수소성 원자

수소 같은 원자(또는 "수소 원자")는 발란스 전자가 한 개 있는 어떤 원자나 이온이다. 이 원자들은 수소와 동전자적이다. 수소형 원자의 예로는 수소 그 자체, Rb와 Cs와 같은 모든 알칼리 금속, Ca와⁺ Sr과⁺ 같은 단일 이온화된 알칼리성 접지 금속, Li와²⁺ Be와³⁺ 같은 다른 이온이 포함된다. 수소 같은 원자는 원자핵과 모든 핵심 전자와 단일 발란스 전자로 구성된 양전하를 띤 노심을 포함한다.

수소 원자에 대한 비상대론적 슈뢰딩거 방정식과 상대론적 디라크 방정식은 2입자 물리 시스템의 단순성 때문에 분석적으로 해결할 수 있다. 일렉트로닉 파동 함수 솔루션은 수소 같은 원자 궤도라고 불린다. 수소처럼 생긴 원자는 수소 원자 궤도와 유사성이 있기 때문에 중요하다.

다른 시스템들은 무오늄(항미무온을 도는 전자), 포지트로늄(전자와 양전자), 특정 이국적인 원자(다른 입자로 형성된 원자) 또는 라이드버그 원자(한 전자가 너무 높은 에너지 상태에 있어서 나머지 원자를 점 전하를 효과적으로 볼 수 있다)와 같은 "수소 같은 원자"라고도 불릴 수 있다.

슈뢰딩거 용액

비-상대성이론적인 슈뢰딩거 방정식에 대한 해법에서 수소 같은 원자 궤도는 1전자의 각운동 연산자 L과 그 z 성분_z L의 고유 기능이다. 수소 같은 원자 궤도(원자 궤도)는 주 양자수 n, 각운동량 양자수 l, 자기 양자수 m의 값으로 고유하게 식별된다. 에너지 고유값은 l나 m에 의존하지 않고 오로지 n에 의존한다. 이들에 대해서는 반드시 Aufbau 원리의 무대를 설정하면서 두 개의 값인 스핀 양자수_s m = ±310을 추가해야 한다. 이 원리는 더 많은 전자 원자의 전자 구성에서 4개의 양자 숫자의 허용 값을 제한한다. 수소 같은 원자에서는 모든 원자가 고정 n과 l의 궤도를 퇴보하고 m과 s는 특정 값들(아래 참조) 사이에서 원자 껍데기를 형성한다.

둘 이상의 전자를 가진 원자나 이온의 슈뢰딩거 방정식은 전자들 사이의 쿨롱 상호작용에 의해 부과되는 계산상의 어려움 때문에 분석적으로 해결되지 않았다. 양자 기계적 계산에서 파동 기능이나 기타 특성을 얻으려면 수치적 방법을 적용해야 한다. (해밀턴계의) 구형 대칭 때문에 원자의 총각운동량 J는 보존량량이다. 많은 수적 절차는 1전자 연산자 L과 L의_z 고유 기능인 원자 궤도 산출물에서 시작한다. 이러한 원자 궤도의 방사형 부분은 때로는 숫자표 또는 때로는 슬레이터 궤도표일 수 있다. 각운동량 결합에 의해 J²(그리고 아마도 S²)의 많은 전자 고유 기능이 구성된다.

양자 화학 계산에서 수소 같은 원자 궤도는 완전하지 않기 때문에 팽창 기준으로 작용할 수 없다. 완전한 집합을 얻기 위해 즉, 힐버트 일렉트로닉 공간을 모두 확장하기 위해 비제곱 통합 연속체(E > 0) 상태가 포함되어야 한다.^[1]

가장 단순한 모델에서 수소 같은 원자/이온의 원자 궤도는 슈뢰딩거 방정식에 대한 해결책이다. 이 경우 잠재 용어는 쿨롱의 법칙에 의해 주어지는 잠재력이다.

${\displaystyle V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}{\frac{Ze^{r}}}}$

어디에

• ε은₀ 진공상태의 순발력이다.
• Z는 원자 번호(핵에 있는 양성자 수)이다.
• e는 기본 전하(전자 전하)이다.
• r은 핵으로부터 전자의 거리다.

웨이브 기능을 기능의 산물로 작성한 후:

${\displaystyle \psi(r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,}$

(구면 좌표에서) Y l m ${\$이 구면 고조파인 경우 다음과 같은 슈뢰딩거 방정식에 도달한다.

