 사용

비록 테오도로스의 작품은 모두 소실되었지만, 플라톤은 테오도로스를 그의 대화에 투입시켰는데, 그것은 그의 작품을 말해준다. 테오도로스는 3~17까지의 비제곱 정수의 제곱근 모두가 테오도로스의 나선형(Spiral of Teodorus)을 통해 비이성적이라는 것을 증명했을 것으로 추측된다.^[2]

플라톤은 2의 제곱근의 비합리성을 테오도로스에게 귀속시키지 않는데, 그것은 그 이전에 잘 알려져 있었기 때문이다. 테오도로스와 테에토스는 이성적인 숫자와 비합리적인 숫자를 다른 범주로 나누었다.^[3]

하이포테누스

각 삼각형의 하이포테누스 h는_n h = √2로 해당₁ 자연수의 제곱근을 제공한다.

테오도로스의 지도를 받은 플라톤은 테오도로스가 왜 17번지에서 멈췄는지 의문을 제기했다. 그 이유는 일반적으로 √17 하이포텐use가 그 수치와 겹치지 않는 마지막 삼각형에 속하기 때문이라고 생각된다.^[4]

겹치기

1958년 에리히 테우펠은 나선형의 지속 정도에 관계없이 두 개의 하이포테누스가 결코 일치하지 않을 것이라는 것을 증명했다. 또한 단위 길이의 옆면이 선으로 확장되면 전체 그림의 다른 정점을 통과하지 못한다.^[4][5]

확장

테오도로스는 17 spiral을 하이포텐션으로 삼각형에서 나선형을 멈추었다. 나선형이 무한히 많은 삼각형까지 계속된다면, 더 많은 흥미로운 특징들이 발견된다.

성장률

각

φ이_n n번째 삼각형(또는 나선형 세그먼트)의 각도인 경우:

${\displaystyle \tan \left(\varphi _{n}\right)={\frac {1}{\sqrt{n}}}.}$

따라서 다음 삼각형 n의 각도 φ의_n 성장은 다음과 같다.^[1]

${\displaystyle \varphi _{n}=\arctan \left({\frac {1}{\sqrt{n}}\오른쪽).}$

첫 번째 k 삼각형의 각도를 합한 것을 k번째 삼각형의 총 각도 φ(k)라고 한다. k의 제곱근에 비례하여 성장하며, 한계 보정 용어 c₂:^[1]

${\displaystyle \varphi \left(k\오른쪽)=\sum _{n=1}^{k}\varphi _{n}=2}\sqrt{k}+c_{2}(k)}$

어디에

${\displaystyle \lim _{k\to \inflt }c_{2}(k)=-2.157782996659\ldots }$

(OEIS: A105459)

반지름

특정 삼각형 n에서 나선형의 반지름의 성장은

${\displaystyle \Delta r={\sqrt{n+1}-{\sqrt {n}.}$

아르키메데스 나선형

테오도로스의 나선은 아르키메데스 나선형에 가깝다.^[1] 아르키메데스 나선형의 두 권선 사이의 거리가 수학적으로 일정한 파이와 같듯이, 테오도로스의 나선형의 회전수가 무한에 가까워지면서 두 권의 연속 권선 사이의 거리는 빠르게 approaches에 접근한다.^[6]

다음은 파이 쪽으로 다가오는 나선형의 두 권의 권선을 보여주는 표다.

권선 번호:	계산된 평균 권선 거리	평균 권선거리의 정확도 비교 π
2	3.1592037	99.44255%
3	3.1443455	99.91245%
4	3.14428	99.91453%
5	3.142395	99.97447%
→ ∞	→ π	→ 100%

그림과 같이 다섯 번째 권선만 지나면 거리는 π에 대한 99.97%의 정확한 근사치가 된다.^[1]

연속 곡선

테오도로스의 나선형의 이산점을 어떻게 매끄러운 곡선에 의해 보간할 것인가 하는 문제는 (Davis 2001, 페이지 37–38)에서 제안되어, 요인함수의 보간물로 감마함수에 대한 오일러의 공식과 유추하여 답변하였다. 데이비스가 함수를 찾았어

${\displaystyle T(x)=\prod _{k=1}^{\inflat }{1+i/{\sqrt{k}}{1+i/{\sqrt{x+k}}}\qquad (-1<x<\inflt )}$

그것은 그의 학생 지도자와^[7] Iserles에 의해 추가적으로 연구되었다. (Davis 2001)의 부록에 있다. 기능 방정식을 만족하는 고유 함수로서 (Gronau 2004)에 이 함수의 자명적 특성화가 주어진다.

${\displaystyle f(x+1)=\left(1+{\frac {i}{\\sqrt{x+1}}\오른쪽)\cdot f(x),}$

초기 조건 f( 0)= 1,${\displaystyle f(0)=1,}$ 및 주장과 계수의 단조로움; 대체 조건과 약점도 또한 거기서 연구된다. 대체 파생은 (Heuvers, Moak & Boursaw 2000)에 제시되어 있다.

데이비스의 연속적인 형태의 테오도로스의 나선형 형태에 대한 분석적 연속성은 원점에서 반대 방향으로 확장된다(Waldvogel 2009).

그림에서 원본(분리)의 노드 테오도로스 나선은 작은 녹색 원으로 보인다. 파란 것은 나선형의 반대방향에 추가된 그것들이다. 극지방 반지름 r=± n의 정수 값을 가진 노드 ${\$$displaystyle r_{n}=\pm {\sqrt{n}}$만 그림에 번호가 매겨진다. 좌표 원점 O ${\displaystyle O}$의 점선 원은 O ${\displaystyle O}$의 곡률 원입니다.

참고 항목

• 페르마의 나선형
• 나선 목록

참조

추가 읽기

• Davis, P. J. (2001), Spirals from Theodorus to Chaos, A K Peters/CRC Press
• Gronau, Detlef (March 2004), "The Spiral of Theodorus", The American Mathematical Monthly, Mathematical Association of America, 111 (3): 230–237, doi:10.2307/4145130, JSTOR 4145130
• Heuvers, J.; Moak, D. S.; Boursaw, B (2000), "The functional equation of the square root spiral", in T. M. Rassias (ed.), Functional Equations and Inequalities, pp. 111–117
• Waldvogel, Jörg (2009), Analytic Continuation of the Theodorus Spiral (PDF)