궤도역학

궤도역학 또는 천체역학은 로켓과 다른 우주선의 운동에 관한 실제적인 문제에 탄도학과 천체역학을 적용하는 것입니다.이 물체들의 운동은 보통 뉴턴의 운동 법칙과 만유인력 법칙으로부터 계산됩니다.궤도 역학은 우주 임무 설계 및 제어의 핵심 분야입니다.

천체역학은 우주선과 항성계, 행성, 달, 혜성과 같은 자연 천체를 포함하여 중력의 영향을 받는 계들의 궤도 역학을 보다 광범위하게 다루고 있습니다.궤도역학은 궤도기동, 궤도면 변화, 행성간 이동을 포함한 우주선 궤도에 초점을 맞추고, 추진기동의 결과를 예측하기 위해 임무 계획자들에 의해 사용됩니다.

일반 상대성 이론은 궤도를 계산하는 뉴턴의 법칙보다 더 정확한 이론이며, 더 정확한 정확성을 위해 또는 고중력 상황(예: 태양 근처의 궤도)에서 사용할 필요가 있습니다.

역사

20세기에 우주여행이 부상하기 전까지는 궤도역학과 천체역학 사이에 별 차이가 없었습니다.스푸트니크 당시 이 분야는 '우주 역학'^[1]이라고 불렸습니다.따라서 케플러 문제(시간의 함수로서 위치를 결정하는 것)를 해결하기 위해 사용되는 것과 같은 기본적인 기술은 두 분야에서 동일합니다.게다가 밭의 역사는 거의 전적으로 공유되고 있습니다.

요하네스 케플러는 1605년에 그의 법칙을 발표하면서 행성 궤도를 높은 수준의 정확도로 성공적으로 모델링한 최초의 사람이었습니다.아이작 뉴턴은 Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (1687)의 첫 번째 판에서 더 일반적인 천체 운동 법칙을 발표했는데, 이 책은 세 개의 관측으로부터 포물선 경로를 따르는 물체의 궤도를 찾는 방법을 제공했습니다.이것은 에드먼드 핼리가 그의 이름을 가진 혜성을 포함한 다양한 혜성들의 궤도를 설정하기 위해 사용한 것입니다.뉴턴의 연속 근사 방법은 1744년 레온하르트 오일러에 의해 분석 방법으로 공식화되었고, 그의 작업은 1761-1777년 요한 램버트에 의해 타원 궤도와 쌍곡 궤도로 일반화되었습니다.

궤도 결정의 또 다른 이정표는 1801년 왜행성 세레스의 "복구"에 칼 프리드리히 가우스가 도움을 준 것입니다.가우스의 방법은 궤도를 완전히 묘사하는 6개의 궤도 요소를 찾기 위해 오직 3개의 관측만을 사용할 수 있었습니다.궤도 결정 이론은 그 후에 새롭게 관측된 작은 행성들의 추적과 목록화뿐만 아니라 GPS 수신기에 적용될 정도로 발전했습니다.고도의 정확도로 미래의 위치를 알 필요가 있기 때문에, 현대적인 궤도 결정과 예측은 모든 종류의 위성과 우주 탐사선을 작동시키는 데 사용됩니다.

천문학자 사무엘 헤릭이 1930년대부터 천체역학을 개발했습니다.그는 로켓 과학자 로버트 고다드와 상의했고 고다드가 미래에 필요할 것이라고 믿었던 우주 항해 기술에 대한 그의 연구를 계속하도록 격려 받았습니다.1960년대에 우주 역학의 수치적인 기술은 새로운 강력한 컴퓨터와 결합되었고, 인간은 달로 여행하고 돌아올 준비가 되었습니다.

실용적 기법

주먹구구식

다음의 경험칙은 아래에 설명된 천체역학의 표준 가정 하에서 고전역학에 의해 근사화된 상황에 유용합니다.논의된 구체적인 예는 행성 주위를 도는 위성에 관한 것이지만, 경험칙은 태양과 같은 별 주위의 작은 물체들의 궤도와 같은 다른 상황에도 적용될 수 있습니다.

케플러의 행성운동 법칙:
- 궤도는 타원형이며, 타원의 한 초점에 무거운 물체가 있습니다.이것의 특별한 경우는 행성을 중심으로 하는 원형 궤도(원은 타원의 특별한 경우)입니다.
- 행성에서 위성으로 그려진 선은 궤도의 어느 부분이 측정되든 동일한 시간 동안 동일한 면적을 쓸어버립니다.
- 위성의 공전 주기의 제곱은 행성으로부터의 평균 거리의 세제곱에 비례합니다.
(로켓 엔진을 발사하는 것과 같은) 힘을 가하지 않으면, 위성의 궤도의 주기와 모양은 변하지 않을 것입니다.
낮은 궤도(또는 타원 궤도의 낮은 부분)에 있는 위성은 높은 궤도(또는 타원 궤도의 높은 부분)에 있는 위성보다 행성의 표면에 대해 더 빠르게 움직이며, 이는 행성에 더 가까운 더 강한 중력 인력 때문입니다.
만일 위성의 궤도의 한 지점에만 추력이 가해지면, 나머지 경로는 바뀌겠지만, 그것은 이후의 각 궤도의 같은 지점으로 되돌아가게 됩니다.따라서 추력을 한 번만 적용하면 원형 궤도에서 다른 궤도로 이동할 수 없습니다.
원형 궤도에서, 위성의 움직임과 반대 방향으로 작용하는 추력은 궤도를 타원형으로 바꿉니다; 위성은 하강하여 발사 지점으로부터 180도 떨어진 최저 궤도 지점(일회점)에 도달하고, 그 후 다시 상승합니다.결과 궤도의 주기는 원래 원형 궤도의 주기보다 작을 것입니다.위성의 운동 방향으로 가해지는 추력은 발사 지점에서 180도 떨어진 최고점(아포프)을 갖는 타원 궤도를 형성합니다.결과 궤도의 주기는 원래 원형 궤도의 주기보다 더 길어질 것입니다.

