모스-켈리 집합론

수학의 기초에서, 모스-켈리 집합론(MK), 켈리-모르 집합론(KM), 모스-타르스키 집합론(MT), 퀸-모르 집합론(QM) 또는 퀸-모르 집합론(QM)은 폰 노이만-베르네와 밀접한 관련이 있는 1차 공리 집합론입니다.괴델 집합론(NBG). 폰 노이만-베르네이스-괴델 집합론은 클래스 이해의 공리 스키마에 나타나는 도식 공식의 속박 변수를 집합에 대한 범위로만 제한하고, 모스-켈리 집합론은 이러한 속박 변수를 적절한 클래스뿐만 아니라 집합에 대한 범위로 제한하며, 1940년 퀸이 시스템 ML에 대해 처음 제안한 바와 같습니다.

모스-켈리 집합론은 수학자 존 L.켈리와 앤서니 모스의 이름을 따서 지어졌으며, Wang(1949)에 의해 처음 시작되었고, 이후 위상수학에 대한 대학원 수준의 소개인 켈리의 교과서 일반 위상학(1955)의 부록에서 시작되었습니다. 켈리는 그의 책에서 시스템은 토랄프 스콜렘과 모스로 인한 시스템의 변형이라고 말했습니다. 모스 자신의 버전은 그의 책 A Theory of Sets (1965)에서 나중에 등장했습니다.

폰 노이만-베르네이스-괴델 집합론(Gödel set theory)은 ZFC 언어의 문장이 ZFC에서 증명될 수 있는 경우에만 NBG에서 증명될 수 있다는 의미에서 제르멜로-프란켈 집합론(ZFC, 표준 집합론)의 보수적 확장입니다. 폰 노이만-베르네이스와 달리-괴델 집합론은 클래스 이해의 공리 스키마를 수많은 사례로 대체할 수 있지만 모스-켈리 집합론은 유한하게 공리화될 수 없습니다.

MK 공리와 존재론

NBG와 MK는 공통 온톨로지를 공유합니다. 담론의 세계는 계급으로 이루어져 있습니다. 다른 클래스의 멤버인 클래스를 집합이라고 합니다. 집합이 아닌 클래스는 적절한 클래스입니다. 원시 원자 문장은 회원 자격 또는 평등을 포함합니다.

클래스 이해를 제외하고는 필수적인 세부 사항을 제외하고 다음과 같은 공리는 NBG의 공리와 동일합니다. 공리의 상징적인 버전은 다음과 같은 표기법을 사용합니다.

• 확장성, 수업 이해 및 기초에 나타나는 M 이외의 대문자는 수업에 걸친 변수를 나타냅니다. 소문자는 ∈ 왼쪽에 나타나므로 올바른 클래스가 될 수 없는 변수를 나타냅니다. MK는 단일 분류 이론이기 때문에 이 표기법은 기억법에 불과합니다.
• 의도된 판독값이 "클래스 x는 집합"인 단자 술어 Mx, ${\displaystyle \Mx,}$은(는) ∃ W(x∈ $W$)를 축약합니다. {\$displaystyle \exists$ W(x\in W).}
• $빈$ 집합 ∅ ${\$displaystyle \$varnothing$}이(가)∀ x(x ∉ ∅)로$정의$되었습니다. {\$displaystyle$ \forall x(x\n)$ot \in \varnothing )}$
• 클래스 V는 모든 가능한 집합을 구성원으로 하는 보편적인 클래스로 ∀ x(M x →$x$ ∈ V)로 $정의됩니다. {\displaystyle \forall$x(Mx\to x\in V).$}$V는 폰 노이만 우주이기도 합니다.

확장성: 구성원이 같은 학급은 같은 학급입니다.

${\displaystyle \forall X\,\forall Y\,(X\leftarrow z\in Y)\rightarrow X=Y)}$

확장자가 같은 집합과 클래스가 동일합니다. 따라서 MK는 두 부류의 이론이 아닙니다. 그럼에도 불구하고 그 반대로 보입니다.

기초: 각각의 비어 있지 않은 클래스 A는 해당 멤버 중 적어도 하나와 분리되어 있습니다.