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+V(r)R(r)=ER(r),}$

여기서 $[\displaystyle \mu }$은(는) 대략 전자의 질량(더 정확히 말하면 전자와 핵으로 구성된 시스템의 감소된 질량이다)이며, μ{\$displaystyle \hbar$}은 감소된 플랑크 상수다.

l 값이 다르면 각운동량이 다른 용액이 나오는데 여기서 l(비음수 정수)는 궤도 각도운동량의 양자수다. 자기 양자수 m(만족- l ≤ m ≤ l ${\displaystyle -l\leq m\leq l$은 z축에 궤도 각도 모멘텀의 (정량화) 투영이다. 이 방정식의 해결로 이어지는 단계는 여기를 참조하십시오.

비-상대파 기능 및 에너지

l와 m 외에도, R에 배치된 경계 조건으로부터 세 번째 정수 n > 0이 나온다. 위의 방정식을 푸는 함수 R과 Y는 양자수라 불리는 이들 정수의 값에 따라 달라진다. 파형 함수에 의존하는 양자 숫자의 값을 첨자화하는 것이 관례다. 정규화된 파형 함수의 최종 표현식은 다음과 같다.

${\displaystyle \psi _{n\ell m}=R_{n\ell }(r)\,Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle R_{n\ell }(r)=-{\sqrt {{\왼쪽({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\오른쪽)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{{2n{(n+\ell )!}}}}{-Zr/{na_{\mu }}}\왼쪽({\frac {2Zr}{na_{\mu }}\오른쪽)^{\ell }{n-\ell -1}^{{\l_{na-1}^{\c{2Zr}{na_{mu}}\}오른쪽).$

여기서:

• L n -ℓ- 1( 2 ℓ+ 1) ${\$은 일반화된 라구에르 다항식이다.
• ${\displaystyle a_{\mu }={4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}:}={\mu e^{{}}{\hbar c}}}}={m_{\mathrm{e}}}}}}}}}}{\mu }a_{0}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 α ${\displaystyle \alpha }$은(는) 미세 구조 상수다. Here, ${\displaystyle \mu }$ is the reduced mass of the nucleus-electron system, that is, ${\displaystyle \mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}}}$ where ${\displaystyle m_{\mathrm {N} }}$ is the mass of the nucleus. 전형적으로 핵은 전자보다 훨씬 질량이 크기 때문에 μm e .${\displaystyle \m$ \$mu$\약 $m_{\mathrm {e}}}}($그러나 포지트로늄 μ= m /2.${\displaystyle \mu =m_{\mathrm}$$}/2$).}}) 0${\$는 보어 반지름이다.

• ${\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\mu }^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.}$
• Y ℓ m (θ ,ϕ) ${\$ 함수는 구형 고조파다.

각도파 함수로 인한 패리티는( -1 ) ℓ ${\$$}^{\ell$ }}}.

양자수

양자 번호 n ${\displaystyle n},$ , ${\displaystyle \ell }$ 및 m ${\displaystyle m}$은(는) 정수이며 다음과 같은 값을 가질 수 있다.

${\displaystyle n=1,2,3,4,\display \,}$

${\displaystyle \ell =0,1,2,\n-1\,}$

${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\ldots,0,\ldots,\ell -1,\ell \,}$

이러한 양자 수에 대한 집단 이론적 해석은 이 문서를 참조하십시오. 무엇보다도, 이 기사는 왜 < n ${\$ 및 -ℓ ≤ m ≤ ≤{ {\$displaystyle$ -$\el \leq \,\ell$ }의 집단 이론적 이유를 제시한다.

각 운동량

각 원자 궤도들은 각운동량 L과 연관되어 있다. 벡터 연산자로, 제곱 L² ≡ L_x² + L + L의_y²_z² 고유값은 다음과 같다.

${\displaystyle {\hat{L}^{2}Y_{\ell m}=\hbar ^{2}\ell(\ell +1)Y_{\ellm}$

임의의 방향으로의 이 벡터의 투영은 정량화된다. 임의의 방향을 z라고 하는 경우, 다음과 같이 정량화를 한다.

