대수적 수

제곱근 2는 다리가 1인 직각삼각형의 빗변의 길이와 같은 대수적 숫자이다.

대수적 숫자는 정수(또는 등가, 유리) 계수를 갖는 하나의 변수에서 0이 아닌 다항식의 근인 숫자입니다.예를 들어 황금비율 $(1+{\sqrt {5}})/2$ ( $(1+{\sqrt {5}})/2$ $(1+{\sqrt {5}})/2$ ) / $(1+{\sqrt {5}})/2$ ( $1+{\sqrt {5})$ / 2)는 $(1+{\sqrt {5}})/2$ 다항식 $x 2$ - $x$ - 1의 근이기 때문에 대수적 숫자이다.즉, 다항식이 0으로 평가되는 x에 대한 값입니다.다른 예로, $1+i$ 1 $+ i는$ x $1+i$ + $4$ 의 $루트$ 이기⁴ 때문에 대수적입니다.

모든 정수와 유리수는 대수이고, 모든 정수의 근도 대수이다. $θ$ 나 e와 같이 대수적이지 않은 실수나 복소수를 초월수라고 한다.

대수적 숫자의 집합은 셀 수 없을 정도로 무한하며, 셀 수 없는 복소수의 부분 집합으로서 르베그 측정에서 0을 가진다.그런 의미에서, 거의 모든 복소수는 초월수이다.

예

모든 유리수는 대수적이다.때문에 x).mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .nu 모든 유리수며(0이 아니)자연수 b, 위의 정의에 맞는 정수의 몫으로,를 표명했다.이 0은 아닌 다항식, 즉bx − a.[1]의 M,.mw-parser-output.sfrac .den{디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}a/b은 만악의 근원이다
$2차$ 무리수는 정수 $계수$ a, $b$ , c를 갖는 2차 $다항식 2 축$ + bx + c의 무리해이다.2차 다항식이 단수( $a$ = $1$ )이면 근은 2차 정수로 더 한정됩니다.
- a와 b가 $모두$ 정수인 $복소수$ a + $bi$ 인 가우스 정수 역시 2차 정수입니다.이는 $a$ + $bi$ 와a - $bi$ 가 $2차 2$ x - $2ax$ $+ a 2$ + $b$ 의² 두 근이기 $때문$ 입니다.
스트레이트 엣지와 나침반을 사용하여 주어진 단위 길이로부터 구성 가능한 수를 구성할 수 있다.이는 모든 2차 비합리근, 모든 유리수 및 기본 산술 연산과 제곱근 추출을 사용하여 이들로부터 형성될 수 있는 모든 수를 포함한다.(1, $-1$ , i, -i의 기본방향을 지정함으로써 3 $3+i{\sqrt {2}}$ + $(\$ 3 $+i{\sqrt {2}})$ 와 $3+i{\sqrt {2}}$ 같은 복소수가 구성 가능하다고 간주됩니다.)
기본 산술 연산과 n번째 루트의 추출의 조합을 사용하여 대수적 숫자로 형성된 모든 식은 또 다른 대수적 숫자를 제공한다.
기본 산술 연산 및 n번째 루트( $x 5$ - x + 1의 루트 등)의 추출로 표현할 수 없는 다항식 루트.이는 5도 이상의 다항식이 아닌 많은 경우에 발생합니다.
예를 들어, $cos θ$ /7, $cos$ $3θ /$ $7$ , $cos$ $5θ$ /7 등 $θ$ 의 유리 배수의 삼각함수 $값은 3 8x 2$ - $4x$ + $1$ $=$ 0을 만족합니다.이 다항식은 유리수 위에 환원할 수 없기 때문에 세 코사인들은 켤레 대수적 수들이다.마찬가지로 tan $3µ /$ $16$ , tan $7µ / 16$ , $tan$ $11µ / 16$ 및 tan $15µ / 16$ 은 환원 불가능한 $다항식 4$ x - $4x 3$ - $6x 2$ + $4x$ + 1= $0$ 을 만족하므로 공역 대수 정수이다.
일부 비합리적인 숫자는 대수적인 것은 아닙니다.
- $숫자$ 2 $($ 스타일 $)$ 와 ${\sqrt {2}}$ ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ 스타일 $)$ 은 각각 ${\frac {\sqrt[{3}]{3}}{2}}$ x - $2$ 와² $8x 3$ - $3$ 의 근원이므로 대수적이다 $.$
- $황금비θ$ 는 $다항식 2$ x - $x$ - 1의 근이므로 대수적이다.
- 숫자 θ와 e는 대수적 숫자가 아니다(린데만 참조).바이얼스트라스 ^[2]정리).

