구성 가능한 폴리곤

일반 펜타곤 시공

수학에서 구성 가능한 다각형은 나침반과 직선으로 구성할 수 있는 일반적인 다각형이다. 예를 들어, 일반 펜타곤은 나침반과 직선으로 구성 가능한 반면 일반 헵타곤은 그렇지 않다. 시공 가능한 다각형은 무한히 많지만, 변이 홀수인 31개만 알려져 있다.

시공성 조건

최대 1000개의 면(볼드) 또는 홀수 측면 카운트(빨간색)를 갖는 알려진 구성 가능한 다각형의 면 수

일반 17곤 건설

어떤 규칙적인 다각형은 나침반과 직선자로 구성하기 쉽고, 다른 것들은 그렇지 않다. 고대 그리스 수학자들은 3, 4, 5개의 면으로 정규 다각형을 구성하는 방법을 알고 있었고,^[1]^{: p. xi} 주어진 정규 다각형의 면수를 두 배로 하여 정규 다각형을 구성하는 방법을 알고 있었다.^[1]^{: pp. 49–50} 이것은 나침반과 직선자를 가진 모든 일반 다각형을 만들 수 있는가?라는 질문을 던지게 했다. 그렇지 않다면, 어떤 n-gon(즉, 가장자리가 n개인 폴리곤)이 생성 가능하고 그렇지 않은가?

칼 프리드리히 가우스는 1796년 정규 17곤의 구성성을 증명했다. 5년 후, 그는 그의 Disquisitiones Acaletae에서 가우스 시대 이론을 발전시켰다. 이 이론은 그가 규칙적인 다각형의 구성성을 위한 충분한 조건을 만들 수 있게 했다. 가우스는 이 조건도 필요하다고 증거 없이 진술했지만, 결코 그의 증거를 발표하지 않았다. 1837년 피에르 원젤에 의해 필요한 모든 증거가 제시되었다. 그 결과는 가우스-완첼 정리라고 알려져 있다.

규칙적인 n곤은 n이 2의 검정력과 구별되는 Fermat 소수(없음 포함)의 곱인 경우에만 나침반과 직선 가장자리로 구성할 수 있다.

Fermat $2^{(2^{m})}+1.$ 은 $2^{(2^{m})}+1.$ 2 ( $2^{(2^{m})}+1.$ 2 $2^{(2^{m})}+1.$ m ) $2^{(2^{m})}+1.$ + 1. {\ $displaystyle 2^{{{m}}+$ 1 형식의 $프라임$ 번호다 $.$ $}$

기하학적 문제를 순수한 숫자 이론의 문제로 줄이기 위해, 그 증명에서는 코사인 $\cos(2\pi /n)$ $\cos(2\pi /n)$ ( $\cos(2\pi /n)$ $\cos(2\pi /n)$ / n $){\displaystyle \cos(2\pi /n)}$ 가 구성 $\cos(2\pi /n)$ 가능한 숫자인 경우에만, 즉, 4개의 기본 산술 연산과 제곱 r의 추출의 관점에서 작성할 수 있는 경우에 한하여 일반 n-곤을 구성할 수 있다는 사실을 사용한다.oots. 동등하게, n번째 사이클로토믹 다항식의 루트가 구성 가능한 경우 정규 n-곤을 구성할 수 있다.

가우스 이론에 의한 자세한 결과

가우스-완첼 정리 복원:

규칙적인 n곤은 직선자와^k₁₂ 나침반으로 구성될 수 있다. 여기서_t k와 t는 음이 아닌 정수이고 p의_i (t > 0일 때)는 구별되는 페르마 프라임인 경우에만 구성된다.

페르마트 프리타임 5개는 다음과 같다.

F₀ = 3, F₁ = 5, F₂ = 17, F₃ = 257 및 F₄ = 65537(OEIS에서 순서 A019434).

1에서 5까지의 페르마 프라임의 31개의 조합이 있기 때문에, 31개의 알려진 구성 가능한 다각형이 있으며, 변수의 홀수가 있다.