${\displaystyle \ for all A[A\n]ot =\varnothing \rightarrow \exists b(b\in A\land \forall c(c\in b\rightarrow c\n)ot \in A)]].}$

클래스 이해: φ(x)를 MK 언어의 임의의 공식이라고 하자. φ(x)는 집합이거나 적절한 클래스인 매개변수를 포함할 수 있습니다. 결과적으로, φ(x)의 정량화된 변수는 모든 집합이 아니라 모든 클래스에 걸쳐 있을 수 있습니다. 이것이 MK가 NBG와 다른 유일한 방법입니다. 그러면 클래스 Y ={ x∣ ϕ(x )} {\displaystyle Y =\{x\mid \phi (x)\}의 멤버가 ϕ (x) {\displaystyle \phi (x)}가 참이 되도록 정확히 집합 x인 클래스 Y가 존재합니다. 공식적으로 Y가 φ에서 자유롭지 않은 경우:

${\displaystyle \ for all W_{1}...W_{n}\exists Y\forall x[x\in Y\leftrightarrow (\phi (x,W_{1},...W_{n})\land Mx)].}$

페어링: 임의의 집합 x와 y에 대하여, 집합 z ={$,$ y} {\displaystyle z =\{x, y\}의 멤버가 정확히 x와 y인 집합이 존재합니다.

${\displaystyle \forall x\,\forally\,[(Mx\land My)\rightarrow \exists z\,(Mz\land \foralls\,[s\in z\leftarrow (s=x\,\lor \,s=y)]]]]].$

페어링은 순서 쌍인⟨ $x, y$⟩ {\$displaystyle$langle x,y\rangle }에 대해 순서 없는 쌍의 라이센스를부여합니다. 일반적인방법으로 $},$ {x,y} }${\displaystyle$x\},\{x,y\}\}로 정의할 수 있습니다. 순서 쌍을 손에 들고 있으면, 클래스 이해를 통해 집합의 관계와 함수를 순서쌍의 집합으로 정의할 수 있으므로 다음과 같은 공리가 가능합니다.

크기의 제한: V를 C로 일대일 매핑할 수 있는 경우에만 C가 적절한 클래스입니다.

${\displaystyle {\begin{array}{l}\forall C[\lnot MC\leftarrow \exists F(\forall x[Mx\rightarrow \exists s(s\in C\land \ lang x,s\rangle \in F]]\land \\qquad \forall x\forall y\forall s\rangle \in F\land \lang y,s\rangle \in F]\rightarrow x=y]].\end{array}}}$

이 공리의 형식적 버전은 대체의 공리 스키마와 유사하며 클래스 함수 F를 구현합니다. 다음 섹션에서는 크기 제한이 일반적인 형태의 선택 공리보다 더 강한 방법을 설명합니다.

멱집합: p가 집합 a의 모든 가능한 부분집합인 클래스라고 하자. 그럼 p는 세트입니다.

${\displaystyle \forall a\,\forall p\,[(Ma\land \forall x\,[x\in p\rightarrow \forall y\in a)]\rightarrow Mp.}$

합집합: $s$ =⋃ a {\$displaystyle$ s=\bigcup a}를 집합 a의 총집합, 즉 a의 모든 구성원들의 합집합이라 하자. 그럼 s는 세트입니다.

${\displaystyle \forall a\,\forall s\,[(Ma\land \forall x\,[x\ins\leftrightarrow \exist y\,(x\in y\land y\in a)]]\오른쪽 화살표 Ms.}$

무한대: 귀납적 집합 y가 존재하는데, 이는 (i) 빈 집합이 y의 멤버라는 것을 의미하며, (ii) x가 y의 멤버라면 x ∪{x$}$도 마찬가지입니다. ${\displaystyle x\$cup \{x\}.$}$.

${\displaystyle \exists y[My\land \varnothing \in y\land \forall z(z\in y\rightarrow \forall w(w\in x\rightarrow [w=z\lor w\in z])]]]].$

Power Set과 Union의 p와 p는 클래스 이해가 p와 p의 존재를 확립하기에 충분하므로 존재적으로 정량화되지 않고 보편적으로 정량화됩니다. Power Set과 Union은 p와 p가 적절한 클래스가 될 수 없음을 확인하는 역할만 합니다.

위의 공리들은 다음과 같이 다른 집합 이론들과 공유됩니다.

• ZFC 및 NBG: 페어링, 파워 세트, 유니온, 인피니티;
• NBG(및 ZFC, 정량화된 변수가 세트로 제한된 경우): 확장성, 재단,
• NBG: 크기의 제한.

논의

Mungk(1980)와 Rubin(1967)은 MK를 중심으로 구축된 세트 이론 텍스트이며, Rubin의 존재론은 요소를 포함합니다. 이 저자들과 멘델슨(1997: 287)은 MK가 ZFC와 NBG보다 덜 번거로우면서도 세트 이론에서 예상되는 것을 수행한다고 제출합니다.

