파동 벡터

물리학에서 파동 벡터(파동 벡터라고도 함)는 파동을 설명하는 데 도움이 되는 벡터다. 여느 벡터처럼 크기와 방향을 가지고 있는데, 둘 다 중요하다. 그것의 크기는 파장의 웨이븐넘버 또는 각도 웨이븐넘버(파장에 역비례)이며, 그것의 방향은 일반적으로 파장의 전파 방향(항상 그렇지는 않지만, 아래 참조)이다.

특수상대성이론의 맥락에서 파동 벡터는 4벡터로 정의될 수도 있다.

정의들

사인파 파장 λ은 표시된 것처럼 인접한 파고점 또는 수조 사이 또는 같은 전달 방향을 가진 인접한 제로 교차점 등 동일한 위상의 두 연속 지점 사이에서 측정할 수 있다.

파동 벡터에 대한 두 가지 일반적인 정의가 있는데, 그 정의는 크기가 2㎛ 정도로 다르다. 물리학 분야와 관련 분야에서는 한 가지 정의가 선호되고, 결정학 분야와 관련 분야에서는 다른 정의가 선호된다.^[1] 이 글에서는 각각 "물리학적 정의"와 "결정학적 정의"라고 불릴 것이다.

아래의 두 정의에서 파동 벡터의 크기는 $k$ $k$ 로 표시된다 $k$ 파동 벡터의 방향은 다음 절에서 논한다.

물리학 정의

완벽한 1차원 이동파는 다음과 같은 방정식을 따른다.

\displaystyle \cHB(x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )}

여기서:

x는 위치,
t는 시간이다,
$\psi$ ${\displaystyle \psi$ }( $\psi$ x와 t의 함수)는 파동을 설명하는 교란(예를 들어, 바다 파동의 경우 $\psi$ ${\displaystyle \psi$ }이(가) 물의 과도한 높이 또는 $\psi$ 음파의 경우 $\psi$ ${\displaysty \psi$ }이 $\psi$ (가)가 과잉 기압이다.
A는 파동의 진폭(진동의 최대 크기)이다.
$\varphi$ $\varphi$ 은 $\varphi$ (는) 두 파형이 서로 동기화되지 않을 수 있는 방법을 설명하는 위상 오프셋이다.
$\omega$ $\omega$ 은 $\omega$ 파형의 시간 각도 주파수로, 시간 단위당 얼마나 많은 진동을 완료하는지 설명하고 있으며, Ω $\omega =2\pi /T$ $\omega =2\pi /T$ $\omega =2\pi /T$ = 2 $\omega =2\pi /T$ / $\omega =2\pi /T$ {\ $displaystyle \omega$ = $2\pi /T}$ 등식으로 $T$ T ${\displaystyty T}$ 과 관련된다 $\omega =2\pi /T$
$k$ $k$ 은 파장의 공간 각도 주파수(와이븐넘버)로 $k$ , 공간의 단위당 얼마나 많은 진동이 완료되는지 설명하고 $k=2\pi /\lambda$ , k $k=2\pi /\lambda$ = 2 $k=2\pi /\lambda$ / $k=2\pi /\lambda$ $k=2\pi /\lambda$ 등식으로 파장과 관련이 있다 $k=2\pi /\lambda$

$k$ $k$ 은 $k$ (는) 파형 벡터의 크기다. 이 1차원 예에서 파동 벡터의 방향은 사소한 것이다: 이 파동은 속도(더 구체적으로는 위상 속도) $\omega /k$ 으로 +x 방향으로 이동한다 $\omega /k$ k ${\displaystyle \omega /k$ 다차원 시스템에서 스칼라 $k$ x ${\displaysty kx}$ 은 벡터 도트 제품 ${\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }$ ${\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }$ r ${\$ }로 대체될 것이다 $kx$ . $aystyle {\mathbf{k}}\cdot {\mathbf {r}}}}}},$ 각각 파형 벡터와 위치 벡터를 나타낸다 ${\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }$

결정학적 정의

결정학에서는 약간 다른 방정식을 사용하여 동일한 파동을 기술한다.^[2] 각각 1차원 및 3차원:

{\regated}\properties(x,t)&=A\cos(2\pi(kx-\nu t)+\varphi )\\\\psi \left({\mathbf {r}}}},t\right)&=A\cos \left (2\pi({\mathbf {k}}}\cdot {\mathbf {r}-\nu t)+\varphi \right}\ended}}}}

위의 두 정의 간의 차이는 다음과 같다.

