어트랙터

이상한 ^[1]매력을 시각적으로 표현하고 있습니다.같은 3D 어트랙터의 또 다른 시각화는 이 비디오입니다.이를 렌더링할 수 있는 코드를 사용할 수 있습니다.

동적 시스템의 수학적 분야에서, 유인기는 시스템의 다양한 시작 조건에 대해 시스템이 ^[2]진화하는 경향이 있는 일련의 상태를 말합니다.어트랙터 값에 충분히 가까운 시스템 값은 약간 흐트러져도 가까운 상태로 유지됩니다.

유한차원 시스템에서 진화하는 변수는 대수적으로 n차원 벡터로 표현될 수 있다.유인기는 n차원 공간의 영역입니다.물리적 시스템에서 n 차원은 예를 들어 하나 이상의 물리적 실체에 대해 각각 2개 또는 3개의 위치 좌표가 될 수 있다. 경제 시스템에서는 인플레이션율 및 실업률과 ^{[not verified in body]}같은 별도의 변수가 될 수 있다.

진화하는 변수가 2차원 또는 3차원일 경우 동적 프로세스의 어트랙터는 2차원 또는 3차원으로 기하학적으로 표현될 수 있다(예를 들어 오른쪽에 표시된 3차원 사례).어트랙터는 점, 유한한 점 집합, 곡선, 다양체 또는 이상한 어트랙터로 알려진 프랙탈 구조를 가진 복잡한 집합일 수 있습니다(아래의 이상한 어트랙터 참조).변수가 스칼라일 경우 어트랙터는 실수선의 서브셋입니다.카오스 동역학계의 인자를 기술하는 것은 카오스 이론의 업적 중 하나이다.

어트랙터의 동적 시스템의 궤적은 어트랙터에 남아 있는 것을 제외하고 특별한 제약을 충족할 필요가 없다.궤적은 주기적일 수도 있고 혼돈적일 수도 있다.포인트 세트가 주기적이거나 무질서한 경우, 네이버의 플로우가 세트로부터 떨어져 있는 경우, 그 세트는 어트랙터가 아니라 리피터(또는 리피터)라고 불립니다.

유치자의 동기

동적 시스템은 일반적으로 하나 이상의 미분 방정식 또는 차분 방정식으로 설명된다.주어진 동적 시스템의 방정식은 주어진 짧은 시간 동안의 동작을 지정합니다.시스템의 동작을 보다 오랜 기간 동안 결정하기 위해서는 종종 분석 수단이나 반복을 통해 종종 컴퓨터의 도움을 받아 방정식을 통합해야 합니다.

물리적 세계의 동적 시스템은 분산 시스템에서 발생하는 경향이 있습니다. 어떤 추진력이 없다면 운동은 중단될 것입니다.(방사능은 많은 원인 중 내부 마찰, 열역학적 손실 또는 재료의 손실에서 발생할 수 있습니다.)분산과 구동력은 균형을 이루는 경향이 있으며, 초기 과도현상을 제거하고 시스템을 일반적인 동작으로 안정시킵니다.일반적인 동작에 대응하는 동적 시스템의 위상 공간의 서브셋은 유인기이며 유인기 섹션 또는 유인기로도 알려져 있습니다.

불변 집합 및 한계 집합은 유인기 개념과 유사합니다.불변 집합은 ^[3]역학 하에서 스스로 진화하는 집합이다.유인기는 불변 집합을 포함할 수 있습니다.리미트 세트는 시간이 무한대로 진행됨에 따라 리미트 세트(즉, 세트 각각의 포인트)에 임의로 가까운 초기 상태가 존재하는 포인트 세트입니다.유인기는 한계 집합이지만 모든 제한 집합이 유인기는 아닙니다.시스템의 일부 포인트가 한계 세트로 수렴되도록 할 수 있지만, 한계 세트를 약간 벗어나 교란되면 다른 포인트가 손실되어 한계 세트 근처로 돌아오지 않을 수 있습니다.

