확률 이론 과 방향 통계 에서 래핑된 Cauchy 분포 는 단위 원 을 둘러싼 Cauchy 분포 의 "래핑"에서 비롯되는 래핑된 확률 분포 다.카우치 분포는 때때로 로렌츠 분포로 알려져 있으며, 포장된 카우치 분포는 때때로 래핑된 로렌츠 분포로 언급될 수 있다. null
포장된 Cauchy 분포는 종종 회절 패턴을 분석하는 데 사용되는 분광학 분야에서 발견된다(예: Fabry-Pérot interferometer 참조). null
설명 포장된 Cauchy 분포 의 확률밀도함수 는 다음과 같다.[1]
f W C ( θ ; μ , γ ) = ∑ n = − ∞ ∞ γ π ( γ 2 + ( θ − μ + 2 π n ) 2 ) − π < θ < π f_{\displaystyle f_{ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=\sum _{n=-\infit }^{\frac {\\gamma }{\pi (\theta -\mu +2\pi n)^{2}}}}}}\quad -\pi <ta <\pi }}} 여기서 γ {\displaystyle \gamma } μ {\displaystyle \mu } 위의 PDF를 Cauchy 분포 수율의 특성 함수 로 표현 :
f W C ( θ ; μ , γ ) = 1 2 π ∑ n = − ∞ ∞ e i n ( θ − μ ) − n γ = 1 2 π 징징거리다 γ 코쉬 γ − cas ( θ − μ ) f_{\displaystyle f_{ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{in(\theta -\mu )- n \gamma }={\frac {1}{2\pi }}\,\,{\frac {\sinh \gamma }{\cosh \gamma -\cos(\theta -\mu )}}} PDF는 원형 변수 z = e iθ parameter = e 로도i (μ +iγ )
f W C ( z ; ζ ) = 1 2 π 1 − ζ 2 z − ζ 2 {\displaystyle f_{WC}(z;\zeta )={\frac {1}{2\pi }\\,\,\\frac {1- \zeta ^{2}}:00} 여기서, 아래와 같이 ζ = ⟨z ⟩. null
원형 변수 z e θ {\ displaystyle z=e^{i\theta }}}}}
⟨ z n ⟩ = ∫ Γ e i n θ f W C ( θ ; μ , γ ) d θ = e i n μ − n γ . \displaystyle \langle z^{n}\angle =\int_{\\\\\\\\\\\\\\n_{\\\\\\\\\\\\\\\\}\\\\\{\\\\\\ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\d\theta =e^{in\mu - n \gamma }} 여기서 γ {\ displaystyle \Gamma \,} 2 π [\displaystyle 2\pi } . z 의 평균 값이다.
⟨ z ⟩ = e i μ − γ {\displaystyle \langle z\angle =e^{i\mu -\mu}}}} 평균각은
⟨ θ ⟩ = A r g ⟨ z ⟩ = μ \displaystyle \langle \theta \angle =\mathrm {Arg} \langle z\angle =\mu } 평균 결과물의 길이는
R = ⟨ z ⟩ = e − γ {\displaystyle R=\langle z\angle =e^{-\gamma }}} 1 - R 의 원형 분산을 산출한다.
모수 추정 포장된 Cauchy 일련 의 N 측정 z e in {\ displaystyle z_{n}=e^{i\theta_{n}} 영상 시리즈 '{\ displaystyle overline{z}}
z ¯ = 1 N ∑ n = 1 N z n {\displaystyle {\overline{z}={\frac {1}{{N}\sum _{n=1}^{N}z_{n}}}} 그리고 그 기대 가치는 단지 첫 순간일 것이다.
⟨ z ¯ ⟩ = e i μ − γ {\displaystyle \langle {\langle{z}\rangle =e^{i\mu -\cHB}}} 즉, z {\ displaystyle overline{z}} 피크 위치 μ {\ displaystyle \mu } ( π π ){\displaystyle [-\pi ,\pi )} (z ){\displaystystyle({\overline{z})} μ .
z displaystyle z_{n ( R {\ displaystyle {\overline{R}^{2}}
R ¯ 2 = z ¯ z ∗ ¯ = ( 1 N ∑ n = 1 N cas θ n ) 2 + ( 1 N ∑ n = 1 N 죄를 짓다 θ n ) 2 {\displaystyle {\overline {R}}^{2}={\overline {z}}\,{\overline {z^{*}}}=\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\cos \theta _{n}\right)^{2}+\left({\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\sin \theta _{n}\right)^{2}} 그리고 그 기대치는
⟨ R ¯ 2 ⟩ = 1 N + N − 1 N e − 2 γ . {\displaystyle \langle {\overline{R}^{2}\angle ={\frac {1}{{N}+{\frac{{N-1}{N}e^{-2\gamma}}}}} 즉, 통계는
R e 2 = N N − 1 ( R ¯ 2 − 1 N ) {\displaystyle R_{e}^{2}={\frac {N}{{N:1}}\좌측({\overline{R}}^{{\frac {1}{N}\우측)}} e 2 γ {\ displaystyle ^{-2\gamma }}, ln ( 1 e 2 {\displaystyle \ln(1 / R_{e}^{2}}/2}/} displaysty \gamma } .