${\displaystyle {\hat{L}_{z}Y_{\ell m}=\hbar mY_{\ell m}}$

여기서 m은 위에서 설명한 대로 제한된다. L과² L은_z 통근하며 공통의 고유 상태를 가지고 있으며, 이는 하이젠베르크의 불확실성 원리에 따른다는 점에 유의한다. L과_x L은_y L과_z 함께 통근하지 않기 때문에 세 요소 모두 고유상태인 상태를 동시에 찾을 수 없다. 따라서 x와 y 성분의 값은 예리하지 않지만 유한 폭의 확률 함수에 의해 주어진다. x와 y 성분이 잘 결정되지 않았다는 사실은 z축을 따라 구성 요소가 날카롭기는 하지만 각도 모멘텀 벡터의 방향도 잘 결정되지 않음을 의미한다.

이러한 관계들은 전자의 총각 운동량을 주지 않는다. 그러기 위해서는 전자 스핀이 반드시 포함되어야 한다.

각운동량의 이러한 정량화는 1913년 닐스 보어(Bohr 모델 참조)가 제안한 것과 매우 유사하며, 파동작용에 대한 지식은 없다.

스핀-오빗 상호 작용 포함

실제 원자에서 움직이는 전자의 회전은 상대론적 효과를 통해 핵의 전기장과 상호작용할 수 있는데, 이는 스핀-오빗 상호작용이라고 알려진 현상이다. 이 결합을 고려할 때, 스핀과 궤도 각도 운동량은 더 이상 보존되지 않으며, 이것은 전자 전자가 미리 처리함으로써 그려질 수 있다. 따라서 양자수 l, m, 스핀 m의_s 투영을 패리티의 양자수뿐만 아니라 총 각운동량( 스핀 포함), j, m을_j 나타내는 양자수로 대체해야 한다.

결합을 포함하는 용액은 Dirac 방정식의 다음 절을 참조하십시오.

디락 방정식 해결

1928년 영국에서 폴 디락은 특수상대성이성과 완전히 양립할 수 있는 방정식을 발견했다. 이 방정식은 같은 해(점 전하를 중심으로 단순한 쿨롱 전위를 가정) 수소 같은 원자에 대해 독일인 월터 고든에 의해 해결되었다. 슈뢰딩거 방정식처럼 하나의 (아마도 복잡할 것 같은) 함수 대신, 비스파이너를 구성하는 네 가지 복잡한 함수를 찾아야 한다. 첫 번째와 두 번째 기능(또는 스피너의 구성 요소)은 세 번째와 네 번째 구성 요소와 마찬가지로 "업"과 "다운" 상태를 회전하기 위해 (일반적으로) 대응한다.

"spin up"과 "spin down"이라는 용어는 일반적으로 z 방향을 선택한 것과 관련이 있다. 전자는 스핀 업과 스핀 다운의 중첩 위치에 있을 수 있는데, 이것은 스핀 축이 어떤 다른 방향을 가리키는 것에 해당한다. 스핀 상태는 위치에 따라 달라질 수 있다.

핵 근처에 있는 전자는 세 번째와 네 번째 성분에 대해 반드시 0이 아닌 진폭을 가진다. 핵에서 멀리 떨어져 있을 때 이것들은 작을 수 있지만, 핵 근처에서는 커진다.

해밀턴의 고유 기능은 확실한 에너지를 가진 함수(따라서 위상 변화를 제외하고 진화하지 않음)를 의미하며, 양자수 n만이 아니라(슈뢰딩거 방정식의 경우), n과 양자수 j가 총 각운동량 양자수로 특징지어진다. 양자수 j는 세 개의 각도 모멘텀a의 제곱합을 j(j+1)로 결정한다(시간 ħ², 플랑크 상수 참조). 이러한 각도 모멘텀은 궤도 각도 모멘텀(ψ의 각도 의존성과 관련됨)과 스핀 각도 모멘텀(회전 상태와 관련됨)을 모두 포함한다. j의 차이로 인해 동일한 주 양자수 n의 상태의 에너지가 분할되는 것을 미세구조라고 한다. 총 각운동량 양자수 j의 범위는 1/2 ~ n-1/2이다.