궤도역학 규칙의 결과는 때때로 직관에 어긋납니다.예를 들어, 만약 두 우주선이 같은 원형 궤도에 있고 도킹하기를 원한다면, 그것들이 매우 가까이 있지 않는 한, 후행하는 우주선은 더 빨리 가기 위해 단순히 엔진을 발사할 수 없습니다.이렇게 되면 궤도의 모양이 바뀌어서 고도가 높아지고 실제로는 선두의 우주선에 비해 속도가 느려져 목표물을 놓치게 됩니다.도킹 전 공간 랑데부는 일반적으로 여러 궤도 주기에 걸쳐 정확하게 계산된 여러 번의 엔진 점화를 수행하므로 완료하는 데 몇 시간 또는 며칠이 소요됩니다.

천체역학의 표준 가정이 성립하지 않는 범위 내에서 실제 궤적은 계산된 궤적과 다릅니다.예를 들어, 간단한 대기 항력은 지구 저궤도에 있는 물체들의 또 다른 복잡한 요소입니다.

이러한 경험칙은 쌍성계(n-body problem 참조)와 같이 질량이 비슷한 두 개 이상의 물체를 설명할 때 확실히 부정확합니다.천체역학은 더 다양한 상황에 적용할 수 있는 더 일반적인 규칙을 사용합니다.뉴턴의 법칙으로부터 수학적으로 유도될 수 있는 케플러의 행성 운동 법칙은 중력이 없는 상태에서 두 중력체의 운동을 설명하는 데만 엄격하게 적용됩니다. 또한 포물선과 쌍곡 궤적을 설명합니다.별과 같은 큰 물체의 근접성에서는 고전역학과 일반상대성이론의 차이도 중요해집니다.

천체역학의 법칙

우주역학의 기본 법칙은 뉴턴의 만유인력의 법칙과 뉴턴의 운동의 법칙이며, 수학적 도구는 미분적분학입니다.

대기 바깥의 모든 궤도와 궤도는 원칙적으로 가역적입니다. 즉 시공간 함수에서는 시간이 역전됩니다.로켓 폭발로 인한 속도를 포함해 속도가 반대로 바뀌고 가속도도 같습니다.따라서 로켓의 폭발이 속도의 방향이라면, 반대의 경우에는 속도와 반대입니다.물론 로켓 폭발의 경우 사건의 완전한 반전은 없으며, 동일한 델타-v가 사용되고 동일한 질량비가 적용됩니다.

천체역학의 표준적인 가정은 외부 천체로부터의 간섭, 천체들 중 하나에 대한 무시할 수 있는 질량, 그리고 무시할 수 있는 다른 힘(태양풍, 대기 항력 등)을 포함합니다.이러한 단순화된 가정 없이도 보다 정확한 계산을 수행할 수 있지만, 이는 더욱 복잡합니다.정확도가 높아졌다고 해서 계산의 차이가 가치 있는 것으로 여겨지지 않는 경우가 많습니다.

케플러의 행성 운동 법칙은 궤도를 도는 물체가 중심 끌개의 중력에만 영향을 받는다고 가정할 때 뉴턴의 법칙으로부터 유도될 수 있습니다.엔진 추력이나 추진력이 존재할 때 뉴턴의 법칙은 여전히 적용되지만 케플러의 법칙은 무효입니다.추력이 멈추면, 결과적인 궤도는 달라지지만 위에 설명된 케플러의 법칙에 의해 다시 한 번 설명될 것입니다.세 가지 법칙은 다음과 같습니다.

모든 행성의 궤도는 태양이 초점 중 하나에 있는 타원입니다.
행성과 태양을 잇는 선은 동일한 시간 간격 동안 동일한 영역을 쓸어 버립니다.
행성의 궤도 주기의 제곱은 궤도의 준장축의 정육면체에 정비례합니다.

탈출속도

탈출 속도에 대한 공식은 다음과 같이 유도됩니다.우주선의 특정 에너지(단위 질량당 에너지)는 두 가지 성분, 즉 특정 위치 에너지와 특정 운동 에너지로 구성됩니다.질량 M의 행성과 관련된 특정 퍼텐셜 에너지는 다음과 같이 주어집니다.

\epsilon _{p}=-{\frac {GM}{r}}\,

여기서 G는 중력 상수이고 r은 두 물체 사이의 거리입니다.

물체의 특정 운동 에너지가 다음과 같이 주어질 때

\epsilon _{k}={\frac {v^{2}}{2}}\,

여기서 v는 Velocity입니다.