다음 28개의 페르마 수인₅ F부터 F까지의₃₂ 숫자는 복합적인 것으로 알려져 있다.^[2]

따라서 일반 n-곤은 다음과 같은 경우에 구성 가능하다.

n = 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272, 320, 340, 384, 408, 480, 510, 512, 514, 544, 640, 680, 768, 771, 816, 960, 1020, 1024, 1028, 1088, 1280, 1285, 1360, 1536, 1542, 1632, 1920, 2040, 2048, ... (sequence A003401 in the OEIS),

반면에 일반 n곤은 나침반과 직선으로 구성될 수 없다.

n = 7, 9, 11, 13, 14, 18, 19, 21, 22, 23, 25, 26, 27, 28, 29, 31, 33, 35, 36, 37, 38, 39, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 49, 50, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 61, 62, 63, 65, 66, 67, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 83, 84, 86, 87, 88, 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 97, 98, 99, 100, 101, 103, 104, 105, 106, 107, 108, 109, 110, 111, 112, 113, 114, 115, 115, 117, 118, 119, 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, ... (시퀀스 A004169 in OEIS)

파스칼 삼각형 연결

알려진 Fermat 프리임이 5개 있기 때문에, 우리는 구별된 Fermat 프리임의 산물인 31개의 숫자를 알고 있고, 따라서 31개의 구성 가능한 홀수 면의 일반 폴리곤을 알고 있다. These are 3, 5, 15, 17, 51, 85, 255, 257, 771, 1285, 3855, 4369, 13107, 21845, 65535, 65537, 196611, 327685, 983055, 1114129, 3342387, 5570645, 16711935, 16843009, 50529027, 84215045, 252645135, 286331153, 858993459, 1431655765, 4294967295 (sequence A045544 in the OEIS). 존 콘웨이가 <숫자의 책>에서 언급했듯이, 이 숫자들은 2진수로 쓰여질 때 모듈로-2 파스칼 삼각형의 처음 32행에서 모노곤에 해당하는 맨 위 행을 뺀 것과 같다. (이 때문에, 그러한 목록에 있는 1s는 시에르피에스키 삼각형에 근사치를 형성한다.) 이 패턴은 이후 분해되는데, 다음 페르마트 숫자는 복합(4294967297 = 641 × 6700417)이기 때문에 다음 행은 구성 가능한 다각형에 해당하지 않는다. 페르마 프리메스가 더 이상 존재하는지 알 수 없으며, 따라서 얼마나 많은 홀수 면 구성 가능한 정규 폴리곤이 존재하는지 알 수 없다. 일반적으로 q Fermat 프리임이 있으면 2-1의^q 홀수 면의 정규 시공성 폴리곤이 있다.

일반론

갈루아 이론에 대한 이후의 연구를 비추어 볼 때, 이러한 증명들의 원칙이 명확해졌다. 해석적 기하학에서 구성 가능한 길이는 2차 방정식의 해법에 의해 기초 길이로부터 나와야 한다는 것을 보여주는 것은 간단하다.^[3] 필드 이론의 관점에서, 그러한 길이는 2차 연장 탑에 의해 생성된 필드 익스텐션에 포함되어야 한다. 시공에 의해 생성되는 필드는 항상 2의 힘인 베이스 필드에 대해 학위를 갖는다는 것을 따른다.

일반 n곤의 구체적인 경우, 길이 구성의 문제로 문항이 줄어든다.

cas 2인치n,

이것은 삼각수이고 따라서 대수적 수이다. 이 숫자는 n번째 사이클로토믹 필드에 있으며, 사실상 그것의 실제 하위 영역에 있으며, 이것은 완전히 실제의 영역이며 차원의 합리적 벡터 공간이다.

½ φ(n),

여기서 φ(n)은 오일러의 토텐 함수다. 방즐의 결과는 specified(n)이 명시된 경우 정확히 2의 힘이라는 것을 보여주는 계산으로 귀결된다.

가우스의 건설에 대해서는 갈루아 그룹이 2그룹일 때, 일련의 수주를 하는 것을 따른다.

1, 2, 4, 8, ...

각각 다음(구성 시리즈, 그룹 이론 용어)에 내포되어 있으며, 이 아벨 그룹에서는 유도에 의해 증명할 수 있는 간단한 것이다. 따라서, 사이클로토믹 필드 내부에 중첩된 하위 필드가 있는데, 각 필드는 이전 필드보다 2도씩 높다. 그러한 각 분야의 발전기는 가우스 시대 이론에 의해 기록될 수 있다. 예를 들어 n = 17에 대해서는 8근의 합, 1근의 합, 4근의 합, 2근의 합인 기간이 있다.