엔트로피 포장된 Cauchy 분포의 정보 엔트로피 는 다음과 같이 정의된다.[1]
H = − ∫ Γ f W C ( θ ; μ , γ ) ln ( f W C ( θ ; μ , γ ) ) d θ {\displaystyle H=--\int _{\Gamma }f_{ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,\ln(f_{ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )\,d\theta } 여기서 γ {\displaystyle \Gamma} 2π {\displaystyle 2\pi } . θ {\ displaystyle \teta \,}:
ln ( f W C ( θ ; μ , γ ) ) = c 0 + 2 ∑ m = 1 ∞ c m cas ( m θ ) {\displaystyle \ln(f_{ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )=c_{0}+2\sum _{m=1}^{\inful }c_{m}\cos(m\theta )} 어디에
c m = 1 2 π ∫ Γ ln ( 징징거리다 γ 2 π ( 코쉬 γ − cas θ ) ) cas ( m θ ) d θ {\displaystyle c_{m}={\frac {1}{2\pi}\int_{\\\\\\ln \좌({\frac {\sinh \sinh \gamma }}{2\pi(\cos \gamma -\cos \ta )}\cos(m\,d\ta }). 산출되는 결과:
c 0 = ln ( 1 − e − 2 γ 2 π ) {\displaystyle c_{0}=\ln \left\frac {1-e^{-2\pi }}{2\pi }\오른쪽)} (c.f. Gradshteyn 및 Ryzhik [2]
c m = e − m γ m f o r m > 0 {\displaystyle c_{m}={\frac {e^{-m\filency }}{m}}}{{m}}\qquad \matrm {for}\m>0} (c.f. Gradshteyn과 Ryzhik [2] 적분 왼쪽의 래핑된 Cauchy 분포에 대한 특성 함수 표현은 다음과 같다.
f W C ( θ ; μ , γ ) = 1 2 π ( 1 + 2 ∑ n = 1 ∞ ϕ n cas ( n θ ) ) f_{\displaystyle f_{ WC}(\theta ;\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}\좌측(1+2\sum _{n=1}^{\n}\phi _{n}\cos(n\theta )\right)}} 여기서 ϕn e n γ {\ displaystyle \phi _{n}=e^{- \gamma }}}}}.
H = − c 0 − 2 ∑ m = 1 ∞ ϕ m c m = − ln ( 1 − e − 2 γ 2 π ) − 2 ∑ m = 1 ∞ e − 2 n γ n {\displaystyle H=-c_{0}-2\sum _{m=1}^{\infty }\phi _{m}c_{m}=-\ln \left({\frac {1-e^{-2\gamma }}{2\pi }}\right)-2\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {e^{-2n\gamma }}{n}}} 시리즈는 1 e 2 γ ) 테일러 확장 같이 폐쇄적인 형태 로 작성될 수 있다.
H = ln ( 2 π ( 1 − e − 2 γ ) ) {\displaystyle H=\ln(2\pi(1-e^{-2\gamma })\,} 원형 카우치 분포 X 가 중위수 μ와 척도 모수 μ로 분포된 Cauchy일 경우 복합 변수
Z = X − i X + i {\displaystyle Z={\frac {X-i}{X+i}}} 단위 계수를 가지며 밀도와 함께 단위 원에 분포한다.[3]
f C C ( θ , μ , γ ) = 1 2 π 1 − ζ 2 e i θ − ζ 2 {\displaystyle f_{CC}(\theta ,\mu ,\gamma )={\frac {1}{2\pi }}{\frac {1- \zeta ^{2}}:{ e^{i\theta }-\zeta ^{2}}: 어디에
ζ = ψ − i ψ + i {\displaystyle \zeta ={\frac {\fract -i}{\reason +i}} 및 ψ는 x 에 대한 관련 선형 Cauchy 분포의 두 가지 매개변수를 복합 숫자로 표현한다.
ψ = μ + i γ \displaystyle \cHB =\mu +i\cHB \,} 원형 Cauchy 분포는 z 와 ζ의 포장된WC Cauchy 분포와 동일한 기능 형태를 가지고 있음을 알 수 있다(즉, f(z,,)). 원형 Cauchy 분포는 재결정된 포장 Cauchy 분포:
f C C ( θ , m , γ ) = f W C ( e i θ , m + i γ − i m + i γ + i ) {\displaystyle f_{CC}(\theta ,m,\gamma )=f_{{ WC}\왼쪽(e^{i\theta },\,{\frac {m+i\gamma -i}{m+i\gamma +i}\오른쪽)} The distribution f C C ( θ ; μ , γ ) {\displaystyle f_{CC}(\theta ;\mu ,\gamma )} [3] [4] [3] McCullagh's parametrization of the Cauchy distributions and Poisson kernel for related concepts.) null
복잡한 형태로 표현된 원형 코치 분포는 모든 주문의 모멘트가 유한하다.