MK는 ZFC와 그것의 보수적인 확장 NBG보다 엄격하게 강한데, 이는 적절한 클래스를 가진 다른 잘 알려진 집합 이론입니다. 사실, NBG(따라서 ZFC)는 MK에서 일관성이 있음이 입증될 수 있습니다. MK의 강점은 클래스 이해(Class Conversion)라는 공리 스키마가 예측 불가능하다는 것에서 비롯되며, 이는 φ(x)가 클래스에 걸쳐 정량화된 변수를 포함할 수 있음을 의미합니다. NBG의 클래스 이해 공리 스키마에서 정량화된 변수는 집합으로 제한되므로 NBG의 클래스 이해는 예측 가능해야 합니다. (NBG에서는 φ(x)의 수량자가 모든 집합에 걸쳐 있을 수 있기 때문에 집합에 대한 분리가 여전히 필요합니다.) 클래스 이해의 NBG 공리 스키마는 많은 인스턴스로 대체될 수 있습니다. 이것은 MK에서는 불가능합니다. MK는 접근할 수 없는 카디널의 존재를 주장하는 공리에 의해 증강된 ZFC와 상대적으로 일치합니다.

크기 제한의 공리의 유일한 장점은 전 지구적 선택의 공리를 내포하고 있다는 것입니다. 크기의 제한은 루빈(1967), 몽크(1980) 또는 멘델슨(1997)에는 나타나지 않습니다. 대신, 이 저자들은 일반적인 형태의 로컬 선택 공리와 "대체의 공리"^[1]를 호출하여 클래스 함수의 도메인이 집합이면 그 범위도 집합이라고 주장합니다. 교체는 선택 공리의 일부 형태를 증명하는 것을 제외하고 크기 제한이 증명하는 모든 것을 증명할 수 있습니다.

크기에 I를 더한 집합(따라서 우주가 비어 있지 않음)은 빈 집합의 집합성을 증명할 수 있게 만듭니다. 따라서 빈 집합의 공리는 필요하지 않습니다. 물론 그러한 공리는 추가될 수 있으며, 위의 공리들의 작은 동요들은 이러한 추가를 필요로 할 것입니다. $집합$ I은 ω보다큰 집합일 수 있기 때문에 제한서수ω {\displaystyle \omega,}과(와) 동일하지 $않습니다. {\$displaystyle \omega.} 이 경우ω {\displaystyle \omega $}$의 존재는 크기 제한의 두 가지 형태 중 하나를 따릅니다.

폰 노이만 서주곡의 클래스는 잘 정렬될 수 있습니다. 집합이 될 수 없습니다. 따라서 해당 클래스는 올바른 클래스이며 모든 올바른 클래스의 크기는 V와 같습니다. 따라서 V도 잘 주문할 수 있습니다.

MK는 2차 논리(술어가 아닌 집합의 2차 객체를 나타내는 것)를 배경 논리로 사용하여 2차 ZFC, ZFC와 혼동할 수 있습니다. 2차 ZFC의 언어는 MK의 언어와 유사하며(비록 동일한 확장자를 가진 집합과 클래스는 더 이상 식별할 수 없지만), 실제 증명을 위한 구문 리소스는 거의 동일합니다(MK가 강력한 형태의 크기 제한을 포함하는 경우 동일). 그러나 2차 ZFC의 의미론은 MK의 의미론과는 상당히 다릅니다. 예를 들어, MK가 일관적이라면 1차 모델은 셀 수 있는 반면, 2차 ZFC는 셀 수 있는 모델이 없습니다.

모형이론

ZFC, NBG 및 MK는 각각 ZFC의 폰 노이만 집합 우주인 V의 관점에서 설명할 수 있는 모델을 가지고 있습니다. 접근할 수 없는 기본 κ를 V의 멤버로 설정합니다. 또한 Def(X)를 X의 δ 정의 가능 부분 집합(구성 가능한 우주 참조)이라고 합니다. 그러면.

• V는_κ ZFC의 모델입니다.
• Def(V_κ)는 Mendelson 버전의 NBG 모델로, 글로벌 선택을 배제하고 대체 및 일반 선택으로 크기 제한을 대체합니다.
• V의_κ 멱집합인 V는_κ+1 MK의 모델입니다.