각 주파수 $\omega$ $\omega$ 은 $\omega$ (는) 물리학 정의에서, 주파수 $\nu$ $\nu$ 은(는) 결정학 정의에서 사용된다 $\nu$ . $2\pi \nu =\omega$ 2 $2\pi \nu =\omega$ = $(\displaystyle 2\pi \nu =\omega })$ 로 관련된다 $2\pi \nu =\omega$ 이러한 대체는 이 글에는 중요하지 않지만 결정학에서는 일반적인 관행을 반영한다.
The wavenumber $k$ and wave vector k are defined differently: in the physics definition above, $k= {\mathbf {k} } =2\pi /\lambda$ , while in the crystallography definition below, $k= {\mathbf {k} } =1/\lambda$ .

k의 방향은 다음 절에서 논한다.

파동 벡터 방향

파동 벡터 포인트가 "파동 전파 방향"과 구별되어야 하는 방향. "파동 전파 방향"은 파동의 에너지 흐름 방향이며, 작은 파동 패킷이 이동하는 방향, 즉 그룹 속도의 방향이다. 광파의 경우 이것이 포아닌팅 벡터의 방향이기도 하다. 반면에, 파동 벡터는 위상 속도의 방향을 가리킨다. 즉, 파동 벡터는 정상 방향으로 일정한 위상의 표면을 가리키며, 파동프론트라고도 한다.

공기, 기체, 액체, 비정형 고형분(유리 등), 입방 결정과 같은 무손실 등방성 매체에서 파동 벡터의 방향은 파동 전파 방향과 정확히 동일하다. 매체가 비등방성인 경우, 일반적으로 파동 벡터는 파동 전파 이외의 방향을 가리킨다. 파동이 전파되는 방향과 동일한 방향으로 파동 벡터가 가리키는 조건은 파동이 균질해야 한다는 것이며, 이는 매질이 비등방성일 때 반드시 충족되는 것은 아니다. 동질파에서 상수 위상의 표면도 상수 진폭의 표면이다. 이질적인 파동의 경우, 이 두 종류의 표면은 방향이 다르다. 파동 벡터는 항상 일정한 위상의 표면에 수직이다.

예를 들어 비대칭 수정을 통한 빛 파동이나 퇴적암을 통한 음파 등 비등방성 매체를 통해 파동이 이동할 때 파동 벡터는 파동 전파 방향을 정확히 가리키지 않을 수 있다.^[3]^[4]

솔리드 스테이트 물리학에서

고체물리학에서 결정의 전자나 구멍의 "파장"(k-벡터라고도 함)은 양자기계파함수의 파장이다. 이 전자파는 보통의 사인파는 아니지만, 일종의 사인파 기능을 가지고 있으며, 파동자는 그 봉투파를 통해 정의되는데, 보통 "물리학적 정의"를 사용한다. 자세한 내용은 Bloch의 정리를 참조하십시오.^[5]

특수상대성이론에서

특수상대성이론의 이동파 표면은 파장 표면을 통과하는 모든 사건에 의해 형성되는 스페이스타임의 초대면(3D 하위 공간)으로 간주할 수 있다. 웨이브트레인(일부 변수 X에 의해 표시됨)은 스페이스 시간 내에 그러한 과퍼페이스를 하나의 파라미터 계열로 간주할 수 있다. 이 변수 X는 스페이스타임에서의 위치의 스칼라 함수다. 이 스칼라의 파생형은 파동, 즉 4파장을 특징짓는 벡터다.^[6]

4파 벡터는 밍코프스키 좌표에서 다음과 같이 정의되는 파형 4벡터다.

