안정성 이론

선형 자율

x'=Ax,

의 Poincaré 지도 x their

=

x'=Ax,

x ,

x'=Ax,

{

display style

x'=

Ax,

}의

x'=Ax,

특성에 따라 안정도 또는 불안정도를 분류한 안정성 다이어그램.안정성은 일반적으로 ^[1]다이어그램의 왼쪽에서 증가합니다.일부 싱크, 소스 또는 노드는 평형점입니다.

수학에서 안정성 이론은 초기 조건의 작은 섭동 하에서 미분 방정식의 해와 동적 시스템의 궤적의 안정성을 다룬다.예를 들어, 열 방정식은 초기 데이터의 작은 섭동이 최대 원리의 결과로 나중에 온도에 작은 변화를 일으키기 때문에 안정적인 편미분 방정식이다.편미분방정식에서는 L규범 또는 Sup norm을 사용하여^p 함수 사이의 거리를 측정할 수 있으며, 미분기하학에서는 그로모프-하우스도르프 거리를 사용하여 공간 사이의 거리를 측정할 수 있다.

동적 시스템에서, 궤도는 어떤 점의 전진 궤도가 충분히 작은 이웃에 있거나 작은 이웃(아마도 더 큰)에 머무르는 경우 랴푸노프 안정이라고 불립니다.궤도의 안정성 또는 불안정성을 증명하기 위해 다양한 기준이 개발되었습니다.유리한 상황에서 질문은 행렬의 고유값을 포함하는 잘 연구된 문제로 축소될 수 있다.보다 일반적인 방법은 랴푸노프 함수를 포함합니다.실제로는 다양한 안정성 기준 중 하나가 적용된다.

동적 시스템 개요

미분 방정식과 동적 시스템의 질적 이론의 많은 부분은 해와 궤적의 점근적 특성, 즉 오랜 시간 후에 시스템에서 일어나는 일을 다룬다.가장 단순한 종류의 행동은 평형점이나 고정된 점, 그리고 주기적인 궤도에 의해 나타난다.특정 궤도를 잘 이해한다면, 초기 조건의 작은 변화가 유사한 행동을 야기할 수 있는지 묻는 것은 당연하다.안정성 이론은 다음과 같은 문제를 해결합니다.가까운 궤도는 주어진 궤도에 무한히 근접할 것인가?주어진 궤도로 수렴될까요?전자의 경우 궤도는 안정적이라고 하고, 후자의 경우 점근 안정이라고 하며, 주어진 궤도는 끌어당기는 것이라고 한다.

1차 상미분방정식의 자율계에 대한 $f_{e}$ 해 $f_{e}$ {\ $displaystyle f_{$ e $f_{e}$ }}는 다음과 같다.

안정적인 모든( 작은)ϵ>에 0{\displaystyle \epsilon>0}aδ>0{\displaystyle \delta>0}가 모든 해결책 f(t){\displaystyle f(t)}거리 δ 이내의 초기 조건을 가지{\delta\displaystyle}i.e. ‖ f(t 0)− fe‖<>δ{)\displaystyle f(t_{0})-f_ 존재한다.{e}\<>\delta} $\|f(t_{0})-f_{e}\|<\delta$ $\epsilon$ $t\geq t_{0}$ $t\geq t_{0}$ $t\geq t_{0}$ {\ $displaystyle$ t $\geq$ t_ ${0$ 에 $\epsilon$ 대해 평형의 거리 $†$ {\ $displaystyle$ \e} - $\|f(t)-f_{e}\|<\epsilon$ e $\|f(t)-f_{e}\|<\epsilon$ $\f(t$ $)-$ $f_{e}\<\silon$ $}$ 을 $\| f(t) - f_e \| < \epsilon$ 유지합니다.
만약 일정 Asymptotically고, δ 0>0{\displaystyle \delta_{0}>. 0}일 경우 그러한 의견이 다를 때마다‖ f(t 0)− fe‖<>δ 0{\displaystyle)f(t_{0})-f_{e}\<>\delta _{0}}으로 존재하는 t→ ∞{\displaystyle t\rightar 다음}(t)→ fe{\displaystyle f(t)\rightarrow f_{e}f 안정적이다.연속 \infty} $t\rightarrow \infty$ 를 클릭합니다.