주어진 상태의 궤도는 두 개의 방사상 함수와 두 개의 각도 함수를 사용하여 기록할 수 있다. 방사형 함수는 주 양자수 n과 정수 k에 따라 달라지며, 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle k={\preas}-j-{\tfrac {1}{1}:{1}{{2}}&{\text{1}{1}{1}{1}:{2}}:\j+{\tfrac {1}{1}{{1}j=\lif -{\tfrc}{1}:{1}{1}:{1}:{1}:{2}}:2}}:}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} {tfrase}}$

여기서 ℓ은 0부터 n-1까지의 범위인 방위 양자수다. 각도 함수는 k와 -j에서 j까지 1단계에 걸쳐 있는 양자수 m에 따라 달라진다. 상태는 문자 S, P, D, F et cetera를 사용하여 0, 1, 2, 3 et cetera(방사치 양자 번호 참조)와 같은 ℓ의 상태를 나타내며 첨자는 j를 나타낸다. 예를 들어, n=4에 대한 상태는 다음 표에 제시되어 있다(예: 4S_1/2)).

	m = −7/2	m = −5/2	m = −3/2	m = −1/2	m = 1/2	m = 3/2	m = 5/2	m = 7/2
k = 3, ℓ = 3		F5/2	F5/2	F5/2	F5/2	F5/2	F5/2
k = 2, ℓ = 2			D3/2	D3/2	D3/2	D3/2
k = 1, ℓ = 1				P1/2	P1/2
k = 0
k = −1, ℓ = 0				S1/2	S1/2
k = −2, ℓ = 1			P3/2	P3/2	P3/2	P3/2
k = −3, ℓ = 2		D5/2	D5/2	D5/2	D5/2	D5/2	D5/2
k = −4, ℓ = 3	F7/2	F7/2	F7/2	F7/2	F7/2	F7/2	F7/2	F7/2

이것들은 m을 주는 첨자로 추가적으로 라벨을 붙일 수 있다. 주 양자수 n을 가진 주가 2n이고², 그 중 4j+2가 허용된 j를 가진 주가 2j+1밖에 없는 가장 높은 주(j=n-1/2)를 제외한 나머지 주이다. dirac 방정식에 따라 n과 j의 값을 부여한 궤도들은 동일한 에너지를 가지기 때문에 그러한 에너지를 갖는 함수 공간의 기초를 형성한다.

에너지는 n과 k(j+1/2와 동일)의 함수로서 다음과 같다.

(물론 에너지는 사용하는 영점에 따라 달라진다.) 만약 Z가 137(어떤 알려진 원소보다 더 높음) 이상일 수 있다면 S와_1/2 P 궤도의 제곱근 안에 음의 값이 있을 것이고, 이는_1/2 그것들이 존재하지 않음을 의미한다. 슈뢰딩거 솔루션은 두 번째 식에서 내측 브래킷을 1로 교체하는 것에 해당한다. 슈뢰딩거 용액에서 계산한 가장 낮은 두 수소 상태 사이의 에너지 차이의 정확도는 약 9ppm(90μeV 너무 낮음, 약 10 eV 중 약 10 μeV)인 반면, 동일한 에너지 차이에 대한 디라크 방정식의 정확도는 약 3ppm(너무 높음)이다. 슈뢰딩거 솔루션은 항상 상태를 보다 정확한 디락 방정식보다 약간 높은 에너지에 둔다. Dirac 방정식은 상당히 정확하게 수소 수준을 제공한다(예를 들어, 4P_1/2 상태는 약 2×10⁻¹⁰ eV만 너무 높은 상태로 주어진다), 다른 것은 덜 그렇다(예를 들어, 2S_1/2 수준은 약 4×10⁻⁶ eV가 너무 낮다).^[2] 슈뢰딩거 용액보다 디락 방정식을 사용함으로써 발생하는 에너지의 수정은 α의² 순서가 되며, 이러한 이유로 α를 미세구조 상수라고 한다.

양자수 n, k, m에 대한 Dirac 방정식의 해법은 다음과 같다.

여기서 Ωs는 오른쪽에 표시된 두 개의 구형 고조파 함수의 열이다. Y a, b (θ ,ϕ) ${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )}$은 구형 고조파 함수를 나타낸다.

${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{case}(1)^{b}{\sqrt{2a+1}{4\pi{\frac {(a-b)!}{{(a+b)!}}}{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi }&{\text{{}a}0\\\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi )&{\text{{}a<0\end{case}}}}$

여기서 P a b ${\$는 연관된 범례 다항식이다. (Ω의 정의는 Y 0, 1 ${\$$0,1}$처럼 존재하지 않는 구형 고조파를 포함할 수 있지만, 그 위에 있는 계수는 0이 될 것이라는 점에 유의한다.)

여기 이러한 각 기능의 동작이 있다. 정규화 요인은 생략하여 식을 단순화한다.