속성

도별로 색칠된 복소 평면상의 대수적 수(밝은 주황색/빨간색 = 1, 녹색 = 2, 파란색 = 3, 노란색 = 4)

유리 계수를 갖는 다항식에 최소 공통 분모를 곱하면 정수 계수를 갖는 결과 다항식은 동일한 근을 가집니다.이는 대수적 수가 정수 또는 유리 계수를 갖는 다항식의 근으로 동등하게 정의될 수 있음을 보여준다.
대수적 숫자가 주어졌을 때, 그 수를 근으로 하는 최소의 유리 계수를 갖는 독특한 단수 다항식이 있다.이 다항식을 최소 다항식이라고 합니다.만약 그 최소 다항식이 $차수$ n을 갖는다면, 대수적 숫자는 $차수$ n이라고 한다.예를 들어, 모든 유리수는 차수 1을 가지며, 대수적인 차수 2는 2차 비합리적이다.
그 대수적 숫자들은 실수에 조밀하다.이는 실수 자체에 밀도가 높은 유리수를 포함하고 있다는 사실에서 비롯됩니다.
대수적 숫자의 집합은 셀 수 있고,^[3]^[4] 따라서 복소수의 부분 집합으로서의 르베그 측정치는 0이다(본질적으로, 대수적 숫자는 복소수에서 공간을 차지하지 않는다).즉, "거의 모든" 실수와 복소수는 초월수입니다.
모든 대수적 숫자는 계산 가능하며 따라서 정의 가능하고 산술적이다.
$실수$ $a$ 와 b의 경우 $복소수$ a + $bi$ 는 a와 $b$ 가 $모두$ ^[5]대수인 경우에만 대수이다.

들판

도(파란색 = 4, 시안 = 3, 빨간색 = 2, 녹색 = 1)별로 색칠된 대수적 숫자입니다.유닛 원은 검은색입니다.

두 대수적 숫자의 합계, 차이, 곱 및 몫(분모가 0이 아닌 경우)은 다시 대수적 수이며, 그 결과 대수적 숫자는 ${\overline {\mathbb {Q} }}$ Q ${\$ ${\displaystyle$ \ $mathbb$ {Q $}($ A $\displaystyle$ \ $mathbb {A$ 로 표시됨)를 형성합니다.아델링에 주목합니다).계수가 대수인 다항식의 모든 근은 다시 대수이다.그것은 대수적 숫자의 장이 대수적으로 닫혔다는 것으로 바꿔 말할 수 있다.사실, 이것은 유리수를 포함하는 가장 작은 대수적으로 닫힌 필드이며, 그래서 그것은 유리수의 대수적 닫힘이라고 불립니다.

실수의 집합 자체가 ^[6]필드를 이룬다.

대수 정수

선행 계수로 색칠된 대수적 수(빨간색은 대수적 정수의 경우 1을 의미함)

대수 정수는 계수가 1인 정수 다항식의 근인 대수적 수이다.대수 정수의 $5+13{\sqrt {2}},$ 로는 5 $5+13{\sqrt {2}},$ + $13$ 2 $5+13{\sqrt {2}},$ , {\ $sqrt {$ 2} , $2-6i,$ $2$ - $i$ , ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ - $2-6i,$ 6 i , ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ + ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+i{\sqrt {3}}).}$ ) $。{$ $textstyle$ { $frac {1}$ {2 $}$ （ $1 + i$ { \ $sqrt {3}$ ）。} 따라서 $,$ 대수 정수는 모든 $k\in \mathbb {Z}$ 에 $k\in \mathbb {Z}$ $monic$ $다항식$ $k\in \mathbb {Z}$ $x$ - $k의$ 근원이므로, 대수 정수는 정수 대 유리수와 같다.