따라서 총 특정 궤도 에너지는

\epsilon =\epsilon _{k}+\epsilon _{p}={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}\,

$\epsilon$ 가 보존되기 때문에, $θ {\displaystyle$ \epsilon $\epsilon$ }은(는 $)$ 중심체의 중심에서 해당 우주 $r$ 까지의거리 r {\ $displaystyle$ r}에 의존할 수 없습니다. 즉, v는 특정 궤도 에너지를 일정하게 유지하려면 r에 따라 달라져야 합니다.따라서 개체는 이 $양$ 이 $음수$ 가 아닌 경우에만 $무한$ r {\displaystyle r $}$ 에 $r$ 도달할 수 있으며, 이는 다음을 의미합니다.

{\displaystyle v\geq {\sqrt {\frac {2GM}{r}}}.

지구 표면으로부터의 탈출 속도는 약 11 km/s이지만, 그것은 태양의 중력 때문에 신체를 무한한 거리로 보내기에는 부족합니다.태양에서 지구까지의 거리와 같으나 지구와 가깝지 않은 곳에서 태양계를 탈출하려면 초속 42km 정도의 속도가 필요하지만, 지구에서 발사된 우주선의 경우 지구의 궤도 속도에 대한 "부분적인 인정"이 있을 것입니다.(추진 시스템으로 인해) 그들의 추가 가속이 지구가 궤도를 이동하는 것과 같은 방향으로 그들을 운반하는 경우.

자유궤도 공식

궤도는 원추형 단면이므로 주어진 각도에 대한 물체의 거리에 대한 공식은 극좌표에서의 곡선에 대한 공식에 해당합니다.

r={\frac {p}{1+e\cos \theta}}

\mu =G(m_{1}+m_{2})\,

p=h^{2}/\mu \,

$\mu$ $\mu$ 를 $\mu$ 중력 매개 변수라고 $m_{1}$ . $m_{1}$ {\ $displaystyle m_{1$ $m_{2}$ {\ $displaystyle m_{2}}$ 는 $m_{2}$ 물체 1과 물체 2의 질량이고, $h$ {\ $displaystyle$ h $}$ 는 $h$ 물체 1에 대한 물체 2의 특정 각운동량입니다.매개 변수 $\theta$ θ {\ $displaystyle$ \ $theta}$ 는 참 이상으로 알려져 $p$ p ${\displaystyle$ $\theta$ p $}$ 는 반위석 직장이고 e{\ $displaystyle$ e $}$ 는 궤도 이심률이며 모두 6개의 독립적인 궤도 요소의 다양한 형태에서 얻을 수 있습니다.

원궤도

중심체의 중력이 지배하는 모든 경계 궤도는 본질적으로 타원형입니다.이것의 특별한 경우는 이심률이 0인 타원인 원형 궤도입니다.질량 M의 무게 중심으로부터 r 거리에 있는 원형 궤도의 물체의 속도에 대한 공식은 다음과 같이 유도될 수 있습니다.

원심 가속도는 중력에 의한 가속도와 일치합니다.

그렇게,

{\frac {v^{2}}{r}}={\frac {GM}{r^{2}}

그러므로,

\v={\sqrt{\frac {GM}{r}}\}

$G$ 서 G ${\displaystyle$ G $}$ 는 $G$ 중력 상수이며, 다음과 같습니다.

6.6743 x 10⁻¹¹³ m/(kg·s²)

이 수식을 제대로 사용하려면 단위가 일치해야 합니다. 예를 $들어$ M ${\displaystyle$ M $}$ 은 $M$ (는) 킬로그램 단위, $r$ ${\displaystyle$ r $}$ 은 $r$ (는) 미터 단위여야 합니다.답은 초당 미터 단위로 나옵니다.

$GM$ ${\displaystyle$ GM $}$ 의 $GM$ 양은 종종 표준 중력 매개변수로 불리는데, 이 매개변수는 태양계의 모든 행성이나 달마다 다른 값을 갖습니다.

원형 궤도 속도를 알고 나면 탈출 속도는 다음과 같이 2 ${\sqrt {2}}$ {\ $displaystyle$ {\ $sqrt {2$ 를 곱하면 쉽게 구할 수 있습니다.

{\displaystyle \v={\sqrt {2}}{\sqrt {{\frac {GM}}{r}}\}}={\sqrt {{\frac {2GM}{r}}\}}}.

중력에서 벗어나기 위해서 운동 에너지는 적어도 음의 위치 에너지와 일치해야 합니다.그러므로,

{\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {GMM}{r}

{\displaystyle v={\sqrt{\frac {2GM}{r}}\}}}.

타원궤도

0 $0<e<1$ < $0<e<1$ < $0<e<1$ {\ $displaystyle$ 0 $< e$ < $1$ 인 경우 자유 궤도 방정식의 분모는 참 변칙 $\theta$ θ {\ $displaystyle \theta$ $\theta$ 와 함께 변하지만 0이 되지 않는 양으로 유지됩니다.따라서 상대 위치 벡터는 경계를 유지하며, $r_{p}$ {\ $displaystyle r_{$ p $r_{p}$ 에서 가장 작은 크기를 갖습니다.

r_{p}={\frac {p}{1+e}

θ $\theta =180^{\circ }$ = $\theta =180^{\circ }$ ∘ ${\displaystyle \theta$ = $180^{\circ}}$ 일 $\theta =180^{\circ }$ 때 최대값 r ${\displaystyle$ r $}$ 에 도달합니다. 이 점을 아포옵시스라고 하며, r ${\displaystyle r_{a$ 로 $r_{a}$ 되는 방사상 좌표는

r_{a}={\frac {p}{1-e}

$2a$ a $2a$ {\ $displaystyle$ 2a $2a$ }를 다음 식과 같이 근일점 $P$ {\ $displaystyle$ P $}$ 에서 $P$ $아포피스$ A ${\displaystyle$ A $A$ 까지의 아프스 라인을 따라 측정된 거리라고 $2a$ 합니다.

