초월수 이론

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초월수 이론은 초월수(합리적 계수를 갖는 어떤 다항식 방정식의 해법이 아닌 숫자)를 정성적, 정량적으로 연구하는 수 이론의 한 분야다.

초월성

대수학의 근본적인 정리는 만약 우리가 합리적인 계수를 가진 비정규적 다항식(또는 등가적으로, 정수를 가진 분모를 지움으로써)을 가지고 있다면, 그 다항식은 복잡한 숫자에 뿌리를 내릴 것이라는 것을 말해준다. 즉, 합리적인 계수를 가진 비정규적 다항식 P ${\displaystyle P}$의 경우 P(α) = 0 ${\displaystyle$ P$(\alpha$)=$0}$과 같은 복잡한 숫자 α ${\$$displaystyle \alpha$$}$이(가) 있을 것이다. 초월 이론은 역 질문과 관련이 있다: 복잡한 숫자α{disc.P(α)= 0? ${\displaystyle$ P$(\alpha )=0?$와 같은 합리적인 계수를 가진 다항식 P ${\displaystyle$ $P$$}$을(를) 다시 입력하십시오.$}}$ 그러한 다항식이 존재하지 않으면 그 숫자를 초월이라고 한다.

보다 일반적으로 그 이론은 수의 대수적 독립성을 다룬다. 숫자의{α1, α2,…, αn}대수적으로 밭에 독립적이라 하고 집합 K이 있다면 어떠한 영이 아닌 다항식 P에서 n변수들과 계수에 K가 P(α1, α2,…, αn)=0. 그래서 일하기만 하는 것인지 주어진 번호는 초월은 정말 특별한 사건의 대수적 독립이 nx1및 분야 K가 필드의 합리적인 num.bers.

관련 개념은 대수 연산뿐만 아니라 지수 및 로그 등 숫자에 대한 폐쇄형 식이 있는지 여부다. "폐쇄형식"에 대한 정의는 다양하며, 폐쇄형식에 대한 질문은 종종 초월성에 대한 질문으로 전락할 수 있다.

역사

합리적인 숫자에 의한 근사치: 리우빌에서 로스까지

대수학이 아닌 물체를 가리키는 초월이라는 용어의 사용은 고트프리드 라이프니즈가 사인 함수가 대수적 함수가 아니라는 것을 증명했던 17세기로 거슬러 올라간다.^[1] 숫자의 특정 등급이 초월적일 수 있는지에 대한 문제는 1748년으로^[2] 거슬러 올라간다. 오일러가 숫자 logb가_a 합리적인 숫자 a와 b 제공 b의 대수가 아니라고 주장했을^[3] 때, 어떤 합리적인 c의 형식 b = a가^c 아니다.

오일러의 주장은 20세기가 되어서야 증명되었지만, 그의 주장 조셉 리우빌이 그 때까지 확실히 알려지지 않았던, 대수학적이지 않은 숫자의 존재를 간신히 증명해낸 후 거의 100년이 지난 후였다.^[4] 1840년대 그의 논문은 초월적 숫자를 구성하기 위해 계속적인 분수를 사용한 주장을 스케치했다. 이후 1850년대에 그는 숫자가 대수학적이 되기 위해 필요한 조건을 제시했고, 따라서 숫자가 초월하기 위한 충분한 조건을 제시하였다.^[5] 이 초월성 기준도 역시 필요할 만큼 강하지 않았고, 실제로 숫자 e가 초월적이라는 것을 감지하지 못한다. 그러나 그의 작품은 현재 그의 명예에 있어서 리우빌 숫자로 알려진 더 큰 종류의 초월적 숫자를 제공했다.

