Sojla punkto (matematiko)

Senmovaj punktoj (ruĝaj plusoj) kaj trafleksaj punktoj (verdaj cirkloj). Senmovaj punktoj estas sojlaj punktoj, trafleksaj punktoj ne estas sojlaj punktoj.

En matematiko, sojla punkto de funkcio de reela variablo estas ĉiu valoro en la argumentaro kie la funkcio estas diferencialebla kaj ĝia derivaĵo estas 0. En la lasta kazo, se la derivaĵo estas nulo, la punkto estas nomata kiel senmova punkto de la funkcio. La valoro de la funkcio je sojla punkto estas sojla valoro de la funkcio.

Ĉi tiuj difinoj povas esti ĝeneraligitaj al funkcioj de kelkaj variabloj, diferencialeblaj bildigoj inter Rm kaj Rn, kaj diferencialeblaj bildigoj inter diferencialeblaj sternaĵoj.

Sojlaj punktoj povas esti videblaj en la grafikaĵo de f: je sojla punkto, la grafikaĵo ne havas la tanĝanton aŭ la tanĝanto estas vertikala aŭ horizontala.

Per teoremo de Fermat pri senmovaj punktoj, loka maksimumo kaj minimumo de funkcio povas okazi nur je ĝiaj sojlaj punktoj. Tamen, ne ĉiu senmova punkto estas maksimumo aŭ minimumo de la funkcio, ĉar ĝi povas esti ankaŭ trafleksa punkto de la grafikaĵo, kiel ekzemple por f(x) = x³ je x=0, aŭ la grafikaĵo povas oscili en la najbareco de la punkto, kiel ĉe la funkcio difinita kiel f(x) = x²sin(1/x) por x≠0 kaj f(0) = 0, je la punkto x = 0.

Ekzemploj

La funkcio f(x) = x² + 2x + 3 estas ĉie diferencialebla, kun la derivaĵo estas f'(x) = 2x+2. Ĉi tiu funkcio havas solan sojlan punkton -1, ĉar ĝi estas la sola x₀ por kiu 2x₀+2=0. Ĉi tiu punkto estas malloka minimumo de f. La respektiva sojla valoro estas f(-1)=2. La grafikaĵo de f estas parabolo kun branĉoj supren, la sojla punkto estas la absciso de la vertico, kie la tanĝanto estas horizontala, kaj la sojla valoro estas la ordinato de la vertico kaj povas esti prezentita per la intersekco de ĉi tiu tanĝanta rekto kaj la y-akso.
La funkcio f(x) = x^2/3 estas difinita por ĉiuj x kaj diferencialebla por x≠0, kun la derivaĵo f'(x) = 2x^-1/3/3. Pro tio ke f'(x)≠0 por x≠0, la sola sojla punkto de f estas x=0. La grafikaĵo de la funkcio f havas kuspon je ĉi tiu punkto kun vertikala tanĝanto. La respektiva sojla valoro estas f(0)=0.
La funkcio f(x) = x³-3x+1 estas ĉie diferencialebla, kun la derivaĵo f'(x) = 3x²-3. Ĝi havas du sojlajn punktojn, je x=-1 kaj x=1. La respektivaj sojlaj valoroj estas f(-1)=3, kiu estas loka maksimuma valoro, kaj f(1)=-1, kiu estas loka minimuma valoro de f. Ĉi tiu funkcio ne havas mallokajn maksimumon aŭ minimumon. Pro tio ke f(2) = 3, videblas ke sojla valoro povas esti atingita je ankaŭ ne-sojla punkto. Geometrie, ĉi tio signifas ke horizontala tanĝanta rekto al la grafikaĵo je unu punkto x=-1 povas sekci la grafikaĵon je akuta angulo je la alia punkto x=2.

Funkcioj de kelkaj variabloj

En ĉi tiu ĉapitro, funkcioj estas alprenita al esti glataj.

Por glata funkcio de kelkaj reelaj variabloj, la kondiĉo de sojla punkto estas ekvivalenta al tio ke ĉiuj ĝiaj partaj derivaĵoj estas nuloj; por funkcio sur sternaĵo, ĝi estas ekvivalento al ke ĝia diferencialo estas nulo.

Se la matrico de Hesse je sojla punkto estas nesingulara matrico, do la sojla punkto estas nomata kiel nedegenera, kaj la signoj de la ajgenoj de la matrico de Hesse difinas la loka konduton de la funkcio. Por skalara funkcio de unu variablo, la matrico de Hesse estas 1×1 kaj tiel estas simple la dua derivaĵo, kaj nesingulareco estas ekvivalento al estado nenula. Nedegenera sojla punkto de unu-variabla funkcio estas maksimumo se la dua derivaĵo estas negativa, kaj minimumo se ĝi estas pozitiva. Por funkcio de n>1 variabloj, la kvanto de negativaj ajgenoj de sojla punkto estas nomata kiel ĝia indekso, kaj maksimumo okazas se ĉiuj ajgenoj estas negativaj (la indekso egalas al n, la matrico de Hesse estas negative difinita) kaj minimumo okazas kiam ĉiuj ajgenoj estas pozitivaj (la indekso egalas al 0, la matrico de Hesse estas pozitive difinita); en ĉiuj la aliaj okazoj la sojla punkto estas sela punkto (la indekso estas severe inter 0 kaj n, la matrico de Hesse estas nesingulara kaj nedifinita). Morsa teorio aplikas ĉi tiuj ideoj por konstato de topologio de sternaĵoj, en ambaŭ okazoj de finia kaj de malfinia dimensio.

Gradienta vektora kampo

En ĉeesto de rimana metriko aŭ kunplektita formo, al ĉiu glata funkcio estas asociita vektora kampo (la gradiento aŭ vektora kampo de hamiltona esprimo). Ĉi tiuj vektoraj kampoj nuliĝas akurate je la sojlaj punktoj de la originala funkcio, kaj tial la sojlaj punktoj estas senmovaj, kio estas ke je ili estas konstantaj trajektorioj de la fluo asociita al la vektora kampo.

Difino por mapoj

Por diferencialebla bildigo f inter R^m kaj Rⁿ, kiel sojlaj punktoj ofte estas nomataj la punktoj kie la diferencialo $f_{*}={\frac {\partial f}{\partial x}}$ de f estas degenera lineara bildigo inter la tanĝantaj spacoj je punktoj x₀ kaj f(x₀). Ĉi tio estas ke la jakobia matrico konsistanta el ĉiuj apartaj partaj derivaĵoj ${\frac {\partial f_{j}}{\partial x_{i}}}(x_{0})$ , i=1, ..., m, j=1, ..., n estas de rango malpli granda ol min(m, n), kio estas ke ĝi estas ne de maksimuma rango.

Ĉi tiu difino senpere etendatas al bildigoj inter glataj sternaĵoj. La bildo de sojla punkto sub f estas nomata kiel la sojla valoro. Punkto en la komplemento de la aro de sojlaj valoroj estas nomata kiel regula valoro. Teoremo de Sard statas ke la aro de sojlaj valoroj de diferencialebla mapo havas mezuron mezuron nulo, kvankam en originala formulaĵo de Sard, sojla punkto estas punkto kie la rango de la diferencialo estas malpli granda ol n.

Vidu ankaŭ