예를 들어 감쇠진자에는 최소 높이의 점 $x$ 와₀ 최대 높이의 점 $x$ 의₁ 두 개의 불변점이 있습니다. $또한 0$ 점 x는 궤적이 점 x로 수렴될 때 한계 집합이지만 $점 1$ x는 한계 집합이 아닙니다. $공기 0$ 저항에 의한 소산 때문에, 점x도 유인기가 됩니다.낭비가 없다면 $x$ 는₀ 매력적이지 않을 것이다.아리스토텔레스는 물체가 밀릴 때만 움직인다고 믿었는데, 이것은 방탕한 유인체의 초기 공식이다.

일부 유인기는 혼돈한 것으로 알려져 있다(이상한 유인기 참조). 이 경우 유인기의 서로 다른 두 지점의 진화는 기하급수적으로 궤적을 분산시켜 시스템에 ^[4]가장 작은 소음이라도 존재할 경우 예측을 복잡하게 한다.

수학적 정의

t는 시간을 나타내며 f(t, •)는 시스템의 역학을 지정하는 함수라고 하자.즉, a가 시스템의 초기 상태를 나타내는 n차원 위상 공간의 점이라면 f(0, a) = a이고, 양의 값 t에 대해 f(t, a)는 t 단위 시간 후 이 상태의 진화의 결과이다.예를 들어, 시스템이 1차원에서의 자유 입자의 진화를 설명한다면, 위상 공간은 좌표 (x,v)를 갖는 평면² R이다. 여기서 x는 입자의 위치이고, v는 속도이고, a = (x,v), 진화는 다음과 같이 주어진다.

f(z) = z² + c의 특정 매개 변수화에 대한 3주기 주기 및 즉시 흡인 분지.가장 어두운 세 개의 점은 서로 순차적으로 이어지는 3사이클의 점이며, 흡인 분지의 모든 점에서 반복되면 이 세 개의 점의 시퀀스로 수렴됩니다(일반적으로 점근적).

(\displaystyle f(t,(x,v))=(x+tv,v).\ }

흡착기는 다음 세 가지 조건에 의해 특징지어지는 위상 공간의 부분 집합 A입니다.

A는 f:a가 A의 요소일 경우 f(t,a)도 모든 t > 0에 대해 f(t,a)가 됩니다.
A의 경우 흡인 분지라고 불리며 B(A)로 표기되는 A의 근방이 존재하며, 이는 "한계 t → θ에서 A를 입력"하는 모든 점 b로 구성된다.좀 더 형식적으로 B(A)는 다음과 같은 특성을 가진 위상 공간 내의 모든 점 b의 집합이다.

A의 임의의 열린 근린N에 대해 모든 실제 t > T에 대해 f(t,b) n N이 되는 양의 상수T가 존재합니다.

처음 두 개의 속성을 가진 A의 적절한(빈 상태 아님) 하위 집합이 없습니다.

흡인 분지에 A가 포함된 열린 집합이 포함되어 있으므로 A에 충분히 가까운 모든 점이 A에 끌립니다.어트랙터의 정의는 위상공간에 대한 메트릭을 사용하지만 결과 개념은 일반적으로 위상공간의 토폴로지에만 의존합니다.R의ⁿ 경우, 일반적으로 유클리드 노름이 사용된다.

유인자에 대한 다른 많은 정의들이 문헌에서 나타난다.예를 들어, 어떤 저자는 유인자가 (매력자가 되는 점을 막는) 양의 측정치를 가질 것을 요구하고, 다른 저자는 B(A)가 ^[5]이웃이 되는 요건을 완화한다.

