Όριο του Ρος

Στην Ουράνια Μηχανική, το όριο του Ρος (αγγλικά: Roche limit) αναφέρεται στην ελάχιστη απόσταση που μπορεί να πλησιάσει ένα σώμα που διατηρείται αποκλειστικά από την δική του βαρύτητα σε ένα άλλο σώμα πριν διαλυθεί εξαιτίας των παλιρροϊκών δυνάμεων που αναπτύσσονται επάνω του. Το όριο Ρος ονομάστηκε έτσι προς τιμή του Γάλλου μαθηματικού και αστρονόμου Εντουάρ Ρος (Édouard Roche) (1820-1883), ο οποίος και υπολόγισε την θεωρητική αυτή απόσταση για πρώτη φορά.

Εισαγωγή

Το όριο του Ρος, αναφέρεται πάντα σε ένα σύστημα δύο ουράνιων σωμάτων. Τα σώματα αυτά πρέπει να έχουν αρκετή διαφορά μάζας. Δεν μπορεί να οριστεί μοναδικά για ένα σώμα και δεν πρέπει να συγχέεται με τη σφαίρα του Ρος (ή σφαίρα Χιλ).

Εάν το μικρότερο σώμα διατηρείται όχι μόνο λόγω της βαρύτητάς του αλλά μέσω άλλων, επιπρόσθετων μηχανισμών (π.χ. χημικούς δεσμούς μεταξύ των στοιχείων που το αποτελούν), τότε τα πράγματα διαφέρουν και το σώμα δε θα διαλυθεί όταν ξεπεράσει το όριο του Ρος. Όποιο, όμως, σώμα ή υλικό βρίσκεται στο τμήμα της επιφάνειας (του μικρότερου σώματος) που βλέπει προς το μεγαλύτερο σώμα (ή στο ακριβώς αντίθετο σημείο) και δεν συγκρατείται με επιπρόσθετους μηχανισμούς, θα απομακρυνθεί.

Οι δακτύλιοι που υπάρχουν γύρω από κάποιους πλανήτες (Κρόνος, Δίας, Ποσειδώνας, Ουρανός) οφείλονται κατά πάσα πιθανότητα στο ότι κάποια σώματα που συντηρούνταν από την αυτοβαρύτητά τους ξεπέρασαν το όριο του Ρος και διαλύθηκαν ή στο ότι σκόνη που υπήρχε εκεί από την εποχή του σχηματισμού του Ηλιακού Συστήματος ποτέ δεν κατάφερε να συμπυκνωθεί λόγω ασθενικών βαρυτικών δυνάμεων.

Μαθηματική Περιγραφή

1o στάδιο: Ο δορυφόρος πλησιάζει τον πλανήτη. Αρχικά, οι παλιρροϊκές δυνάμεις είναι ασθενικές και ο δορυφόρος έχει σχεδόν σφαιρικό σχήμα

2o στάδιο: Ο δορυφόρος έχει πλέον πλησιάσει τον πλανήτη αρκετά ώστε οι παλιρροϊκές δυνάμεις να προκαλούν την παραμόρφωσή του

3o στάδιο: Ο δορυφόρος περνάει το όριο Ρος και αρχίζει να διαλύεται

4o στάδιο: Τα θραύσματα του δορυφόρου που είναι πιο κοντά στον πλανήτη κινούνται με μεγαλύτερη ταχύτητα λόγω της αρχής διατήρησης της στροφορμής

5o στάδιο: Τα θραύσματα έχουν δημιουργήσει πλέον έναν δακτύλιο

Έστω πλανήτης μάζας Μ και ακτίνας R γύρω από τον οποίο περιφέρεται ένας δορυφόρος μάζας m και ακτίνας r σε απόσταση D. Τα δύο σώματα θεωρούνται για απλότητα τέλειες σφαίρες με σταθερή πυκνότητα. Οι πυκνότητες του πλανήτη και του δορυφόρου είναι ρ_M και ρ_m αντίστοιχα.