${\displaystyle \Oomega _{-1,-1/2}}\propto {\binom {0}{1}}$

${\displaystyle \Oomega _{1,1/2}\propto {\binom {1}{0}}}$

${\displaystyle \Oomega_{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r}}$

${\displaystyle \Oomega_{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r}}}$

이들로부터 우리는 S 궤도_1/2(k = -1)에서 ψ의 상위 두 성분은 슈뢰딩거 S 궤도처럼 0 궤도 각도 운동량을 가지지만, 하위 두 성분은 슈뢰딩거 P 궤도 같은 궤도임을 알게 된다. P용액_1/2(k = 1)에서는 상황이 역전된다. 두 경우 모두 각 성분의 스핀은 z축 주위의 궤도 각도 모멘텀을 보상하여 z축 주위의 총 각도 모멘텀에 대한 올바른 값을 제공한다.

두 Ω 스피너는 다음과 같은 관계를 준수한다.

${\displaystyle \Oomega_{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\(x+iy)\r&z/r\end{pmatrix}\Oomega_{-k,m}}$

함수 g, k( r) ${\displaystyle g_{n,k}(r)}$ 및 f , k( r) ${\displaystyle f_{n,k}(r)}$을(를) 작성하려면 다음과 같이 스케일링 반지름 ρ을 정의하십시오.

$\displaystyle \rho \equiv 2Cr}$

와 함께

${\displaystyle C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2}}{\hbar c}}}}$

여기서 E는 위에 주어진 에너지(En j ${\$이다. 또한 γ을 다음과 같이 정의한다.

${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt{2}-Z^{2}\알파 ^{2}}:$

k = -n(1S_1/2, 2P_3/2, 3D_5/2... 등 특정 n에 대해 가능한 가장 높은 j에 해당)이 g, k() ${\displaystyle g_{n,k}(r)}$ 및 f , k(r) ${\displaystystyle f_{n,k}(r)$가 다음과 같은 경우:

${\displaystyle g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho^{\e^{-\rho /2}}$

${\displaystyle f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

여기서 A는 감마 함수를 포함하는 정규화 상수:

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \gamma )}}}}}}}}}}}$

인자 Zα 때문에 f(r)는 g(r)에 비해 작다는 점에 유의한다. 또한 이 경우 에너지는 다음과 같이 주어진다.

${\displaystyle E_{n,n-1/2}}={\frac {\gamma }{n}\mu c^{2}={\sqrt{1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{n^{n^{2}}}}}}}\mu c^{2}}:}$

반경방향 붕괴 상수 C를 기준값으로 한다.

${\displaystyle C={\frac {Z\alpha }{n}{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}}.}$

In the general case (when k is not −n), ${\displaystyle g_{n,k}(r){\text{ and }}f_{n,k}(r)}$ are based on two generalized Laguerre polynomials of order ${\displaystyle n- k -1}$ and ${\displaystyle n- k }$:

${\displaystyle g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n- k -1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n- k }^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

${\displaystyle f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n- k -1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n- k }^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

A이(가) 현재 다음과 같이 정의되어 있음

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}{\sqrt {{}{n-k +\gamma}}}{\frac {(n-k -1)!}{{\감마(n-k +2\감마 +1)}{{1}:{2}}\좌(\좌)^{\frac {ek}{\\감마 \mu c^{2}}}}}^{2}+{\fracma \mu c^{2}}}}\우){{\ma \mu c^}}}}}}}}}}}\우)}}}$

다시 f는 g(매우 작은 r 제외)에 비해 작다. 왜냐하면 k가 양성이면 첫 번째 항이 지배하고, α가 negative-k에 비해 큰 반면, k가 음성이면 두 번째 항이 지배하고 α가 γ-k에 비해 작기 때문이다. 지배적인 용어는 해당하는 슈뢰딩거 용액과 상당히 유사하다는 점에 유의하십시오. – 라구에르 다항식의 상위 지수는 ρ의 힘(가장 가까운 정수인 2ℓ+1 대신 2 or+1 또는 2γ-1)이 약간 작다(가장 가까운 정수인 2++1 또는 2--1). 기하급수적인 붕괴는 슈뢰딩거 솔루션보다 약간 빠르다.

정규화 계수는 절대값 제곱의 모든 공간에 대한 적분을 1과 같게 만든다.