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

여기서 각도 주파수 ${\frac {\omega }{c}}$ ${\frac {\omega }{c}}$ ${\$ 은 $\frac{\omega}{c}$ 시간 성분이고, 와벤넘버 벡터 ${\vec {k}}$ → ${\$ {\ $vec{k}}}}$ 은 공간 성분이다 ${\vec {k}}$ .

또는 wavenumber $k$ $k$ 을(를) 위상-속도 $v_{p}$ p ${\$ 로 나눈 $\omega$ 각도 주파수 $\omega$ ${\displaystyle$ v_{p}로 $v_{p}$ 쓰거나 역주기 T ${\displaystyty$ T $}$ 와 $T$ 역파장 $\lambda$ ${\displaystyleda \lambda }$ 로 쓰기도 $k$ 한다 $\lambda$

명시적으로 작성된 경우, 그 반대 및 공변량 형식은 다음과 같다.

{\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

일반적으로 4벡터 파형의 로렌츠 스칼라 크기는 다음과 같다.

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

질량이 없는(포토닉) 입자에 대해 4파장 벡터는 null이며, 여기서 나머지 질량 $m_{o}=0$ $m_{o}=0$ = 0 $m_{o}=0$

null 4파장치의 예는 위상-속도 $v_{p}=c$ = $v_{p}=c$ $v_{p}=c$ 을(를) 갖는 일관성 있는 단색광의 빔일 것이다.

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{for light-like/null}

4파장 주파수와 4파장 공간 부분의 크기 사이에 다음과 같은 관계가 있을 수 있다.

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

{for light-like/null}

4파장은 다음과 같이 4모멘텀과 관련이 있다.

P^{\mu }=\왼쪽({\frac {E}{c},{\vec {p}\오른쪽)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }}{c},{\vec {k}\오른쪽)

4파장은 다음과 같이 4주파와 관련이 있다.

K^{\mu }=\왼쪽({\frac {\omega }},{\vec {k}\오른쪽)=\왼쪽({\frac {2\pi }}{c}\오른쪽)N^{\mu }=\왼쪽({\frac {2\pi }{c}\오른쪽)\왼쪽(\nu,\nu {\vec}\오른쪽)

4파장은 다음과 같은 4폭과 관련이 있다.

K^{\mu }=\좌({\frac {\omega }},{\vec {k}\우)=\좌({\frac {\omega _{o}}}{c^{2}}}\우)U^{\mu }=\좌({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\우)\감마 \좌(c,{\vec {u}\우)

로렌츠 변환

4파장의 로렌츠 변환을 취하는 것은 상대론적 도플러 효과를 도출하는 한 방법이다. 로렌츠 행렬은 다음과 같이 정의된다.

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &0&0\\\\\beta \gamma &0&0&0\0&0&0&1\nd{pmatrix}}}

빠르게 움직이는 선원에 의해 빛이 방출되고 있고 지구(실험실) 프레임에서 감지되는 빛의 주파수를 알고자 하는 상황에서 로렌츠 변환을 다음과 같이 적용하고자 한다. 소스가 프레임 S에^s 있고 접지(Earth)가 관측 프레임 S에^obs 있다는 점에 유의하십시오. 로렌츠 변환을 파형 벡터에 적용

k_{s}^{\mu }^{\lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs}{}^{\nu}}}}}}}}}}

$\mu =0$ = $\mu =0$ $\mu =0$ 성분만 $\mu =0$ 보기 위해 선택하면

{\displaystyle{\begin{정렬}k_{s}^{0}&, =\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm{obs}}^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm{obs}}^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm{obs}}^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm{obs}}^ᆻ\\[3pt]{\frac{\omega_{s}}{c}}&=\gamma{\frac{\omega_{\mathrm{obs}}}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm{obs}}^{1}\\&, =\gamma{\frac{\omega_{.\mathrm{obs}}}{c}-\c}\ready \frac {\omega _{\mathrm{c}}}}{c}}}코스 \theta .\ended}}}}

$여기$ 서 $\cos \theta$ $⁡{\displaystyle \cos \theta}$ 는 $\cos \theta$ k $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$ 에 $k^{1}$ $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$ k $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$ ${\$ $},k^{1}=k^{0}\cos \theta.}$ 의 방향 코사인이다.