어트랙터의 종류

어트랙터는 동적 시스템의 위상 공간의 일부 또는 하위 집합입니다.1960년대까지 유인기는 3차원 공간의 점, 선, 표면 및 단순한 영역과 같은 위상 공간의 단순한 기하학적 부분 집합으로 여겨졌다.당시에는 위상학적으로 야생 집합과 같이 단순한 기하학적 하위 집합으로 분류할 수 없는 더 복잡한 유인기가 알려져 있었지만 취약한 이상으로 간주되었다.Stephen Smale은 그의 말발굽 지도가 견고하고 그것의 흡인기가 칸토르 세트의 구조를 가지고 있다는 것을 보여줄 수 있었다.

두 개의 단순 유인기는 고정점과 한계 주기입니다.어트랙터는 다른 많은 기하학적 형상(위상 공간 하위 집합)을 취할 수 있습니다.그러나 이러한 집합(또는 그 안의 움직임)이 기본적인 기하학적 객체(예: 선, 표면, 구, 트로이드, 매니폴드)의 단순한 조합(예: 교차점과 결합)으로 쉽게 묘사될 수 없는 경우, 유인기는 이상한 유인기라고 불린다.

고정점

복소수 2차 다항식에 따라 진화하는 복소수에 대해 약하게 고정점을 끌어당긴다.위상 공간은 수평 복합 평면입니다. 수직 축은 복합 평면의 점이 방문하는 빈도를 측정합니다.피크 주파수 바로 아래의 복합 평면의 지점은 고정점 어트랙터입니다.

함수 또는 변환의 고정점은 함수 또는 변환에 의해 자신에게 매핑되는 점입니다.동적 시스템의 진화를 일련의 변환으로 간주하면 각 변환에서 고정된 점이 있을 수도 있고 없을 수도 있습니다.동적 시스템이 진화하는 최종 상태는 감쇠된 진자의 중앙 하단 위치, 유리잔에 물을 흘리는 수준과 평탄한 물줄기 또는 그릇의 하단 중앙과 같은 해당 시스템의 진화 함수의 매력적인 고정점에 해당합니다.그러나 동적 시스템의 고정점이 반드시 시스템의 매력인 것은 아닙니다.예를 들어, 구르는 대리석이 들어 있는 그릇을 뒤집고 그 위에 대리석이 균형을 이룬다면 그릇의 중앙 바닥(현재의 상단)은 고정된 상태이지 끌림쇠가 아니다.이것은 안정된 평형과 불안정한 평형의 차이에 해당합니다.반전된 그릇(언덕) 위에 대리석이 있는 경우, 그릇(언덕)의 꼭대기에 있는 점은 고정점(균형)이지만 유인체(불안정 평형)가 아니다.

또한 적어도 1개의 고정점을 갖는 물리 다이내믹 시스템은 고정점, 마찰, 표면 거칠기, 변형(탄성 및 소성 모두) 및 양자역학의 ^[6]비선형 다이내믹스를 포함한 물리세계의 역학 현실로 인해 항상 여러 개의 고정점과 유인기를 가진다.뒤집힌 그릇 위에 있는 대리석의 경우 그릇이 완벽하게 반구처럼 보여도, 대리석의 구형은 현미경으로 조사하면 훨씬 복잡한 표면으로 접촉하면 모양이 변하거나 변형된다.모든 물리적 표면은 여러 봉우리, 계곡, 안장점, 능선, 협곡 및 ^[7]평야로 이루어진 거친 지형을 가지고 있는 것을 볼 수 있습니다.이 지표면 지형에는 정지점 또는 고정점으로 간주되는 많은 점(및 이 미세한 지형에서 비슷하게 거친 대리석이 굴러다니는 동적 시스템)이 있으며, 그 중 일부는 유인기로 분류됩니다.

유한한 점수

이산 시간 시스템에서 어트랙터는 순차적으로 방문하는 유한한 수의 점의 형태를 취할 수 있다.이 점들은 각각 주기점이라고 불린다.이는 로지스틱 맵에서 알 수 있습니다.로지스틱 맵은 특정 파라미터 값에 따라 1점, 2점ⁿ, 3점, 3×2점ⁿ, 4점, 5점 또는 지정된 양의 정수 점으로 구성된 어트랙터를 가질 수 있습니다.