2a=r_{p}+r_{a

위의 식을 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

a={\frac {p}{1-e^{2}}}

a는 타원의 반장축입니다.p ${\displaystyle$ p $p$ 을(를) 해결하고 위의 원뿔 단면 곡선 공식에 결과를 대입하면 다음을 얻을 수 있습니다.

r={\frac {a(1-e^{2})}{1+e\cos \theta}}

공전주기

표준 가정 하에서 타원 궤도를 따라 이동하는 물체의 궤도 주기( $T\,\!$ {\ $displaystyle$ T $T\,\!$ 는 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

T=2\pi {\sqrt {a^{3} \over {\mu}}}

여기서:

$\mu \,$ ${\$ 는 $\mu \,$ 표준 중력 매개 변수입니다.
$displaystyle$ a $\,\!}$ 는 $a\,\!$ 준장축의 $a\,\!$ 입니다.

결론:

궤도 주기는 궤도 반지름이 반장축과 같은 원형 궤도의 주기와 $displaystyle$ a $\,\!}).$
주어진 준장축에서 공전 주기는 이심률에 의존하지 않습니다(케플러 제3법칙 참조).

속도

표준 가정 하에서 타원 궤도를 따라 이동하는 물체의 궤도 속도( $v\,$ {\ $displaystyle$ v $v\,$ 는 Vis-viva 방정식에서 다음과 같이 계산할 수 있습니다.

v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}-{1 \over {a}\right)}}

여기서:

$\mu \,$ ${\$ 는 $\mu \,$ 표준 중력 매개 변수입니다.
$r\,$ ${\$ r $\,}$ 은 $r\,$ 궤도 물체 사이의 거리입니다.
$displaystyle$ a $\,\!}$ 는 $a\,\!$ 준장축의 $a\,\!$ 입니다.

쌍곡 궤적의 속도 방정식은 v = $v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}$ ( $v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}$ r + $v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}$ a ) $v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}$ {\ $displaystyle$ v = {\ $sqrt$ {\ $mu \left$ ({ $2 \over {r}}+\left\vert$ {1 $\over$ { $a}}\right\vert \right)}}$ 입니다 $v={\sqrt {\mu \left({2 \over {r}}+\left\vert {1 \over {a}}\right\vert \right)}}$

에너지

표준 가정 하에서 타원 궤도의 특정 궤도 에너지( $\epsilon \,$ ${\$ $\epsilon \,$ 는 음이고 이 궤도에 대한 궤도 에너지 보존 방정식(Vis-viva 방정식)은 다음과 같은 형태를 취할 수 있습니다.

{v^{2} \over {2}}-{\mu \over {r}}=-{\mu \over {2a}}=\epsilon <0

여기서:

$v\,$ ${\$ v $\,}$ 는 $v\,$ 궤도 물체의 속도입니다.
$r\,$ ${\$ r $\,}$ 은 $r\,$ 중심체의 질량 중심으로부터 궤도상체의 거리,
${\$ a $\,}$ 는 $a\,$ 준장축이고,
$\mu \,$ ${\$ 는 $\mu \,$ 표준 중력 매개 변수입니다.

결론:

주어진 준장축에서 특정 궤도 에너지는 이심률과 무관합니다.

비리알 정리를 사용하면 다음을 알 수 있습니다.

특정 위치 에너지의 시간 평균은 2 $2\epsilon$ ϵ {\ $displaystyle$ 2 $\epsilon}$ 과 $2\epsilon$ .
r $r^{-1}$ - $r^{-1}$ {\ $displaystyle$ r $^{-1}}$ 의 $r^{-1}$ 시간 평균은 $a^{-1}$ - $a^{-1}$ {\ $displaystyle$ a $^{-1}$ 입니다.
특정 운동 에너지의 시간 평균은 - $-\epsilon$ ϵ {\ $displaystyle -\epsilon}$ 과 $-\epsilon$ 같습니다.

포물선 궤도

이심률이 1이면 궤도 방정식은 다음과 같습니다.

r={{h^{2}} \over {\mu}} {{1} \over {1+\cos \theta}}

여기서:

$r\,$ ${\$ r $\,}$ 은 $r\,$ 중심체의 질량 중심으로부터 궤도상체의 반경 거리,
$h\,$ ${\$ h $\,}$ 는 $h\,$ 궤도 물체의 특정 각운동량입니다.
$◦$ {\ $displaystyle$ \ $theta \,}$ 는 $\theta \,$ 궤도 물체의 진정한 이상입니다.
$\mu \,$ ${\$ 는 $\mu \,$ 표준 중력 매개 변수입니다.

참 변칙 θ가 180°에 가까워지면 분모가 0에 가까워지므로 r은 무한대로 향합니다.따라서 e=1이 0인 궤적의 에너지는 다음과 같습니다.