리우빌의 기준은 본질적으로 대수적 숫자는 합리적인 숫자로 매우 잘 근사할 수 없다고 말했다. 따라서 어떤 숫자가 합리적인 숫자에 의해 매우 근사하게 추정될 수 있다면 그것은 초월적이어야 한다. 리우빌의 작품에서 "아주 근사치"라는 정확한 의미는 어떤 지수와 관련이 있다. 그는 α가 도 d의 대수적 수이고 α가 0보다 큰 숫자라면 그 표현은 다음과 같은 것을 보여주었다.

${\displaystyle \left -{\frac {p}{q}}\right <{\frac {1}{q^{d+\varepsilon }}}}}}}}$

오직 많은 합리적인 숫자의 p/q만으로 만족할 수 있다. 이것을 초월성의 기준으로 삼는 것은 사소한 것이 아니며, D ≥ 2 마다 무한히 많은 해결책 p/q가 있는지 확인해야 하기 때문이다.

20세기 악셀 투에의 작품에서 ^[6]칼 시겔,^[7] 클라우스 로스의^[8] 작품에서는 리우빌의 작품의 지수를 d + ε에서 d/2 + 1 + ε으로, 마지막으로 1955년에 2 + ε으로 줄였다. Thue-Siegel-Roth 정리라고 알려진 이 결과는 표면적으로는 가장 가능한 것으로, 지수 2 + ε을 단 2로 대체하면 그 결과는 더 이상 사실이 아니기 때문이다. 그러나, 세르게 랭은 로스의 결과의 향상을 추측했다; 특히 오른쪽 측면의 분모의 q가^2+ε q log (q) 1 ++ {\displaystyle $q^{2$}{\$text{$log ($q)}}^{1+\epsilon$로 줄어들 수 있다고 추측했다.

로스의 작품은 리우빌에 의해 시작된 작업을 효과적으로 끝냈고, 그의 정리는 수학자들이 참퍼나운 상수와 같은 더 많은 수의 초월성을 증명할 수 있게 했다. 그러나 이 정리는 여전히 모든 초월적 숫자를 검출하기에 충분히 강하지 않으며, e와 π을 포함한 많은 유명한 상수는 위의 의미로는 그리 근사하지 않거나 잘 알려져 있지 않다.^[9]

보조 기능: 에르미테 투 베이커

다행히도 e의 대수적 성질을 다루기 위해 19세기에 다른 방법들이 개척되었고, 결과적으로 오일러의 정체성을 통해 π의 성격을 다루게 되었다. 이 작업은 소위 보조 기능의 사용에 중점을 두었다. 이러한 기능들은 일반적으로 고려 중인 지점에 많은 0이 있는 기능이다. 여기서 "많은 0"은 많은 구별되는 0을 의미할 수도 있고, 1 0만큼 적은 수의 0을 의미할 수도 있지만, 높은 다수를 가진 0을 의미할 수도 있다. 찰스 헤르미테는 1873년 e ${\displaystyle e$}의 초월성을 증명하기 위해 각 자연수 k ${\displaystyle k}$에 대해 ek x ${\$ e$^{kx}$의 함수들을 근사적으로 추정하는 보조 기능을 사용했다.^[10] 그의 작품은 e가^α 0이 아닌 대수 α에 대한 초월적이라는 것을 증명하기 위해 1880년대에^[11] 페르디난드 폰 린데만에 의해 세워졌다. 특히 이것은 e가^πi 대수학이기 때문에 π이 초월적이라는 것을 증명했고, 따라서 원을 제곱하는 것이 가능한가에 대한 고대의 문제에 대해서는 음으로 답변했다. Karl Weierstrass는 그들의 작업을 더 발전시켰고 결국 Lindemann-을 증명했다.1885년 위어스트라스 정리.^[12]

1900년에 David Hilbert는 그의 유명한 문제집들을 제기했다. 이것들 중 일곱번째, 그리고 힐베르트의 추정에 있어서 가장 어려운 것 중의 하나는 a와 b가 대수학이고 a는 0이나 1이 아니며 b는 비합리적인 형태의 숫자의^b 초월성에 대해 물었다. 1930년대에 알렉산더 겔폰드와^[13] 테오도르 슈나이더는^[14] 시겔의 보조기구에 의해 존재가 부여된 비익명적 보조기능을 사용하여 그러한 모든 숫자가 실로 초월적이라는 것을 증명했다. 이 결과, Gelfond-Schneider 정리에서는 e와^π Gelfond-Schneider 상수와 같은 수의 초월성을 증명하였다.