제한 주기

한계 주기는 분리된 연속 동적 시스템의 주기적 궤도입니다.순환 유인기에 관한 거야예를 들어 시계추의 흔들림이나 휴식 중의 심장 박동 등이 있습니다.이상적인 진자의 한계 주기는 궤도가 분리되어 있지 않기 때문에 한계 주기 유인기의 예가 아니다. 이상적인 진자의 위상 공간에서는 주기 궤도의 어느 지점 근처에 다른 주기 궤도에 속하는 다른 점이 있기 때문에 이전 궤도는 끌어당기지 않는다.마찰이 있는 물리적 진자의 경우 정지 상태는 고정점 유인기가 됩니다.시계추와 다른 점은 사이클을 유지하기 위해 탈출 메커니즘에 의해 에너지가 주입된다는 것입니다.

Van der Pol 단계 초상화: 매력적인 한계 사이클

한계 토러스

한계 주기 상태를 통해 시스템의 주기적 궤도에 두 개 이상의 주파수가 있을 수 있습니다.예를 들어, 물리학에서, 한 주파수는 행성이 별을 도는 속도를 지시하는 반면, 두 번째 주파수는 두 물체 사이의 거리에서의 진동을 설명할 수 있습니다.이러한 주파수 중 두 개가 비합리적인 분율을 형성하면(즉, 비합리적인 경우), 궤적은 더 이상 닫히지 않고 한계 사이클이 한계 토러스가 됩니다.N개의 부정합 주파수가 $있는 t$ 경우 이러한 종류의 유인기를 N -토러스라고 $합니다 t$ .예를 들어 2-토러스입니다.

이 어트랙터에 대응하는 시계열이 준주파급수입니다.비례하지 않는 주파수를 가진 N개의 주기적 함수(반드시 사인파는 아님)의_t 이산적으로 샘플링된 합계.이러한 시계열은 엄격한 주기성을 가지고 있지는 않지만, 그 전력 스펙트럼은 여전히 선명한 선으로만 구성되어 있습니다.

이상한 매력자

값 θ = 28, θ = 10, β = 8/3에 대한 로렌츠의 이상한 유인체 그림

프랙탈 ^{[clarification needed]}구조를 가지고 있으면 어트랙터가 이상하다고 불립니다.이것은 종종 그것의 역학이 혼돈할 때 일어나는 일이지만, 이상한 비혼돈적인 매력도 존재한다.만약 이상한 흡착기가 혼란스럽고 초기 조건에 민감한 의존성을 보인다면, 다양한 횟수 반복 후 흡착기에 임의로 가까운 두 개의 대체 초기 지점이 임의로 멀리 떨어져 있는 점(흡착기의 경계에 따라)과 다양한 다른 수의 i의 이후에 이어질 것이다.terations는 임의로 근접한 점으로 이어집니다.따라서 카오스 어트랙터가 있는 동적 시스템은 국소적으로 불안정하지만 전체적으로 안정적입니다. 즉, 일부 시퀀스가 어트랙터에 들어가면 인근 점들이 서로 분기하지만 어트랙터에서 ^[8]이탈하지는 않습니다.

이상한 유인체라는 용어는 David Ruelle과 Floris Takens가 유체 ^[9]흐름을 설명하는 시스템의 일련의 분기에서 비롯된 유인체를 설명하기 위해 만든 용어입니다.이상한 매력은 종종 몇 가지 방향에서 구별이 가능하지만, 어떤 매력은 캔터 먼지와 같아서 구별이 불가능합니다.이상한 유인기는 소음이 있는 곳에서 발견될 수 있으며, 여기에서 시나이-룰레-보웬 유형의 ^[10]불변 무작위 확률 측정을 지원하는 것으로 나타날 수 있다.