E [ Z n ] = ζ n , E [ Z ¯ n ] = ζ ¯ n {\displaystyle \operatorname {E}[Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E}[{\bar {Z}^{n}]={\bar {\zeta }^{n}}}}}}}}}} 정수 n ≥ 1의 경우.φ < 1의 경우, 변환
U ( z , ϕ ) = z − ϕ 1 − ϕ ¯ z {\displaystyle U(z,\phi )={\frac {z-\phi }{1-{\bar{\pa{\phi }}}}} 단위 디스크에서 홀로모르픽이며 , 변환 변수 U(Z , φ)는 파라미터 U(ζ, φ)와 함께 복합 Cauchy로 분포한다. null
표본 z 1 , ..., z 의n 크기 가 n > 2인 경우 최대우도 방정식
n − 1 U ( z , ζ ^ ) = n − 1 ∑ U ( z j , ζ ^ ) = 0 {\displaystyle n^{-1}U\왼쪽(z,{\hat {\zeta }}\오른쪽)=n^{-1}\sum U\left(z_{j},{\hat {\zeta }}\오른쪽)=0} 간단한 고정 포인트 반복으로 해결할 수 있다.
ζ ( r + 1 ) = U ( n − 1 U ( z , ζ ( r ) ) , − ζ ( r ) ) {\displaystyle \zeta ^{(r+1)}= U\왼쪽(n^{-1}U(z,\제타 ^{(r)}),\,-\제타 ^{(r)}\,} ζ(0) = 0으로 시작한다. 우도 값의 순서는 감소하지 않으며, 세 개 이상의 구별되는 값을 포함하는 표본에 대해 해법이 고유하다.[5] null
실제 Cauchy 샘플의 중위수(μ^ {\ displaystyle {\hat {\\mu}}}) γ )
μ ^ ± i γ ^ = i 1 + ζ ^ 1 − ζ ^ . {\displaystyle{\hat{\mu}}\pm i{\hat{\mu}}}}=i{\frac {1+{\hat{\zeta}}}{1-{\hat{\zeta}}}}}}}. } n ≤ 4의 경우 닫힌 형식 표현은 ζ ^ {\ displaystyle {\hat {\\zeta }} . [6] 단위 디스크의 t 에서 최대 우도 추정기의 밀도는 반드시 다음과 같은 형식이다.
1 4 π p n ( χ ( t , ζ ) ) ( 1 − t 2 ) 2 , {\displaystyle {\frac {1}{4\pi }{\frac {p_{n}(\chi(t,\zeta )}{{2}^{2}}}}} 어디에
χ t ζ ζ 4 1 t {\ displaystyle \chi (t,\zeta )={\frac t-\\zeta 2}}:{4(1- })(1- \zeta }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}). p 와3 p 에4 대한 공식을 구할 수 있다.[7] null
참고 항목 참조 ^ a b Mardia, Kantilal ; Jupp, Peter E. (1999). Directional Statistics . Wiley. ISBN 978-0-471-95333-3 ^ a b Gradshteyn, Izrail Solomonovich ; Ryzhik, Iosif Moiseevich ; Geronimus, Yuri Veniaminovich ; Tseytlin, Michail Yulyevich (February 2007). Jeffrey, Alan; Zwillinger, Daniel (eds.). Table of Integrals, Series, and Products Academic Press, Inc. ISBN 0-12-373637-4 LCCN 2010481177 .^ a b c McCullagh, Peter (June 1992). "Conditional inference and Cauchy models" (PDF) . Biometrika . 79 (2): 247–259. doi :10.1093/biomet/79.2.247 . Retrieved 26 January 2016 . ^ K.V. Mardia (1972). Statistics of Directional Data . Academic Press . [페이지 필요 ^ J. Copas (1975). "On the unimodality of the likelihood function for the Cauchy distribution". Biometrika . 62 (3): 701–704. doi :10.1093/biomet/62.3.701 . ^ Ferguson, Thomas S. (1978). "Maximum Likelihood Estimates of the Parameters of the Cauchy Distribution for Samples of Size 3 and 4". Journal of the American Statistical Association . 73 (361): 211–213. doi :10.1080/01621459.1978.10480031 . JSTOR 2286549 .^ P. McCullagh (1996). "Möbius transformation and Cauchy parameter estimation". Annals of Statistics . 24 (2): 786–808. JSTOR 2242674 .
이산형 일변도의
연속 일변도의
의 지지를 받고 있는. 경계 간격 의 지지를 받고 있는. 반무한 간격을 두고 지지의 대체로 실선 지지하여 누구의 타입이 다른가.
혼합 일변도의
다변량 (공동) 방향 퇴보하다 그리고 단수 가족들
(는) 스케일 팩터, 
(는) 길이 
![{\displaystyle \operatorname {E} [Z^{n}]=\zeta ^{n},\quad \operatorname {E} [{\bar {Z}}^{n}]={\bar {\zeta }}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25350520804357a0441a4b661dd4141f49daa1de)