왜냐하면 2시 15분17분 입니다.

그것들 각각은 앞의 방정식으로 볼 때 2차 방정식의 근원이 된다. 더욱이 이러한 방정식은 복잡한 뿌리보다는 실제적인 뿌리를 가지고 있기 때문에 원칙적으로 기하학적 구조로 해결할 수 있다: 이것은 모든 작업이 완전히 실제적인 분야 안에서 진행되기 때문이다.

이러한 방식으로 가우스의 결과는 현재 용어로 이해할 수 있다. 해결되는 방정식의 실제 계산을 위해 기간을 제곱할 수 있고 상당히 실현 가능한 알고리즘으로 '낮은' 기간과 비교할 수 있다.

나침반 및 직선 구조

나침반과 직선 구조는 알려진 모든 구성 가능한 폴리곤으로 알려져 있다. n = p = 2 또는 p와 q coprime이 있는 pq인 경우, p-곤과 q-곤으로 n-곤을 구성할 수 있다.

p = 2일 경우 q곤을 그리고 중심 각도의 하나를 이등분한다. 이로부터 2q곤을 만들 수 있다.
p > 2일 경우, 꼭지점을 공유할 수 있도록 p-곤과 q-곤을 같은 원 안에 새겨 넣는다. p와 q는 coprime이기 때문에 ap + bq = 1과 같은 정수 a와 b가 존재한다. 그런 다음 2aπ/q + 2bπ/p = 2aπ/pq. 이로부터 pq곤을 구성할 수 있다.

따라서 n이 페르마트 프라임인 n-곤에 대한 나침반과 직선형 구조만 찾으면 된다.

정삼각형의 구조는 단순하며 고대부터 알려져 있다. 정삼각형을 참조하라.
일반 펜타곤의 구조는 유클리드(Elements, ca 300 BC)와 프톨레마이오스(Amalagest, CA AD 150)가 모두 설명하였다. 펜타곤을 참조하라.
가우스는 정규 17곤이 구성 가능하다는 것을 증명했지만, 실제로 어떻게 하는지를 보여주지는 않았다. 첫 번째 건축물은 가우스의 작업 후 몇 년 후인 에르칭거에 기인한다. 헵타데카곤을 참조하라.
일반 257곤의 첫 번째 명시적 구조는 마그누스 게오르크 포커(1822)^[4]와 프리드리히 율리우스 리첼롯(1832)이 맡았다.^[5]
일반 65537곤의 건축은 요한 구스타프 헤르메스(1894)가 처음 지었다. 이 건축은 매우 복잡하다; 헤르메스는 200페이지 분량의 원고를 완성하는데 10년이 걸렸다.^[6]

갤러리

왼쪽에서 오른쪽으로 15곤, 17곤, 257곤, 65537곤을 건설한다. 65537곤의 1단계 공법만 표시되며, 15곤, 17곤, 257곤의 공법은 완전히 주어진다.

기타 구성

이 기사에서 논의된 시공성의 개념은 나침반과 직선 구조물에 특히 적용된다. 다른 공구가 허용되면 더 많은 공구가 가능해진다. 예를 들어, 소위 네우시스 구조는 표시된 자를 사용한다. 시공은 수학적 이상화로서 정확히 수행된 것으로 추정된다.

만일 nx2 이렇게 3sp1p2⋯ pk, p_{k},{\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots이 r, s, k, 이 파이는 완전히 다른 피어 폰트 소수 수열이야 3(형태 2t의 최고급 제품 3u+1)보다 더 큰 0≥와 면을 정기적으로 다각형 자, 나침반,과 각도 3분 하는 것과}.{\displ 구성될 수 있습니다.a $ystyle 2^{t}3^{$ $2^{t}3^{u}+1).$ ^[7]^{: Thm. 2} 이들 다각형은 정확히 코닉 섹션으로 시공할 수 있는 일반 다각형이고, 종이 접기로 시공할 수 있는 일반 다각형이다. 이러한 다각형의 첫 번째 측면 수는 다음과 같다.