이상한 어트랙터의 예로는 더블 스크롤 어트랙터, 헤논 어트랙터, 뢰슬러 어트랙터 및 로렌츠 어트랙터가 있습니다.

어트랙터는 시스템의 진화를 특징짓습니다.

로지스틱 맵의 분기 다이어그램입니다.파라미터 r의 임의의 값의 어트랙터는

0<x<1

<

0<x<1

<

0<x<1

\

display style

0 <

x

<

1

의 세로좌표에 표시됩니다.점의 색상은 점

(r,x)

(r,x)

)(\

displaystyle (r,x))

을

(r,x)

10회 반복하는⁶ 동안 방문하는 빈도를 나타냅니다. 자주 발생하는 값은 파란색으로 표시되고 덜 자주 발생하는 값은 노란색으로 표시됩니다.분기는 r

r\approx 3.0

.0

({displaystyle

r

\approx

3.0

r\approx 3.0

r\approx 3.0

에 나타나며, 두

r\approx 3.5

분기는 r

style

3.5({

displaystyle

r

\approx

3.5

r\approx 3.5

r\approx 3.5

에 나타나며

r>3.6

r

r>3.6

3.

r>3.6

({

displaystyle

r

>3.6

의 동작이 단순화된 영역(흰색 줄무늬)에 따라

r>3.6

복잡해집니다.

동적 방정식의 매개 변수는 방정식이 반복될 때 진화하며, 특정 값은 시작 매개 변수에 따라 달라질 수 있습니다.예를 들어 잘 정리된 로지스틱 $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ n + $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ $=$ $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ x $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ ( 1 - $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ ){ $display x _$ { n + 1 $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ parameter $r$ 의 다양한 값에 대한 흡인 분지를 그림에 나타냅니다.r $r=2.6$ $.$ 6 { $displaystyle$ r $= 2$ .6 $r=2.6$ 인 경우 $x<0$ x < $x<0$ { $displaystyle$ x < $0}$ 의 $x<0$ 모든 $x>1$ 시작 x 값은 음의 무한대로 빠르게 이어집니다. x $x>1$ > $x>1$ { $displaystyle$ x > $1$ 의 $x>1$ x 값도 음의 무한대로 이어집니다.단 $0<x<1$ 0 < $0<x<1$ < $0<x<1$ \ $display$ 0 $< x$ < $1$ }의 $0<x<1$ $0<x<1$ x 값은 $x\approx 0.615$ x $x\approx 0.615$ 0. $x\approx 0.615$ (\ $displaystyle$ x\ $about$ 0. $615$ 로 빠르게 수렴됩니다.즉, 이 r 값에서는 x의 단일 값이 함수 동작의 유인 요인이 됩니다.r의 다른 값에서는 여러 x 값을 참조할 수 있습니다.r이 3.2일 경우 시작 $0<x<1$ 이 $0<x<1$ 0 < $0<x<1$ x $0<x<1$ < $0<x<1$ \ $displaystyle$ 0 < $x$ < $1$ $）$ $x\approx 0.513$ 0 $x\approx 0.513$ $x\approx 0.513$ \ $displaystyle$ x \ $0$ 0. $513$ $x\approx 0.799$ 0 . $x\approx 0.799$ \ $displaystyle$ x \ $0$ 0 . $799$ r의 일부 값에서 흡착기는 단일점("고정점")이며, r의 다른 두 값에서는 x의 다른 값을 차례로 방문하거나(주기-배수 분기), 추가 두 배의 결과로 x의 임의의 숫자 k × 2ⁿ 값을 방문한다. 그러나 r의 다른 값에서는 x의 주어진 개수의 값을 차례로 방문한다.포인트의 ude를 방문합니다.따라서 하나의 동일한 동적 방정식은 시작 파라미터에 따라 다양한 유형의 유인기를 가질 수 있습니다.