그렇게

{\frac {\omega _{\mathrm {}}}}{\mathrm _{s}={\frac {1}{\message (1-\message \cos \theta )}}}}}

소스 이동(빨간색)

예를 들어 소스가 관찰자로부터 직접 멀어지는 상황( ( = $\theta =\pi$ π = $\theta =\pi$ = π $\theta =\pi$ )에 이를 적용하면 다음과 같은 결과가 된다. $\theta =\pi$

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

(블루시프트) 방향으로 이동하는 소스

$\theta =0$ 가 관찰자를 향해 직진하고 있는 상황( $\theta =0$ = = $\theta =0$ {\ $displaystyle \theta =0}$ )에 이를 적용하려면: $\theta =0$

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

선원이 접선으로 이동(횡단 도플러 효과)

이를 관찰자에 대해 소스가 횡방향으로 이동하는 상황( ( = $\theta =\pi /2$ / $\theta =\pi /2$ {\ $displaystyle \theta =\pi$ / $2})$ 에 적용하려면: $\theta =\pi /2$

{\frac {\matrm {obs}}{\matrm { {}}}{\frac {1}{s}}={\frac {1}{\frac {1}{\mathematrm {=}}

참고 항목

참조

^ 물리학 정의 예:Harris, Benenson, Stöcker (2002). Handbook of Physics. p. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크) 결정학적 정의 예:
^ Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Modern Crystallography. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.
^ Fowles, Grant (1968). Introduction to modern optics. Holt, Rinehart, and Winston. p. 177.
^ 이 효과는 무스그레이브(1959)가 설명한 것으로, 비등방성 매체의 탄성파 에너지가 일반적으로 평기와 같은 경로를 따라 평면파전선으로 이동하지 않는다는 것을 보여주었고, 폴라드(1977)의 고형파 음파.
^ Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Bloch wave". Fundamental Formulas of Physics, Volume 2 (Reprint of Prentice-Hall 1955 2nd ed.). Courier-Dover. p. 624. ISBN 978-0486605968.
^ Wolfgang Rindler (1991). "§24 Wave motion". Introduction to Special Relativity (2nd ed.). Oxford Science Publications. pp. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

추가 읽기

Brau, Charles A. (2004). Modern Problems in Classical Electrodynamics. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-514665-3.

[1] 물리학 정의 예:Harris, Benenson, Stöcker (2002). Handbook of Physics. p. 288. ISBN 978-0-387-95269-7.{{cite book}}: CS1 maint : 복수이름 : 작성자 목록(링크) 결정학적 정의 예:

[2] Vaĭnshteĭn, Boris Konstantinovich (1994). Modern Crystallography. p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1.

[fowles-3] Fowles, Grant (1968). Introduction to modern optics. Holt, Rinehart, and Winston. p. 177.

[pollard-4] 이 효과는 무스그레이브(1959)가 설명한 것으로, 비등방성 매체의 탄성파 에너지가 일반적으로 평기와 같은 경로를 따라 평면파전선으로 이동하지 않는다는 것을 보여주었고, 폴라드(1977)의 고형파 음파.

[5] Donald H. Menzel (1960). "§10.5 Bloch wave". Fundamental Formulas of Physics, Volume 2 (Reprint of Prentice-Hall 1955 2nd ed.). Courier-Dover. p. 624. ISBN 978-0486605968.

[6] Wolfgang Rindler (1991). "§24 Wave motion". Introduction to Special Relativity (2nd ed.). Oxford Science Publications. pp. 60–65. ISBN 978-0-19-853952-0.

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