칸토어의 역설
Cantor's paradox |
집합론에서 칸토어의 역설은 모든 기수들의 집합이 존재하지 않는다는 것을 말합니다. 이것은 가장 큰 기수가 없다는 정리에서 파생된 것입니다. 비공식적인 용어로 설명하자면, 역설은 가능한 모든 "무한한 크기"의 집합은 무한할 뿐만 아니라 자신의 무한한 크기가 집합의 무한한 크기 중 어느 것도 될 수 없을 정도로 크다는 것입니다. 이 문제는 공리적 집합론에서 이 집합이 집합이 아니라 올바른 클래스라고 선언함으로써 해결됩니다. 폰 노이만-베르네이스에서 –괴델 집합 이론은 이와 크기 제한의 공리로부터 이 고유한 계급은 모든 집합의 계급과 사투되어야 한다는 것을 의미합니다. 따라서 무한히 많은 무한이 존재할 뿐만 아니라, 이 무한은 그것이 열거하는 어떤 무한보다도 더 큽니다.
이 역설은 1899년(또는 1895년에서 1897년 사이)에 처음 발견된 것으로 종종 인정받는 게오르크 칸토어의 이름을 따서 지어졌습니다. 많은 "파라독스"들처럼 실제로 모순되는 것이 아니라 단지 이 경우 무한의 본질과 집합의 개념에 대한 잘못된 직관을 나타낼 뿐입니다. 즉, 순진한 ï 집합 이론의 범위 내에서 역설적이며 따라서 이 이론의 부주의한 공리화가 일관성이 없음을 보여줍니다.
진술 및 증명
역설을 진술하기 위해서는 기수들이 완전히 순서대로 되어 있다는 것을 이해하고, 따라서 어떤 사람이 다른 사람보다 크거나 작다는 것을 말할 수 있어야 합니다. 그렇다면 칸토어의 역설은 다음과 같습니다.
이 사실은 집합의 멱집합의 기수성에 대한 칸토어 정리의 직접적인 결과입니다.
칸토어 정리의 또 다른 결과는 기수들이 적절한 클래스를 구성한다는 것입니다. 즉, 이들은 모두 하나의 집합의 요소로 함께 수집될 수 없습니다. 여기 다소 일반적인 결과가 있습니다.
토론과 결과
기수는 순서수로 색인을 만들어 순서가 잘 되어 있기 때문에(카디칼 번호, 형식적 정의 참조), 이것은 또한 가장 큰 순서수가 없다는 것을 증명합니다. 반대로, 후자의 문장은 칸토어의 역설을 암시합니다. 이 색인을 부랄리-포르티 역설에 적용함으로써 기수가 집합이 아닌 올바른 클래스라는 또 다른 증거를 얻을 수 있습니다. (적어도 ZFC나 폰 노이만-베르네이스에서 –)괴델 집합론(Gödel set theory)은 이로부터 추기경의 계급과 모든 집합의 계급 사이에 사투가 존재한다는 것을 알 수 있습니다. 모든 집합은 후자의 클래스의 부분 집합이고, 모든 카디널리티는 집합의 카디널리티이기 때문에 (정의에 의해!) 이것은 직관적으로 카디널스 집합의 카디널리티가 어떤 집합의 카디널리티보다 크다는 것을 의미합니다: 그것은 어떤 진정한 무한보다 더 무한합니다. 이것이 칸토어의 역설적 성격입니다.
히스토리 노트
칸토어는 일반적으로 기수 집합의 이러한 성질을 처음 규명한 것으로 인정받지만, 일부 수학자들은 1899년 또는 1901년에 유사한 정리를 정의한 버트런드 러셀에게 이러한 공로를 수여합니다.
참고문헌
- Anellis, I.H. (1991). Drucker, Thomas (ed.). "The first Russell paradox," Perspectives on the History of Mathematical Logic. Cambridge, Mass.: Birkäuser Boston. pp. 33–46.
- Moore, G.H.; Garciadiego, A. (1981). "Burali-Forti's paradox: a reappraisal of its origins". Historia Math. 8 (3): 319–350. doi:10.1016/0315-0860(81)90070-7.
외부 링크
- 추상화의 공리에 의한 집합론적 안티노미의 역사적 설명: 저스틴 T의 보고서. 밀러, 아리조나 대학 수학과.
- PlanetMath.org : 기사.