역사

MK는 Wang (1949)에서 처음 시작되었으며 J. L. Kelley (1955)의 일반 토폴로지 부록에서 다음 섹션에 주어진 공리를 사용하여 대중화되었습니다. Anthony Morse (1965) A 집합론의 체계는 Kelley와 동등하지만, 표준 1차 논리에서 여기서 하는 것이 아니라 특이한 형식 언어로 공식화됩니다. 예측적 수업 이해를 포함한 최초의 집합 이론은 ZFC가 아닌 New Foundations를 기반으로 구축된 Quine의 ML이었습니다.^[2] Mostowski(1951)와 Lewis(1991)에서도 예측적 수업 이해가 제안되었습니다.

켈리의 일반위상학에 나타난 공리들

이 절의 공리와 정의는 켈리 부록(1955)에서 가져온 몇 가지 필수적인 세부 사항에 대한 것입니다. 아래의 설명은 그의 것이 아닙니다. 부록에는 181개의 정리와 정의가 명시되어 있으며, 첫 번째 계급의 실무 수학자에 의한 공리적 집합 이론의 축약된 설명으로서 주의 깊게 읽을 것을 보증합니다. 켈리는 아래 Development의 각 사례 뒤에 나열된 주제를 개발하기 위해 필요에 따라 자신의 공리를 점진적으로 소개했습니다.

아래에 표시되고 현재 잘 알려진 표기법은 정의되지 않았습니다. 켈리 표기법의 특징은 다음과 같습니다.

• 그는 클래스에 걸쳐 있는 변수와 세트에 걸쳐 있는 변수를 구별하지 않았습니다.
• 정의역 f와 정의역 f는 함수 f의 정의역과 정의역을 나타냅니다. 이 특성은 아래에서 주의 깊게 존중되었습니다.
• 그의 원시 논리 언어에는{x:A(x)}, ${\displaystyle \{x:A(x)\},$ "A(x)를 만족하는 모든 집합의 클래스" 형태의 클래스 추상이 포함됩니다.

정의: 만약 어떤 y에 대하여 $x$∈y ${\displaystyle$x\in y}일 경우 x는 집합입니다(따라서 적절한 클래스가 아닙니다).

I. 범위: 각 x 및 각 y에 대해 x=y인 경우에만, z ∈ x ${\display$ z$\$in x}일 때와 z ∈ y일 때만 x {\display z\in x}입니다. {\display z\in y.}

위의 확장성과 동일합니다. I의 범위가 적절한 클래스와 집합을 포함한다는 점을 제외하고는 ZFC의 확장성 공리와 동일할 것입니다.

II. 분류(도식): 다음과 같은 경우 공리가 발생합니다.

각 β ${\displaystyle \beta }$에 대해β ∈{α : $A$ } ${\displaystyle$ \$beta \in \{\$alpha :$A\}}:$ β ${\displaystyle \beta}$가 집합이고 B, ${\displaystyle$ B$,}$인 경우에만 해당합니다.

'α'와 'β'는 변수로, 'A'는 공식 æ로, 'B'는 β를 대체한 변수가 β를 대체한 변수로, 'A'는 æ에서 얻은 공식으로 대체됩니다. 단, β를 대체한 변수가 A에 속박되지 않은 경우에는 α를 대체한 변수를 β를 대체한 변수로 각각 대체합니다.

개발: 집합의 부울 대수. null 클래스와 보편 클래스 V의 존재.

III. 부분 집합: x가 집합일 경우 각 z에 $대해$ z ⊆ x {\$displaystyle z$ x}이면$z$∈ y. ${\displaystyle$ z\in y.}

III의 수입은 위의 Power Set의 수입입니다. 멱집합 증명의 스케치는 집합 x의 부분 클래스인 임의의 클래스 z에 대하여, 클래스 z는 존재 III가 주장하는 set y의 멤버입니다. 따라서 z는 집합입니다.

전개: V는 집합이 아닙니다. 싱글톤의 존재. 분리가 가능합니다.

IV. Union: x와 y가 모두 집합이면 x ∪$y$ {\$displaystyle$ x\cupy}는 집합입니다.

IV의 수입은 위의 Pairing의 수입입니다. IV의 짝짓기 증명 스케치: 집합 x의 단일 톤{x} ${\displaystyle \{x\}$는 (III의 두 응용 프로그램에 의해) x의 거듭제곱 집합의 하위 클래스이므로 집합입니다. 그러면 IV는 x와 y가 집합일 경우{x, y } ${\displaystyle \{x, y\}}$가 집합임을 의미합니다.

개발: 순서 없는 쌍, 관계, 함수, 도메인, 범위, 함수 구성.

V. 대체: f가 [class] 함수이고, 도메인 f가 집합이면, 범위 f는 집합입니다.

V의 가져오기는 NBG와 ZFC의 대체 공리 스키마의 가져오기입니다.

