Senmova punkto

Senmovaj punktoj (ruĝa plusoj) kaj trafleksaj punktoj (verdaj cirkloj). Ĉiuj senmovaj punktoj en ĉi tiu grafikaĵo estas lokaj (ne mallokaj) maksimumoj kaj minimumoj.

Selaj punktoj (kiuj estas samtempe senmovaj punktoj kaj trafleksaj punktoj). Ĉi tie la maldekstra estas pligrandiĝanta trafleksa punkto kaj la dekstra estas malpligrandiĝanta trafleksa punkto.

En matematiko, senmova punkto estas valoro de argumento (argumentoj) de al funkcio en kiu la derivaĵo estas nulo (la gradiento estas nulo por okazo de funkcio de kelkaj variabloj). Tiel, ĉi tio estas loko kie la funkcio haltigas sian pligrandiĝon aŭ malpligrandiĝon, de ĉi tie estas la nomo).

Por la grafikaĵo de unu-dimensia funkcio, ĉi tio respektivas al punkto sur la grafikaĵo kie la tanĝanto estas paralela al la x-akso. Por la grafikaĵo de du-dimensia funkcio, ĉi tio respektivas al punkto sur la grafikaĵo kie la tanĝanta ebeno estas paralela al la x-y-ebeno.

Senmova punkto kaj kriza punkto

La termino "kriza punkto" estas ofte konfuzita kun "senmova punkto". Kriza punkto estas pli ĝenerala: kriza punkto estas senmova punkto aŭ punkto kie la derivaĵo ne ekzistas.

Ĉiu senmova punkto estas kriza punkto, sed kriza punkto ne nepre estas senmova punkto, ĝi povas ankaŭ esti ne-diferencialebla punkto.

Por glata (ĉie diferencialebla) funkcio, ĉi tiuj du nocioj estas interŝanĝeblaj.

Estas ankaŭ malsama difino de kriza punkto en pli altaj dimensioj, kie la derivaĵo ne havas plenan rangon, sed estas ne bezone nulo, ĉi tia punkto ne estas senmova punkto, ĉar la funkcio povas ŝanĝiĝi ĉe ŝanĝo de la argumentoj en iu direkto.

Klasifiko

Izolitaj senmovaj punktoj de reelo-valora C¹ (ĉie diferencialebla) funkcio $f\colon \mathbf {R} \to \mathbf {R}$ estas klasifikitaj en kvar specojn per la unua derivaĵa provo:

Loka minimumo estas se la derivaĵo de la funkcio ŝanĝas de negativa al pozitiva (ekzemple f(x)=x² je x=0).
Loka maksimumo estas se la derivaĵo de la funkcio ŝanĝas de pozitiva al negativa (ekzemple f(x)=-x² je x=0).
Pligrandiĝanta trafleksa punkto estas se la derivaĵo de la funkcio estas pozitiva sur ambaŭ flankoj de la senmova punkto (ekzemple f(x)=x³ je x=0).
Malpligrandiĝanta trafleksa punkto estas se la derivaĵo de la funkcio estas negativa sur ambaŭ flankoj de la senmova punkto (ekzemple f(x)=-x³ je x=0).

Mallokaj (aŭ absolutaj) maksimumoj kaj minimumoj, laŭ la teoremo de Fermat pri senmovaj punktoj povas okazi nur sur la rando aŭ je krizaj punktoj, sed ili ne nepre okazas je senmovaj punktoj.

Vidu ankaŭ

Eksteraj ligiloj

Trafleksaj punktoj de polinomoj de ordo 4 - surpriza aspekto de la ora proporcio je tranĉi-la-nodon.