안정성은 작은 섭동에서도 궤적이 너무 많이 변하지 않는다는 것을 의미한다.주변 궤도가 특정 궤도에서 역추적되는 반대 상황도 관심거리다.일반적으로, 초기 상태를 어떤 방향으로 교란시키면, 그 궤적은 주어진 궤적에 점근적으로 접근하고 다른 방향에서는 그것으로부터 멀어지는 궤적에 접근하게 된다.또한 섭동된 궤도의 동작이 더 복잡해지고(모이거나 완전히 탈출하지 않음), 안정성 이론이 역학에 대한 충분한 정보를 제공하지 않는 방향도 있을 수 있습니다.

안정성 이론의 핵심 아이디어 중 하나는 섭동 중인 궤도의 질적 거동이 궤도 근처의 시스템의 선형화를 사용하여 분석될 수 있다는 것입니다.특히, n차원 위상 공간을 갖는 매끄러운 동적 시스템의 각 평형에서, 고유값이 인근 점의 거동을 특징짓는 특정 n×n 행렬 A가 있다(하트만-그로브만 정리).보다 정확하게 말하면, 모든 고유값이 음의 실수 또는 음의 실수 부분과 복소수인 경우, 지점은 안정적인 유인 고정점이 되며, 인근 점들은 지수 비율, cf 랴푸노프 안정성 및 지수 안정성으로 수렴된다.어떤 고유값도 순수하게 허수(또는 0)가 아닌 경우, 유인 및 역방향은 실제 부분이 음수이고 각각 양의 고유값을 갖는 행렬 A의 역방향과 관련된다.유사한 진술은 더 복잡한 궤도의 섭동에 대해 알려져 있다.

고정점의 안정성

궤도의 가장 단순한 종류는 고정점, 즉 평형이다.기계 시스템이 안정된 평형 상태일 경우, 작은 푸시는 예를 들어 진자의 경우처럼 작은 진동을 국소적으로 발생시킵니다.또한 댐핑이 있는 시스템에서는 안정된 평형 상태가 점근적으로 안정적이다.한편, 언덕 꼭대기에 놓여 있는 공과 같은 불안정한 평형의 경우, 작은 누름으로 인해 원래 상태로 수렴될 수도 있고 수렴되지 않을 수도 있는 큰 진폭의 움직임이 발생한다.

선형 시스템의 경우 안정성에 대한 유용한 테스트가 있습니다.비선형 시스템의 안정성은 종종 선형화의 안정성에서 추론할 수 있습니다.

지도

f: $R$ → $R$ 을 $고정점$ a, $f (a)$ = $a$ 를 갖는 연속 미분 가능 함수라고 $하자$ . $함수$ f를 반복하여 얻은 동적 시스템을 생각해 보자.

\displaystyle x_{n+1}=f(x_{n}),\display n=0,1,2,\ldots.}

$고정점$ a는 a에서 $f$ 의 도함수의 절대값이 1보다 작으면 안정적이고, 1보다 크면 불안정하다.이는 a 지점 $근처$ 에서 함수 $f$ 가 $기울기$ f $'(a)$ 를 갖는 선형 근사치를 가지기 때문입니다.

\displaystyle f(x)\approx f(a)+f'(a)(x-a)}

따라서

(\displaystyle x_{n1}-a=f(x_{n}-a)-a\displayq f(a)+f'(a)-a=a+f'(x_{n}-a)-a=f'(a)(x_{n}-a)-to\frac {x_{n}-{n1}-{a}-{a}-{a}-}-{a}-}-a}-a}-to.