어트랙션의 분지

흡인기의 유역은 반복이 정의되는 위상 공간의 영역이며, 해당 영역의 모든 점(초기 조건)이 점근적으로 흡인기로 반복된다.안정적인 선형 시스템을 위해 위상 공간의 모든 점이 흡인 분지에 있습니다.그러나 비선형 시스템에서 일부 점은 직접 또는 점근적으로 무한대에 매핑될 수 있는 반면, 다른 점은 다른 흡인기에 점근적으로 매핑될 수 있다. 다른 초기 조건은 비흡인점 또는 ^[11]사이클에 직접 매핑될 수 있다.

선형 방정식 또는 시스템

균질한 $x_{t}=ax_{t-1}$ $x_{t}=ax_{t-1}$ $x_{t}=ax_{t-1}$ $=$ $x_{t}=ax_{t-1}$ x $x_{t}=ax_{t-1}$ - $x_{t}=ax_{t-1}$ 1 ({ $style x_$ {t}= $ax_{t-1$ })의 단일 제곱(변수) 선형 차분 방정식은 0을 제외한 모든 초기 지점에서 a > 1이면 $x_{t}=ax_{t-1}$ 무한대로 분산된다. 따라서 흡인체가 없으므로 흡인분지가 없다.단, 수선상의 모든 점이 점근적으로 (또는 0의 경우 직접) 0에 매핑되어 있는 경우, 0이 유인기이며, 수선 전체가 유인기입니다.

마찬가지로 동적 벡터 X의 $X_{t}=AX_{t-1}$ 행렬 차분 방정식 X $X_{t}=AX_{t-1}$ $X_{t}=AX_{t-1}$ $X_{t}=AX_{t-1}$ $X_{t}=AX_{t-1}$ t - $X_{t}=AX_{t-1}$ \ $displaystyle$ X _ { t } $=$ AX_ ${t-1}:$ A의 $X_t=AX_{t-1}$ 최대 고유값이 절대값에서 1보다 크면 동적 벡터 A의 모든 요소가 무한대로 분산됩니다. 유인기도 없고 흡인분지도 없습니다.그러나 가장 큰 고유값이 1보다 작으면 모든 초기 벡터는 유인체인 0 벡터에 점근적으로 수렴된다. 잠재적 초기 벡터의 전체 n차원 공간은 유인력의 분지다.

선형 미분 방정식에도 유사한 기능이 적용됩니다.스칼라 $dx/dt=ax$ $dx/dt=ax$ x / $dx/dt=ax$ $dx/dt=ax$ $dx/dt=ax$ {\ $displaystyle$ dx $/dt=ax}$ 에 $dx/dt =ax$ 따라 a > 0이면 0을 제외한 모든 x의 초기값이 무한대로 분산되지만 a < 0이면 값 0으로 어트랙터에 수렴하여 전체 숫자선이 0의 흡인력이 됩니다.그리고 $dX/dt=AX$ d $dX/dt=AX$ / $dX/dt=AX$ $dX/dt=AX$ $dX/dt=AX$ $dX/dt=AX$ X $dX/dt=AX$ { $displaystyle dX$ / $dt = AX$ }는 $dX/dt=AX$ 행렬 A의 고유값 중 하나가 양의 경우 0의 벡터를 제외한 모든 초기점으로부터 발산하지만, 모든 고유값이 음의 경우 0의 벡터는 전체 위상 공간인 어트랙터이다.

비선형 방정식 또는 시스템

비선형 방정식 또는 시스템은 선형 시스템보다 더 다양한 동작을 발생시킬 수 있습니다.한 가지 예는 비선형 표현의 근을 반복하는 뉴턴의 방법이다.표현식에 두 개 이상의 실제 루트가 있는 경우 반복 알고리즘의 일부 시작점은 점근적으로 루트 중 하나로 이어지고 다른 시작점은 다른 루트로 이어집니다.표현식의 어근에 대한 유인 분지는 일반적으로 단순하지 않다. 단순히 한 어근에 가장 가까운 점들이 모두 매핑되어 인근 점으로 구성된 유인 분지를 제공하는 것이 아니다.매력의 분지는 수적으로 무한할 수 있고 임의로 작을 수 있습니다.예를 ^[12]들어 $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$ f $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$ $=$ $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$ - $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$ $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$ - $f(x)=x^{3}-2x^{2}-11x+12$ x + $({displaystyle$ f $(x$ )= $x^{3}-2x^{2}-11x+12$ 의 경우, 다음과 같은 초기 조건이 연속적인 흡인 분지에 있습니다.