VI. 병합: x가 집합이면 ⋃ x${\displaystyle$ \$bigcup$ x}가 집합입니다.

VI의 수입은 위의 Union의 수입입니다. IV와 VI는 하나의 공리로 결합될 수 있습니다.^[3]

개발: 데카르트 제품, 사출, 사출, 바이젝션, 차수 이론.

VII. 규칙성: x가 {\$displaystyle$ x\n≠ ∅일 경우eq$\varnothing }$ x $∩$y$=$ $∅$ . {\displaystyle x\capy$=$\varnothing.}과 같은 x의 멤버 y가 있습니다.

VII의 수입은 위의 Foundation의 수입입니다.

개발: 서수, 트랜스피니트 유도.

8. 인피니티: x가 y를 ∈할 때마다 ∅ ∈ y${\$$displaystyle$ $\varnothing \$in y}및 x ∪ {x} ∈ y {\displaystyle x\cup \{x\}\in y}와 같은 집합 y가 있습니다.

이 공리 또는 이에 준하는 것은 ZFC 및 NBG에 포함됩니다. VIII는 무한 귀납적 집합 y와 null $집합$∅의 두 집합의 무조건적인 존재를$주장합니다.$ {\$displaystyle$ \varnothing.} ∅ {\displaystyle \varnothing}는 단순히 y의 멤버이기 때문에 집합입니다. 지금까지 존재함이 증명된 모든 것은 하나의 계급이며, 켈리의 집합에 대한 논의는 전적으로 가상적인 것이었습니다.

전개: 자연수, N은 집합, 페아노 공리, 정수, 유리수, 실수.

정의: c가 함수이고 c(x) 도메인의 각 멤버 x에 대해 $c가$∈ x ${\displaystyle c($x)\in x}이면 c는 선택 함수입니다.

IX. 선택: 도메인이 V-{ ∅ }인 선택 함수 c가 있습니다. {\displaystyle V-\{\varnothing \}}.

IX는 위의 크기 제한에서 도출할 수 있는 전역 선택의 공리와 매우 유사합니다.

개발: 선택 공리의 등가물. ZFC의 경우와 마찬가지로 기수의 개발에는 어떤 형태의 선택이 필요합니다.

위의 공리에서 계량화된 모든 변수의 범위를 집합으로 제한하면 III와 스키마 IV를 제외한 모든 공리는 ZFC 공리입니다. IV는 ZFC에서 증명 가능합니다. 따라서 MK의 켈리 처리는 MK와 ZFC를 구별하는 모든 것이 적절한 클래스와 세트 및 분류 스키마에 걸친 변수임을 매우 명확하게 합니다.

메모들

참고문헌

• 존 L. 켈리 1975 (1955) 일반 위상학 스프링어. 아까 편집장님, 반 노스트랜드. 부록 "초등집합론"
• Lemon, E. J. (1986) 공리적 집합론 개론 Routledge & Kegan Paul.
• 데이비드 케이. Lewis (1991) 수업의 일부. 옥스포드: 바질 블랙웰.
• Mendelson, Elliott (1987). Introduction to Mathematical Logic. Chapman & Hall. ISBN 0-534-06624-0. 밀접하게 관련된 집합론 NBG의 확정적인 처리, 이어서 MK의 페이지. 몽크나 루빈보다 더 단단합니다.
• 스님, J. Donald (1980) 집합론 개론 크리거. 루빈보다 쉽고 덜 철저합니다.
• 모스, A. P., (1965) 집합론 학술 출판사.
• Mostowski, Andrzej (1950), "Some impredicative definitions in the axiomatic set theory" (PDF), Fundamenta Mathematicae, 37: 111–124, doi:10.4064/fm-37-1-111-124.
• 루빈, Jean E. (1967) 수학자를 위한 이론 설정. 샌프란시스코: 홀든 데이. 몽크보다 더 철저합니다. 존재론에는 요소가 포함되어 있습니다.
• Wang, Hao (1949), "On Zermelo's and von Neumann's axioms for set theory", Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A., 35 (3): 150–155, doi:10.1073/pnas.35.3.150, JSTOR 88430, MR 0029850, PMC 1062986, PMID 16588874.

외부 링크

• John L. Kelley의 General Topology (1955)를 다양한 형식으로 다운로드합니다. 부록에는 MK에 대한 켈리의 공리적인 발전이 수록되어 있습니다.

Foundation of Mathematics(FOM) 토론 그룹에서:

• 알렌 하젠 온 세트 이론과 수업.
• MK에 대한 조셉 쇼엔필드의 의심.