즉, 도함수는 연속적인 반복이 $고정점$ 에 접근하거나 고정점에서 벗어나는 속도를 측정하는 것을 의미합니다. $a$ 의 도함수가 정확히 1 또는 -1인 경우 안정성을 결정하기 위해 더 많은 정보가 필요합니다.

a, $J a (f)$ 에서 야코비 행렬의 관점에서 표현되는 $고정점$ a를 갖는 연속 미분 $가능$ 한 지도 $f n :$ $R n$ → R에는 유사한 기준이 있다.J의 $모든$ 고유값이 절대값이 1보다 작은 실수 또는 복소수이면 a는 $안정적$ 인 고정점이고, 둘 중 하나 이상의 절대값이 1보다 크면 a가 $불안정$ 합니다.n= $1$ 의 경우와 마찬가지로, 가장 큰 절대값이 1인 경우를 추가로 조사해야 합니다. Jacobian 행렬 검정은 결론을 내리지 못합니다.평활 다지관의 미분 형상에 대해서는 더 일반적으로 동일한 기준이 적용된다.

선형 자율 시스템

1차 상수 계수 선형 미분 방정식의 시스템의 고정점 안정성은 해당 행렬의 고유값을 사용하여 분석할 수 있습니다.

자율 시스템

(\displaystyle x'=AX, )

$여기$ 서 x $(t) r n$ $R$ 과 A는 실수 엔트리를 가진 $n \times n$ 행렬이며, 상수 해를 가진다.

(\displaystyle x(t)=0).}

(다른 언어에서 $원점$ 0 $δ n$ R은 대응하는 동적 시스템의 평형점입니다.)이 용액은 A의 $모든$ 고유값 $θ$ 에 대해 Re $(di)$ < $0$ 인 경우에만 t $\to$ δ("미래")로서 점근적으로 안정적이다. 마찬가지로 A의 $모든$ 고유값 $θ$ 에 대해 $Re(di)$ > $0$ 인 $경우$ 에만 t $\to$ -diag("과거")로서 점근적으로 안정적이다.

선형 시스템에 대한 원점의 안정성을 결정하기 위해 실제로 이 결과를 적용하는 것은 Routh-Hurwitz 안정성 기준에 의해 촉진된다.행렬의 고유값은 특성 다항식의 근입니다.실수 계수를 갖는 변수 중의 다항식은 모든 근의 실수 부분이 엄밀하게 음수일 경우 후르비츠 다항식이라고 불립니다.Routh-Hurwitz 정리는 루트 계산을 회피하는 알고리즘에 의한 후르비츠 다항식의 특성화를 의미한다.

비선형 자율 시스템

비선형 시스템의 고정점의 점근 안정성은 종종 하트만-그로브만 정리를 사용하여 확립될 수 있다.

$v$ 가 지점 $p,$ $v (p$ ) = 0에서 사라지는 $R$ 의ⁿ C-벡터¹ 필드라고 가정합니다. 그러면 대응하는 자율 시스템이

x'=v(x)

일정한 솔루션을 가지다

\displaystyle x(t)=p.}

$J$ $(v)$ 가 $p점$ 에서 벡터장 v의 $n \times$ n 야코비 행렬이라고 $하자 p$ .J의 $모든$ 고유값이 엄밀하게 음의 실수 부분을 가지면 솔루션이 점근적으로 안정적입니다.이 조건은 Routh-Hurwitz 기준을 사용하여 시험할 수 있다.

일반적인 동적 시스템용 Lyapunov 기능

동적 시스템의 랴푸노프 안정성 또는 점근 안정성을 확립하는 일반적인 방법은 랴푸노프 기능을 사용하는 것이다.

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

^ Egwald 수학 - 선형 대수: 선형 미분 방정식 시스템: 선형 안정성 분석 접근 2019년 10월 10일.

Philip Holmes and Eric T. Shea-Brown (ed.). "Stability". Scholarpedia.

외부 링크

마이클 슈라이버의 안정적 평형, 울프람 시연 프로젝트.

[1] Egwald 수학 - 선형 대수: 선형 미분 방정식 시스템: 선형 안정성 분석 접근 2019년 10월 10일.

[1]

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목차

동적 시스템 개요

고정점의 안정성

지도

선형 자율 시스템

비선형 자율 시스템

일반적인 동적 시스템용 Lyapunov 기능

「」를 참조해 주세요.

레퍼런스

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