클오픈 세트

여러 개의 클로닝 집합이 있는 그래프. 세 개의 큰 조각들(즉, 구성 요소들)은 둘 또는 셋의 조합과 마찬가지로 각각 열린 집합이다.

위상학에서 위상학 공간의 클로닝 세트(폐쇄 개방 세트의 포트만테우)는 개방 및 폐쇄된 세트다. 이것이 가능하다는 것은 개방과 폐쇄의 공통의 의미는 반의어인 것처럼 직관에 반하는 것처럼 보일 수도 있지만, 그들의 수학적인 정의는 상호 배타적이지 않다. 세트는 보어가 열려 있으면 닫히므로, 보어 또한 열려 있는 오픈 세트의 가능성이 남아 두 세트를 모두 열거나 닫게 하여 클로즈업된다. 위상학자인 제임스 뮌크레스가 설명한 대로, 문과는 달리, "문 한 세트를 열거나 닫거나 둘 다 닫거나 둘 다 닫을 수 있다"^[1]는 의미는 세트에 대한 문 "열림"/"닫힘"의 의미와 무관하다는 점을 강조한다(따라서 열린/닫힌 문 이분법은 열림/닫힘 세트로 전이되지 않는다). 문과 이러한 대조적인 문과는 "문 공간"으로 알려진 위상학적 공간의 등급에 이름을 부여했다.

예

위상학적 공간 $X$ , $X$ 에서 빈 $X,$ 세트와 전체 공간 $X$ ${\displaystyle$ X $}$ 이(가) 모두 열려 있다 $X$ .^[2]^[3]

이제 $공간$ X ${\displaystyle$ X $}$ 을 $X$ (를) 고려하십시오 $\mathbb {R} .$ X {\displaystyle ( $0,$ 1) ${\$ $displaystyle (0$ $1$ )과 $(0,1)$ $(2,3)$ $(2,3)$ $R$ 의 ( $,3)$ 의 두 개 개방 간격의 결합으로 구성되며 $,$ $X$ $X$ 의 $\mathbb {R} .$ 위상은 일반적인 위상에서 하위 공간 위상으로 상속된다 $X$ $.$ e 실제 라인 $\mathbb {R} .$ . $\mathb {R}.$ $X,$ , ${\displaystyle$ X $}$ 에서 세트 $X,$ $(0,1)$ $(0,1)$ ) ${\$ $displaystyle$ $(0,$ 1)는 $세트$ $,$ $(2,3).$ )와 마찬가지로 Clopen이다 $(0,1)$ $.$ $}}$ 상당히 $(2,3).$ 전형적인 예로서 공간이 한정된 수의 이음매 연결 구성요소로 구성될 때마다 구성요소가 클로닝된다.

이제 $X$ $X$ 을(를) 이산형 메트릭 아래 무한 집합으로 설정하십시오 $X$ . 즉, 두 점 $p,q\in X$ $,displaystyle p,q\in X}$ 은(는) 동일한 점이 아닌 경우 거리 1을 $p,q\in X$ 가지며, 그렇지 않은 경우 0을 가지십시오. 결과 메트릭 공간 아래에서는 모든 싱글톤 세트가 개방되므로, 단일 점의 조합인 모든 세트가 개방된다. 어떤 세트도 열려있기 때문에, 어떤 세트도 열려있고, 따라서 어떤 세트도 닫혀있다. 따라서 이 메트릭스 공간에 있는 모든 세트는 열려 있다.

덜 사소한 예로서, 일반적인 위상에서의 모든 합리적 숫자의 $\mathbb {Q}$ $\mathbb {Q}$ Q $\mathbb {Q}$ {\ $displaystyle \mathb {Q}$ 과 제곱이 2보다 큰 모든 양의 합리적 $A$ 의 $A$ A{\ $displaystyle$ A}을(를) 고려하십시오. Using the fact that ${\sqrt {2}}$ is not in $\mathbb {Q} ,$ one can show quite easily that $A$ is a clopen subset of $\mathbb {Q} .$ ( $A$ is not a clopen subset of the real line $\mathbb {R}$ $\mathbb {R}$ ; $\mathbb {R} .$ . $\mathb {R$ $\mathbb {R} .$ 에서 열리거나 닫히지 않음

특성.

위상학적 공간 $X$ $X$ 은(는) $X.$ 한 clopen 집합과 X. ${\displaystyle$ X $.}$ 인 경우에만 연결된다 $X$ .
세트는 경계가 비어 있는 경우에만 열린다.^[4]
모든 클로닝 세트는 (아마도 무한히 많은) 연결된 구성 요소들의 결합이다.
$X$ $X$ 의 연결된 모든 구성 요소가 열려 있는 $X$ 경우( $X$ 를 들어, X ${\displaystyle X$ $}$ 이 $X$ (가) 미세하게 많은 구성 요소만있거나 X {\ $displaystyle$ X}이(가) 로컬로 연결되어 $X$ 있는 경우, 연결된 구성 요소의 조합인 $X$ 에만 $X$ X ${\displaystyle$ X $}$ 에서 세트가 열림됩니다.
위상학적 공간 $X$ $X$ 은(는) 하위 집합이 모두 열린 경우에만 분리된다 $X$ .
조합과 교차점을 연산으로 사용하여 주어진 위상학적 공간 $X$ $X$ 의 열린 부분 집합이 부울 대수학(Boolean 대수학)을 $X$ 형성한다. 모든 부울 대수학은 적절한 위상학적 공간으로부터 이러한 방법으로 얻을 수 있다: 부울 알헤브라에 대한 스톤의 표현 정리를 참조하라.

참고 항목

문공간

메모들

^ Munkres 2000, 페이지 91.
^ Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introduction to Real Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 348. (R의 실수 및 빈 세트 관련)
^ Hocking, John G.; Young, Gail S. (1961). Topology. NY: Dover Publications, Inc. p. 56. (위상학적 공간 포함)
^ Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 87. ISBN 0-486-66352-3. Let $A$ be a subset of a topological space. Prove that $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ if and only if $A$ is open and closed. (연습 7로 지정)

참조

Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.
Morris, Sidney A. "Topology Without Tears". Archived from the original on 19 April 2013.

[FOOTNOTEMunkres200091-1] Munkres 2000, 페이지 91.

[2] Bartle, Robert G.; Sherbert, Donald R. (1992) [1982]. Introduction to Real Analysis (2nd ed.). John Wiley & Sons, Inc. p. 348. (R의 실수 및 빈 세트 관련)

[3] Hocking, John G.; Young, Gail S. (1961). Topology. NY: Dover Publications, Inc. p. 56. (위상학적 공간 포함)

[4] Mendelson, Bert (1990) [1975]. Introduction to Topology (Third ed.). Dover. p. 87. ISBN 0-486-66352-3. Let $A$ be a subset of a topological space. Prove that $\operatorname {Bdry} (A)=\varnothing$ if and only if $A$ is open and closed. (연습 7로 지정)

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