Οποιοδήποτε σώμα στην επιφάνεια του δορυφόρου δέχεται μία βαρυτική δύναμη με μέτρο το οποίο δίνεται από τον νόμο της παγκόσμιας έλξης και φορά προς το κέντρο του δορυφόρου. Η επιτάχυνση, g, που προκαλεί η δύναμη αυτή έχει μέτρο

$g={\frac {Gm}{r^{2}}}$

Οι παλιρροϊκές δυνάμεις που αναπτύσσονται στο σημείο της επιφάνειας του δορυφόρου που βρίσκεται πλησιέστερα στον πλανήτη προκαλούν επίσης επιτάχυνση δf μέτρου

$\delta f={\frac {2GMr}{D^{3}}}$

και φοράς προς το κέντρο του πλανήτη. Το όριο του Ρος, L_R, αντιστοιχεί στην απόσταση εκείνη μεταξύ δορυφόρου-πλανήτη κατά την οποία οι δύο δυνάμεις βρίσκονται σε ισορροπία. Λύνοντας ως προς την απόσταση στην περίπτωση της ισορροπίας, βρίσκουμε το όριο Ρος:

${\begin{aligned}L_{\textrm {R}}=\left({\frac {2Mr^{3}}{m}}\right)^{1/3}\end{aligned}}$

Η σχέση αυτή μπορεί να γραφτεί επίσης συναρτήσει των πυκνοτήτων των δύο σωμάτων. Υπό την προϋπόθεση ότι τα δύο σώματα είναι τέλειες σφαίρες και έχουν σταθερή πυκνότητα, η παραπάνω σχέση παίρνει την απλούστερη μορφή:

${\begin{aligned}L_{\textrm {R}}=\left({\frac {2\rho _{M}R^{3}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\simeq 1.26R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\end{aligned}}$

Αν ο δορυφόρος συντηρείται αποκλειστικά και μόνο από την ιδιοβαρύτητά του, τότε τη στιγμή που εκείνος πλησιάσει τον πλανήτη σε απόσταση μικρότερη του ορίου Ρος θα διαλυθεί, καθώς τότε οι παλιρροϊκές δυνάμεις θα υπερνικήσουν τις βαρυτικές δυνάμεις που διατηρούν τον δορυφόρο.

Ένας ακριβέστερος υπολογισμός από τον Ρος που λαμβάνει υπόψη την παραμόρφωση που προκαλούν οι παλιρροϊκές δυνάμεις στον δορυφόρο δίνει το παρακάτω αποτέλεσμα:

${\begin{aligned}L_{\textrm {R}}\simeq 2.456R\left({\frac {\rho _{M}}{\rho _{m}}}\right)^{1/3}\quad (1)\end{aligned}}$

Όρια Ρος για αντικείμενα του Ηλιακού Συστήματος

Ο παρακάτω πίνακας περιέχει τιμές σχετικά με τις μέσες πυκνότητες και ακτίνες διαφόρων ουράνιων σωμάτων του Ηλιακού Συστήματος.

Ουράνιο σώμα	Πυκνότητα (g/cm³)	Ακτίνα (km)
Ήλιος	1.408	696,000
Δίας	1.326	71,492
Γη	5.513	6,378.137
Σελήνη	3.346	1,737.05
Κρόνος	0.687	60,268
Ουρανός	1.318	25,559
Ποσειδώνας	1.638	24,764

Με βάση τα παραπάνω δεδομένα και για μία μέση πυκνότητα κομητών ~ 0.5 g cm^-3 μπορούν να υπολογισθούν τα όρια Ρος για διάφορες περιπτώσεις κυρίως σώματος-δορυφόρου σύμφωνα με τον τύπο (1). Ο παρακάτω πίνακας περιέχει ορισμένα τέτοια δεδομένα.

Κυρίως σώμα	Δορυφόρος	Όριο Ρος (στερεός δορυφόρος)		Όριο Ρος (ρευστός δορυφόρος)
		Απόσταση από κυρίως σώμα (km)	Απόσταση σε ακτίνες κυρίως σώματος	Απόσταση από κυρίως σώμα (km)	Απόσταση σε ακτίνες κυρίως σώματος
Γη	Σελήνη	9,492	1.49	18,502	2.9
Γη	Μέσος κομήτης	17,887	2.8	34,865	5.47
Ήλιος	Γη	556,397	0.8	1,084,532	1.56
Ήλιος	Δίας	894,677	1.29	1,743,910	2.51
Ήλιος	Σελήνη	657,161	0.94	1,280,943	1.84
Ήλιος	Μέσος κομήτης	1,238,390	1.78	2,413,877	3.47

Δείτε επίσης

• Νόμος της παγκόσμιας έλξης
• Παλιρροϊκές δυνάμεις
• Βαρύτητα
• Σφαίρα Χιλ

Βιβλιογραφία

• Κανάρης Χ. Τσίγκανος, Εισαγωγή στη Θεωρητική Μηχανική, Αθ. Σταμούλης 2004
• Bradley W. Carroll, Dale A. Ostlie (2007). An Introduction to Modern Astrophysics. Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 978-960-524-206-0. 

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

• Roche limit of a solid body
• Planetary Rings