\epsilon = {v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}=0

여기서:

$v\,$ ${\$ v $\,}$ 은 $v\,$ (는) 선회체의 속도입니다.

즉, 포물선 경로의 속도는 다음과 같습니다.

v={\sqrt {2\mu \over {r}}}

쌍곡궤도

$e>1$ > 1 ${\displaystyle$ e > 1 $e>1$ 인 경우, 궤도 공식,

r={{h^{2}} \over {\mu}} {{1} \over {1+e\cos \theta}}

쌍곡 궤도의 기하학적 구조에 대해 설명합니다.시스템은 두 개의 대칭 곡선으로 구성됩니다.궤도를 도는 물체는 그 중 하나를 차지하고 다른 하나는 공허한 수학적 이미지입니다.cos ⁡ θ = - $\cos \theta =-1/e$ / $\cos \theta =-1/e$ ${\displaystyle \cos \theta$ = $-1/$ e $\cos \theta =-1/e$ 일 때 위 $\cos \theta =-1/e$ 의 분모는 0으로 됩니다. 우리는 이 참 변칙값을 나타냅니다.

\theta _{\infty} =\cos^{-1}\left{\frac {1}{e}}\right)

실제 변칙이 접근함에 따라 반경 거리가 무한대에 가까워지기 때문에 점근점근의 실제 변칙으로 알려진 θ ${\displaystyle \theta$ _ ${\infty$ θ $\theta _{\infty }$ ∞ {\ $displaystyle$ \ $theta$ _ ${\infty }}$ 가 90°에서 180° 사이에 있음을 관찰합니다.2 ⁡ + $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ 2 ⁡ θ = 1 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ {\ $displaystyle \sin ^{2}\theta$ +\ $cos ^{2}\theta$ = $1}$ 의 삼각형 $\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1$ 으로부터 다음을 따릅니다.

\sin \theta _{\infty}={\frac {1}{e}}{\sqrt {e^{2}-1}}

에너지

표준 가정 하에서 쌍곡 궤도의 특정 궤도 에너지( $\epsilon \,$ ${\$ $\epsilon \,$ 는 0보다 크고 이러한 궤도에 대한 궤도 에너지 보존 방정식은 다음과 같습니다.

\epsilon = {v^{2} \over 2}-{\mu \over {r}}={\mu \over {-2a}}

여기서:

$v\,$ {\ $displaystyle$ v $\,}$ 는 $v\,$ 궤도 물체의 궤도 속도입니다.
$r\,$ ${\$ r $\,}$ 은 $r\,$ 중심체로부터 궤도를 도는 물체의 반경 거리입니다.
${\$ a $\,}$ 는 $a\,$ 궤도의 쌍곡선의 음의 반장축입니다.
$\mu \,$ ${\$ 는 $\mu \,$ 표준 중력 매개 변수입니다.

쌍곡선과잉속도

표준 가정 하에서 쌍곡 궤도를 따라 이동하는 물체는 r = {\ $displaystyle$ r =} $r=$ 에서 다음과 같이 계산할 수 있는 쌍곡 초과 속도( $v_{\infty }\,\!$ ∞ {\ $displaystyle$ v_{\ $infty$ 라고 불리는 궤도 속도에 도달합니다.

v_{\infty} = {\sqrt {\mu \over {-a}}\,\!

여기서:

$\mu \,\!$ $displaystyle \mu \,\!}$ 는 $\mu\,\!$ 표준 중력 매개 변수입니다.
$displaystyle$ a $\,\!}$ 는 $a\,\!$ 궤도의 쌍곡선의 음의 반장축입니다.

쌍곡선의 과잉 속도는 특정 궤도 에너지 또는 특성 에너지와 관련이 있습니다.

2\epsilon =C_{3}=v_{\infty}^{2}\,\!

궤적 계산 중

케플러 방정식

(역사적으로 주로 사용된) 궤도를 계산하는 한 가지 방법은 케플러 방정식을 사용하는 것입니다.

M=E-\epsilon \cdot \sin E

M

=

-

M=E-\epsilon \cdot \sin E

M=E-\epsilon \cdot \sin E

in

M=E-\epsilon \cdot \sin E

M=E-\epsilon \cdot \sin E

{\

displaystyl

M =

E-\epsilon \cdot \sin

E

M=E-\epsilon \cdot \sin E

입니다.

여기서 M은 평균 변칙, E는 편심 변칙, $\epsilon$ ϵ {\ $displaystyle \epsilon}$ 은 편심입니다.

케플러 공식을 사용하여 근일점에서 $\theta$ ${\displaystyle$ \ $theta }$ 의 $\theta$ 각도(참변칙)에 도달하는 비행 시간을 찾는 것은 두 단계로 나뉩니다.

참 이상 θ $\theta$ 에서 편심 $E$ E{\ $displaystyle$ E $}$ 을(를) 계산합니다.
편심 $이상$ E ${\displaystyle$ E $}$ 에서 이동 $시간$ t{\ $displaystyle$ t $}$ 을 $t$ (를) 계산합니다.