1S 궤도

여기 정상화가_1/2 없는 1S 궤도 스핀 업:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

γ은 1보다 약간 작기 때문에, 매우 작은 r에서 이론적으로 무한대로 간다는 것을 제외하고, 상위 함수는 기하급수적으로 감소하는 r의 함수와 유사하다. 그러나 r γ- 1 ${\$ r$^{\$displaystyle r^{\gamma $-1}$의 값은 10 1 /( unless -$), {\displaystyle 10^{1/(\gamma -1$)보다 작은 r의 값으로 10만을 초과하는데, Z가 매우 크지 않은 한 매우 적은 수(양자의 반지름)이다.

정상화가_1/2 이루어지지 않은 상태에서 스핀 다운된 1S 궤도에는 다음과 같이 나온다.

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix}}}$

다음과 같은 다른 방향의 스핀을 사용하여 궤도를 구하기 위해 이들을 혼합할 수 있다.

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}}}$

X 방향을 가리키는 회전 및 각도 모멘텀 축에 해당한다. "상향" 스핀에 "하향" 스핀을 곱하면 y 방향으로 향하는 궤도(궤도)가 된다.

2P_1/2 및 2S_1/2 궤도

다른 예를 들어, 2P_1/2 궤도인 스핀 업은 다음과 비례한다.

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\\0\end{pmatrix}}}}}$

(ρ= 2 r C ${\displaystyle \rho =2rC$ C는 1S 궤도 대비 약 절반이지만 γ은 여전히 동일하다는 점을 기억하십시오.)

ρ가 α에 비해 작을 때(또는 r이 ℏ c/(μ c 2) ${\displaystyle \hbar$ c$/(\mu c^{2$ "S"형 궤도 우위(bispinor의 세 번째 성분)에 유의하십시오.

2S_1/2 스핀 업 궤도에는 다음이 있다.

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\알파 {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\오른쪽(x+iy)/r\end{pmatrix}}}}}}$

이제 첫 번째 구성요소는 S형이고, ρ = 2에 가까운 반경이 있는데 반해, 아래쪽 2개 구성요소는 P형이다.

음의 에너지 솔루션

에너지가 핵에서 무한히 분리된 전자의 그것보다 적은 결합 상태 외에도, 더 높은 에너지의 디라크 방정식에 대한 해법이 있는데, 이는 핵과 상호 작용하는 결합되지 않은 전자에 해당한다. 이러한 용액은 정규화할 수 있는 것은 아니지만, r이 무한대로 가면서 0으로 향하는 용액을 찾을 수 있다(위에서 언급한 E의 한계 상태 값을 제외하고 < ${\$ E $<\mu$ c$^{2}}:$ E < μc 2 {\mu c^}}}). <- . ${\displaystyle$ E$<-\mu c^{2}}$와 유사한 솔루션이 있다. 이러한 음의 에너지 솔루션은 정반대의 에너지를 갖는 양의 에너지 솔루션과 같으나 핵이 전자를 끌어당기는 대신 전자를 밀어내는 경우, 상위 두 구성 요소에 대한 솔루션이 하위 두 개의 솔루션과 자리를 바꾼다는 점을 제외하면 말이다.

디락의 방정식에 대한 음의 에너지 해법은 핵에 의해 작용하는 쿨롱의 힘이 없어도 존재한다. 디락은 이 주들의 거의 모든 주들이 이미 채워진 것으로 간주할 수 있다고 가설을 세웠다. 만약 이러한 음의 에너지 상태 중 하나가 채워지지 않는다면, 이 상태는 마치 양으로 충전된 핵에 의해 밀어내는 전자가 있는 것처럼 나타난다. 이로 인해 디락은 양전하 전자의 존재를 가설을 세우게 되었고, 그의 예측은 양전자의 발견으로 확정되었다.

고든의 해결책 너머 디락 방정식

점처럼 생긴 비자기핵에 의해 생성된 단순한 쿨롱 전위성을 가진 디락 방정식은 마지막 단어가 아니었으며, 그 예측은 앞에서 말한 실험 결과와 다르다. 보다 정확한 결과로는 램 시프트(양자 전자역학에서 발생하는 방사선 보정)^[3]와 초미세 구조가 있다.

참고 항목

• 뤼드베르크 원자
• 포시트로늄
• 이국 원자
• 2 전자 원자
• 수소분자이온

메모들

참조

• Gerald Teschl (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Tipler, Paul & Ralph Llewelyn(2003년). 현대 물리학 (제4판) 뉴욕: W. H. 프리먼과 컴퍼니. ISBN 0-7167-4345-0