뉴턴의 방법을 사용하여 x - 1 = 0을 풀기⁵ 위한 복소 평면의 흡인 분지. 같은 색 영역의 점은 동일한 근에 매핑됩니다. 더 어두운 것은 수렴하기 위해 더 많은 반복이 필요하다는 것을 의미합니다.

2.35287527은 4로 수렴한다.

2.35284172는 -3으로 수렴한다.

2.35283735는 4로 수렴한다.

2.352836327은 -3으로 수렴한다.

2.352836323은 1로 수렴합니다.

뉴턴의 방법은 또한 그들의 뿌리를 찾기 위해 복잡한 함수에도 적용될 수 있다.각 루트는 복잡한 평면에 흡인 분지를 가지고 있으며, 이러한 분지는 그림과 같이 매핑할 수 있습니다.볼 수 있듯이, 특정 뿌리에 대한 흡인력의 조합 분지는 많은 단절된 영역을 가질 수 있다.많은 복잡한 함수에서 흡인 분지의 경계는 프랙탈입니다.

편미분 방정식

포물선 편미분 방정식은 유한 차원 유인체를 가질 수 있다.방정식의 확산 부분은 더 높은 주파수를 감쇠시키고 경우에 따라서는 글로벌 어트랙터로 이어집니다.긴츠부르크-란다우, 쿠라모토-시바신스키, 2차원 강제 나비에-스토크스 방정식은 모두 유한 차원의 글로벌 어트랙터를 갖는 것으로 알려져 있습니다.

압축할 수 없는 3차원 나비에용–주기적인 경계 조건의 스토크스 방정식을 나타냅니다. 만약 그것이 전역 유인기를 가지고 있다면, 이 유인기는 유한 ^[13]차원이 됩니다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ 이미지와 비디오는 Chaoscope 프리웨어(cf)를 사용하여 Nicholas Despres가 원래 계산한 2차 3D Sprott형 다항식의 어트랙터를 보여준다.https://www.chaoscope.org/gallery.htm 및 파라미터에 대한 링크된 프로젝트 파일)
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추가 정보

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에드워드 N. 로렌츠(1996) 혼돈의 정수 ISBN 0-295-97514-8
제임스 글릭(1988) 카오스: 새로운 과학 ISBN 0-14-009250-1 만들기

외부 링크

[1] 이미지와 비디오는 Chaoscope 프리웨어(cf)를 사용하여 Nicholas Despres가 원래 계산한 2차 3D Sprott형 다항식의 어트랙터를 보여준다.https://www.chaoscope.org/gallery.htm 및 파라미터에 대한 링크된 프로젝트 파일)

[2] Weisstein, Eric W. "Attractor". MathWorld. Retrieved 30 May 2021.

[3] Carvalho, A.; Langa, J.A.; Robinson, J. (2012). Attractors for infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems. Vol. 182. Springer. p. 109.

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[11] Strelioff, C.; Hübler, A. (2006). "Medium-Term Prediction of Chaos". Phys. Rev. Lett. 96 (4): 044101. Bibcode:2006PhRvL..96d4101S. doi:10.1103/PhysRevLett.96.044101. PMID 16486826.

[12] 덴스, 토마스, "큐빅스, 혼돈 그리고 뉴턴의 방법", 수학 공보 81, 1997년 11월, 403-408.

[13] Geneviéve Raugel, 편미분방정식의 글로벌 어트랙터, Elsevier, 2002, 페이지 885–982.

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