주어진 시간에서 편심 이상점을 찾는 것은 더 어렵습니다.케플러 방정식은 E{\ $displaystyle$ E $E$ 에서 초월적이며, 이는 대수적으로 $E$ E ${\displaystyle$ E $}$ 에 $대해$ 풀 수 없음을 의미합니다.케플러 방정식은E {\ $displaystyle$ E $}$ 에 $E$ $대해$ 역으로 해석하여 풀 수 있습니다.

ϵ $\textstyle \epsilon$ 의 모든 실수 값에 대해 유효한 케플러 방정식의 해는 다음과 같습니다.

E={\begin{case}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}}{\frac {M^{\frac {n}{3}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d}^{\n-1}}\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}\left[\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon =1\\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty}{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d}^{\n-1}}\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}\left[\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}\right)^{n}\right]\right),&\epsilon \neq 1\end{case}

이를 평가하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있습니다.

E={\begin{case}}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{22}}x^{5}+{\frac {1}{25200}x^{7}+{\frac {43}{17248000}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}\cdots \ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon = 1\\\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon}}{(1-\epsilon )^{4}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{{(1-\epsilon )^{13}}{\frac {M^{9}}{9!}}\cdots,&\epsilon \neq 1\end{case}

또는 케플러 방정식은 수치적으로 풀 수 있습니다.먼저 E ${\displaystyle$ E $}$ 의 $E$ 값을 추측하고 비행 시간을 해결한 다음 필요에 따라 E{\ $displaystyle$ E $}$ 을 $E$ (를) $E$ 하여 필요한 정밀도를 달성할 때까지 계산된 비행 시간을 원하는 값에 가깝게 설정해야 합니다.일반적으로 뉴턴의 방법은 비교적 빠른 수렴을 달성하기 위해 사용됩니다.

이 접근법의 가장 큰 문제는 극단적인 타원 궤도에 대해 수렴하는 데 엄청나게 오래 걸릴 수 있다는 것입니다.포물선에 가까운 궤도의 경우 이심률 $\epsilon$ ϵ {\ $displaystyle \epsilon}$ 은 거의 1이며, 평균 이상에 대한 $E-\sin E$ 에 e $E-\sin E$ = $e=1$ {\ $displaystyle$ e= $1}$ 을(를) 대입하면 E - $E-\sin E$ ⁡ $E-\sin E$ {\ $displaystyle$ E- $\sin$ E $E-\sin E$ 에 가까운 두 값을 빼면 정확도가 떨어집니다.원에 가까운 궤도의 경우, 처음부터 근일점을 찾기가 어렵습니다. (그리고 정말로 원 궤도에는 근일점이 전혀 없습니다.)또한 이 방정식은 타원 궤도를 가정하여 유도되었으므로 포물선이나 쌍곡 궤도에는 적용되지 않습니다.이러한 어려움들이 아래에 설명된 범용 변수 공식의 개발로 이어진 것입니다.

원뿔궤도

공면 전송 타원에 대한 델타-v 계산과 같은 간단한 절차의 경우, 전통적인 접근^{[clarification needed]} 방식이 상당히 효과적입니다.비행 시간과 같은 다른 것들은 특히 원에 가까운 궤도와 쌍곡 궤도의 경우 훨씬 더 복잡합니다.

패치가 적용된 원추형 근사치.

호만 전이 궤도는 행성 자체의 중력을 무시하기 때문에 행성간 궤도에 대한 빈약한 근사치입니다.행성 중력은 행성 근처에서 우주선의 행동을 지배하고 대부분의 경우 호만은 델타-v를 심각하게 과대평가하고 연소 타이밍에 대해 매우 부정확한 처방을 내립니다.delta-v의 1차 근사치를 얻는 비교적 간단한 방법은 'Patched Conic Approximation' 기법을 기반으로 합니다.궤도가 통과할 공간의 각 영역에서 가장 지배적인 중력체를 선택하고, 그 영역에서 그 물체의 효과만을 모델링해야 합니다.예를 들어, 지구에서 화성까지의 궤도에서, 궤도가 더 이상 지구의 중력이 태양의 중력을 지배하지 않는 거리에 도달할 때까지 지구의 중력만을 고려하는 것으로 시작할 것입니다.우주선은 행성간 우주로 가는 도중에 탈출 속도가 주어질 것입니다.다음으로, 궤도가 화성 근처에 도달할 때까지 오직 태양의 중력만을 고려할 것입니다.이 단계에서는 전송 궤도 모델이 적합합니다.마지막으로, 화성의 중력이 우주선의 행동을 지배하는 궤도의 마지막 부분에서는 화성의 중력만이 고려됩니다.우주선은 쌍곡선 궤도로 화성에 접근할 것이고, 마지막 역행 화상은 우주선이 화성에 포획될 수 있을 만큼 충분히 느려질 것입니다.Friedrich Zander는 오늘날 중력 ^[3]보조라고 알려진 행성 간 여행을 위해 중간체의 중력을 사용하는 것을 제안할 때 우주 역학 목적으로 패치 원뿔형 접근법을 적용한 최초의 사람 중 한 명이었습니다.

"이웃"(또는 영향권)의 크기는 $r_{SOI}$ r $r_{SOI}$ {\ $displaystyle$ r_ ${$ 에 따라 달라집니다. $SOI$ :

r_{SOI}=a_{p}\left({\frac {m_{p}}{m_{s}}\right)^{2/5}

$a_{p}$ 서 $a_{p}$ ${\$ 는 $a_{p}$ 태양에 대한 행성 궤도의 반장축이고, $m_{p}$ {\ $displaystyle m_{p}$ 와 $m_p$ $m_{s}$ {\ $displaystyle m_{s}$ 는 $m_{s}$ 각각 행성과 태양의 질량입니다.