대수 정수의 합, 차이, 곱은 다시 대수 정수로, 이는 대수 정수가 고리를 형성한다는 것을 의미한다.대수적 정수라는 이름은 대수적 정수인 유일한 유리수가 정수라는 사실에서 유래했고, 어떤 수 필드의 대수적 정수는 여러 면에서 정수와 유사하기 때문이다.K가 숫자장일 $경우$ , 정수환의 고리는 $K$ 의 대수 정수의 부분환이며, 종종 $O$ 로_K 표시된다.다음은 Dedekind 도메인의 원형 예입니다.

특수 클래스

메모들

^ 다음 예 중 일부는 Hardy와 Wright 1972에서 왔다: 159–160과 페이지 178–179
^ 또한, Liouville의 정리는 "우리가 원하는 만큼 많은 초월수의 예를 생성하기 위해" 사용될 수 있다. cf하디와 라이트 페이지 161ff
^ Hardy와 Wright 1972:160 / 2008:205
^ 니븐 1956, 정리 7.5
^ 1956년 니븐, 7.3.
^ 니븐(1956) 페이지 92

레퍼런스

Artin, Michael (1991), Algebra, Prentice Hall, ISBN 0-13-004763-5, MR 1129886
Hardy, G. H. and Wright, E. M. 1978, 2000 (일반색인 포함) 숫자이론 소개: 제5판, Clarendon Press, 영국 옥스포드, ISBN 0-19-853171-0
Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990), A Classical Introduction to Modern Number Theory, Graduate Texts in Mathematics, vol. 84 (Second ed.), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4757-2103-4, ISBN 0-387-97329-X, MR 1070716
Lang, Serge (2002), Algebra, Graduate Texts in Mathematics, vol. 211 (Revised third ed.), New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4, MR 1878556
니븐, 이반 1956년무리수, 카루스 수학논문 11호, 미국 수학협회.
Ore, öystein 1948, 1988, 숫자 이론과 그 역사, 도버 출판사, Inc.뉴욕, ISBN 0-486-65620-9 (pbk)

[1] 다음 예 중 일부는 Hardy와 Wright 1972에서 왔다: 159–160과 페이지 178–179

[2] 또한, Liouville의 정리는 "우리가 원하는 만큼 많은 초월수의 예를 생성하기 위해" 사용될 수 있다. cf하디와 라이트 페이지 161ff

[3] Hardy와 Wright 1972:160 / 2008:205

[4] 니븐 1956, 정리 7.5

[5] 1956년 니븐, 7.3.

[6] 니븐(1956) 페이지 92

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v t 번호 체계
카운트 가능 세트	자연수( $\mathbb {N}$ \ $displaystyle \mathbb {N$ ) $\mathbb {Z}$ ( $\mathbb {Z}$ Z \ $displaystyle \mathbb {Z$ ) 유리수( $\$ 구성 가능한 수 $\mathbb {A}$ 숫자( A $\$ ) 기간 계산 가능한 수 산술적 수 이론적으로 정의할 수 있는 수 가우스 정수
합성 대수	나눗셈 대수:실수( $\$ 복소수( $\mathbb {C}$ $\$ ) 4분위 ( $\mathbb {H}$ $\$ ) 옥토니언( $\$
분열되다 종류들	$(\$ 이상 $):$ 분할복소수 스플릿 쿼터 분할 옥토네이션 $(\$ 이상 $):$ 바이콤플렉스 번호 비쿼터니온 바이오크토니온
기타 하이퍼컴플렉스	이중 번호 이중 사분위수 이중 복소수 쌍곡선 사분위수 Sedenions ( $\mathbb {S}$ { \ $displaystyle$ \ $mathbb$ { S $}$ ) 스플릿 바이쿼터니온 멀티플렉스 번호 기하학 대수 물리 공간의 대수 시공간 대수
기타 타입	기수 확장 자연수 무리수 퍼지 수 초실수 리바이 시비타 필드 초현실적 수 초월수 서수 p-adic 번호(p-adic 솔레노이드) 초자연수 초실수
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