3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 24, 26, 27, 28, 30, 32, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40, 42, 45, 48, 51, 52, 54, 56, 57, 60, 63, 64, 65, 68, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 80, 81, 84, 85, 90, 91, 95, 96, 97, 102, 104, 105, 108, 109, 111, 112, 114, 117, 119, 120, 126, 128, 130, 133, 135, 136, 140, 144, 146, 148, 152, 153, 156, 160, 162, 163, 168, 170, 171, 180, 182, 185, 189, 190, 192, 193, 194, 195, 204, 208, 210, 216, 218, 219, 221, 222, 224, 228, 234, 238, 240, 243, 247, 252, 255, 256, 257, 259, 260, 266, 270, 272, 273, 280, 285, 288, 291, 292, 296, ... (sequence A122254 in the OEIS)

참고 항목

참조

^ ^a ^b 대담해, 벤자민 기하학의 유명한 문제들과 그것들을 해결하는 방법, 도버 출판물들, 1982년 (기원. 1969년)
^ [https://www.prothsearch.com/fermat.html Fermat number Fm의 주요 요인 k · 2n + 1 및 전체 인수 상태] Wilfrid Keller의 경우.
^ Cox, David A. (2012), "Theorem 10.1.6", Galois Theory, Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 259, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.
^ Magnus Georg Paucker (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis". Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (in German). 2: 160–219.
^ Friedrich Julius Richelot (1832). "De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Latin). 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi:10.1515/crll.1832.9.337.
^ Johann Gustav Hermes (1894). "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (in German). Göttingen. 3: 170–186.
^ Gleason, Andrew M. (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon". American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624.

외부 링크

Duane W. DeTemple (1991). "Carlyle Circles and the Lemoine Simplicity of Polygonal Constructions". The American Mathematical Monthly. 98 (2): 97–108. doi:10.2307/2323939. JSTOR 2323939. MR 1089454.
Christian Gottlieb (1999). "The Simple and Straightforward Construction of the Regular 257-gon". Mathematical Intelligencer. 21 (1): 31–37. doi:10.1007/BF03024829. MR 1665155.
일반 다각형 공식, Dr. Math FAQ에 문의하십시오.
칼 쉬크: Weich Primzahlen und das 257-Eck : eine analysische Lösung des 257-Ecks. 취리히 : C. 2008년, 쉬크 ISBN 978-3-9522917-1-9
65537곤, 1면 정확한 시공, 히피아스와 지오헤브라 쿼드라트릭스를 추가 보조 도구로 사용, 간략한 설명(독일어)

[Bold-1] 대담해, 벤자민 기하학의 유명한 문제들과 그것들을 해결하는 방법, 도버 출판물들, 1982년 (기원. 1969년)

[2] [https://www.prothsearch.com/fermat.html Fermat number Fm의 주요 요인 k · 2n + 1 및 전체 인수 상태] Wilfrid Keller의 경우.

[3] Cox, David A. (2012), "Theorem 10.1.6", Galois Theory, Pure and Applied Mathematics (2nd ed.), John Wiley & Sons, p. 259, doi:10.1002/9781118218457, ISBN 978-1-118-07205-9.

[4] Magnus Georg Paucker (1822). "Geometrische Verzeichnung des regelmäßigen Siebzehn-Ecks und Zweyhundersiebenundfünfzig-Ecks in den Kreis". Jahresverhandlungen der Kurländischen Gesellschaft für Literatur und Kunst (in German). 2: 160–219.

[5] Friedrich Julius Richelot (1832). "De resolutione algebraica aequationis x²⁵⁷ = 1, sive de divisione circuli per bisectionem anguli septies repetitam in partes 257 inter se aequales commentatio coronata". Journal für die reine und angewandte Mathematik (in Latin). 9: 1–26, 146–161, 209–230, 337–358. doi:10.1515/crll.1832.9.337.

[6] Johann Gustav Hermes (1894). "Über die Teilung des Kreises in 65537 gleiche Teile". Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse (in German). Göttingen. 3: 170–186.

[Gleason-7] Gleason, Andrew M. (March 1988). "Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon". American Mathematical Monthly. 95 (3): 185–194. doi:10.2307/2323624.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

Search