이러한 단순화는 연료 요구량의 대략적인 추정치와 대략적인 비행시간 추정치를 계산하기에 충분하지만, 우주선을 목적지까지 유도하기에는 일반적으로 충분히 정확하지 않습니다.이를 위해서는 수치적인 방법이 필요합니다.

범용 변수 공식(universal variable formation

2체 문제를 해결하기 위한 전통적인 접근법의 계산적 단점을 해결하기 위해 범용 변수 공식이 개발되었습니다.그것은 원형, 타원형, 포물선 및 쌍곡형의 경우에도 동일하게 잘 작동하며, 미분 방정식은 어떤 궤도에 대해서도 적분될 때 잘 수렴합니다.또한 섭동 이론을 통합한 문제에도 잘 일반화됩니다.

섭동

보편 변수 공식은 매개 변수의 변화 기술과 잘 작동하지만, 지금은 6개의 케플러 궤도 요소 대신 다른 궤도 $x_{0}$ $x_{0}$ 을 사용합니다. 즉, 주어진 $t=0$ t = $t=0$ ${\$ $displaystyle$ $x_{0},$ $v_{0}$ 0 ${\$ $displaystyle$ $v_{0}.$ $=0$ 이들 요소는 2체 모의실험에서 앞으로 언제든지 보편변수 공식을 이용하여 위성의 위치와 속도를 계산하기에 충분합니다 $.$ 반대로, 위성의 궤도에서 언제든지 위성의 위치와 속도를 측정할 수 있고, 그 다음에 보편적 가변 접근법을 사용하여 그 시대에 위성의 초기 위치와 속도가 어떠했을지 결정할 수 있습니다.완벽한 2체 운동에서, 이러한 궤도 요소들은 (케플러 요소들과 마찬가지로) 불변할 것입니다.

그러나 섭동은 궤도 요소가 시간이 지남에 따라 변화하게 합니다.따라서 위치 요소를 $x_{0}(t)$ 0 ( $x_{0}(t)$ ${\displaystyle x_{0}(t)},$ 속도 요소를 v $v_{0}(t)$ ( $v_{0}(t)$ ${\displaystyle v_{0}(t$ 로 $x_0(t)$ 표기하여 시간에 따라 변화함을 나타냅니다.섭동의 효과를 계산하는 기법은 $x_{0}(t)$ $x_{0}(t)$ 0 ( $x_{0}(t)$ {\ $displaystyle x_{0}(t)}$ $v_{0}(t)$ v $v_{0}(t)$ ( $v_{0}(t)$ {\ $displaystyle v_{0}(t$ 에 대한 정확하거나 근사한 표현 중 하나가 됩니다.

다음은 실제 궤도를 구면 지구를 기반으로 한 단순한 모델과 다르게 만드는 몇 가지 효과입니다.대부분은 해당하는 2체 효과에 비해 작기 때문에 섭동 이론에 의해 짧은 시간 척도(아마도 수천 개 미만의 궤도)로 처리될 수 있습니다.

적도 팽만으로 인해 마디와 주변부의 세차운동이 발생합니다.
중력장의 테세랄 조화는^[4] 추가적인 섭동을 발생시킵니다.
달과 태양 중력 섭동은 궤도를 바꿉니다.
대기 항력은 보충 추력을 사용하지 않는 한 준장축을 감소시킵니다.

매우 긴 시간에 걸쳐(아마도 수백만 개의 궤도) 작은 섭동도 지배할 수 있고, 행동이 혼란스러워질 수 있습니다.반면에, 다양한 섭동은 기지 유지, 지상 궤도 유지 또는 조정 또는 낮은 고도에서 선택된 목표물을 덮기 위한 주기의 단계화와 같은 궤도 유지 작업을 돕기 위해 영리한 우주 역학자에 의해 조정될 수 있습니다.

궤도 기동

우주 비행에서 궤도 기동은 우주선의 궤도를 바꾸기 위해 추진 시스템을 사용하는 것입니다.지구에서 멀리 떨어진 우주선(예를 들어 태양 주위의 궤도에 있는 우주선)의 경우, 궤도 기동은 심우주 기동(DSM)^{[not verified in body]}이라고 불립니다.

궤도이동

이동 궤도는 보통 우주선이 한 궤도에서 다른 궤도로 이동할 수 있게 해주는 타원 궤도입니다.보통 처음에는 화상, 끝에는 화상, 중간에 하나 이상의 화상이 필요합니다.

호만 이동 궤도는 최소 델타-v를 필요로 합니다.
이중 타원 전달은 궤도의 비율이 11.94 ^[5]이상일 경우 호만 전달보다 에너지가 적게 필요하지만 호만 전달에 대한 증가된 이동 시간의 비용으로 발생합니다.
더 빠른 이동은 더 높은 델타-v의 비용으로 원래 궤도와 목적 궤도를 모두 교차하는 모든 궤도를 사용할 수 있습니다.
저추력 엔진(전기 추진력 등)을 사용하여 초기 궤도가 최종적으로 원하는 원형 궤도에 초동기일 경우, 포지에서 속도 방향으로 연속적으로 추진하여 최적의 이송 궤도를 달성합니다.하지만 이 방법은 ^[6]추력이 낮기 때문에 훨씬 더 오래 걸립니다.

공면이 아닌 궤도 사이의 궤도 이동의 경우, 궤도면이 교차하는 지점("노드")에서 평면 변경 추력이 이루어져야 합니다.속도 벡터의 방향을 평면 사이의 각도와 동일한 각도만큼 바꾸는 것이 목적이므로, 이 추력의 거의 대부분은 우주선이 속도 벡터의 크기가 가장 낮을 때 아포프 근처의 노드에 있을 때 이루어져야 합니다.그러나, 원하는 기울기 변화 방향으로 이송 궤도 주입 추력을 약간 각도를 맞춤으로써 궤도 기울기 변화의 작은 부분이 근일점 근처의 노드에서 이루어질 수 있습니다.이것은 작은 각도의 코사인이 거의 1에 가깝기 때문에 작동하는데, 이는 근일점 부근에서 우주선의 고속에도 불구하고 작은 평면 변화가 효과적으로 "자유"하다는 결과를 낳습니다. 증가된 약간의 각도의 추력으로 인한 오버스 효과가 궤도-정상 축의 추력 비용을 초과하기 때문입니다.

낮은 원형 궤도에서 높은 원형 궤도로의 호만 전이

낮은 원 시작 궤도(진청색)에서 높은 원 궤도(빨간색)로 쌍타원 이동

두 원형 궤도 사이의 일반적인 2-임펄스 타원 전달

낮은 원형 궤도에서 높은 원형 궤도로의 일반적인 이동

전기추진을 이용한 초동시 궤도에서 지동시 궤도로 위성을 이동시키는 최적 시퀀스

중력 어시스트와 오버스 효과

중력 보조 장치에서 우주선은 행성을 지나쳐 다른 방향, 다른 속도로 떠납니다.이것은 더 많은 연료를 운반하는 대신 우주선의 속도를 높이거나 늦추는데 유용합니다.

이 기동은 먼 거리에서의 탄성 충돌로 추정될 수 있지만, 플라이바이는 물리적 접촉을 수반하지 않습니다.뉴턴의 제3법칙(동일한 반작용과 반대 반작용) 때문에 우주선이 얻는 운동량은 행성에 의해 손실되거나 반대로 손실됩니다.하지만, 그 행성이 우주선보다 훨씬, 훨씬 더 거대하기 때문에, 그 행성의 궤도에 미치는 영향은 미미합니다.

오버스 효과는 특히 중력 보조 작동 중에 사용될 수 있습니다.이 효과는 추진 시스템을 사용하는 것이 고속에서 더 효과적이며 따라서 경로 변경은 중력체에 가까울 때 가장 잘 수행됩니다. 이는 유효 델타-v를 곱할 수 있습니다.

행성간 수송망과 퍼지궤도

이제 컴퓨터를 사용하여 태양계의 행성과 달의 중력의 비선형성을 이용하여 경로를 찾는 것이 가능합니다.예를 들어, 높은 지구 궤도에서 화성까지의 궤도를 그리며 지구의 트로이 목마 ^{[citation needed]}지점 중 하나에 가깝게 지나가는 것이 가능합니다.행성간 운송 네트워크라고 통칭되는 이 매우 동요적이고 심지어 혼란스러운 궤도 궤적은 원칙적으로 라그랑주점에 도달하는 데 필요한 것 이상의 연료가 필요하지 않습니다(실제로 궤도를 유지하려면 약간의 경로 수정이 필요합니다).그들의 가장 큰 문제는 그들이 매우 느려질 수 있다는 것이고, 몇 년이 걸릴 수도 있다는 것입니다.게다가 발사창은 매우 멀리 떨어져 있을 수 있습니다.

그러나 그들은 제네시스와 같은 프로젝트에 고용되어 왔습니다.이 우주선은 지구-태양-L₁ 지점을 방문하고 아주 적은 추진제를 사용하여 돌아왔습니다.

참고 항목

참고문헌

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"Air University Space Primer, Chapter 8 - Orbital Mechanics" (PDF). USAF. Archived from the original (PDF) on 2013-02-14. Retrieved 2007-10-13.

추가열람

옵션, 절차 및 지원 이론의 대부분은 다음과 같은 표준 작업에서 다룹니다.

Bate, R.R.; Mueller, D.D.; White, J.E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Dover Publications, New York. ISBN 978-0-486-60061-1.
Vallado, D. A. (2001). Fundamentals of Astrodynamics and Applications (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-7923-6903-5.
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외부 링크

[1] Thomson, William T. (1961). Introduction to Space Dynamics. New York: Wiley.

[2] Bate, R. R.; Mueller, D. D.; White, J. E. (1971). Fundamentals of Astrodynamics. Courier Corporation. p. 5. ISBN 978-0-486-60061-1.

[3] Negri, Rodolfo Batista; Prado, Antônio Fernando Bertachini de Alme (August 2020). "A historical review of the theory of gravity-assists in the pre-spaceflight era". Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering. 42 (8): 406. doi:10.1007/s40430-020-02489-x. S2CID 220510617.

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[6] Spitzer, Arnon (1997). Optimal Transfer Orbit Trajectory using Electric Propulsion. USPTO.

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