이 분야에서 다음 큰 결과는 1960년대에 일어났는데, 그 때 앨런 베이커가 로그의 선형 형태에 대해 Gelfond가 제기한 문제에 대해 진전을 이루었다. 겔폰드 자신은 그 수량에 대한 비독점적인 하한선을 겨우 찾아냈었다.

${\displaystyle \cHB_{1}\log \cHB_{1}+\cHB_{2}\log \cHB_{2} \,}$

여기서 네 가지 미지의 모든 것이 대수학이고, α는 0도 1도 아니며 β는 비이성적이다. 그러나 3개 이상의 로그 합계에 대해 유사한 하한을 발견하는 것은 Gelfond를 피했다. 베이커의 정리 증명에는 그러한 한계가 들어 있어 그 과정에서 가우스의 클래스 넘버 문제를 해결했다. 이 작품은 디오판틴 방정식을 푸는 데 사용한 것으로 베이커 더 필즈 메달을 획득했다. 순수하게 초월적인 숫자의 이론적 관점에서 베이커는 만약 α₁, ..., α가_n 대수적 숫자라면, 그 중 0이나 1은 하나도 없고, β₁, ..., β는_n 1, β₁, ..., β는_n 이성적 숫자에 대해 선형적으로 독립된 대수적 숫자라는 것을 증명했다.

${\displaystyle \property_{1}^{1}^{1}\pair_{1}^{1}\pair_{2}\cdots \pair_{n}^{n}}}}$

초월적이야^[15]

기타 기술: 캔터 및 질버

1870년대에 게오르크 칸토르는 세트 이론을 개발하기 시작했고, 1874년에 대수학 숫자를 자연수 집합과 일대일 일치에 넣을 수 있다는 것을 증명하는 논문을 발표하여, 따라서 초월수 집합은 헤아릴 수 없는 것이어야 한다는 것을 증명하였다.^[16] 이후 1891년에 칸토르는 같은 결과를 증명하기 위해 더욱 친숙한 대각선 주장을 사용했다.^[17] 칸토어의 결과는 종종 순전히 실존적인 것으로 인용되어 하나의 초월적 숫자를 구성하는 데 사용할 수 없는 반면, 앞서 언급한 두 논문의 증명들은 초월적 숫자를 구성하는 방법을 제시한다.^[18][19][20]

칸토어는 초월수의 연공성을 증명하기 위해 집합이론을 사용했지만, 최근의 발전은 초월수 이론에서 미해결 문제를 증명하기 위한 시도에 모델 이론의 사용이었다. 문제는 그 분야의 초월도를 결정하는 것이다.

${\displaystyle K=\mathb {Q}(x_{1},\ldots,x_{n},e^{x_{1},\ldots,e^{x_{n})}$

합리적인 숫자에 대해 선형적으로 독립적인 복잡한 숫자 x₁, ..., x의_n 경우. 스티븐 샤누엘은 그 대답이 적어도 n은 맞다고 추측했지만, 어떤 증거도 알려지지 않았다. 그러나 2004년에 보리스 질버는 덧셈, 곱셈, 지수의 연산을 갖춘 복잡한 숫자와 매우 비슷하게 동작하는 구조를 만들기 위해 모델 이론적 기법을 사용한 논문을 발표했다. 더구나 이 추상적인 구조에서는 샤누엘의 추측이 참으로 유효하다.^[21] 불행히도 이 구조가 실제로 언급된 작전의 복잡한 숫자와 같다는 것은 아직 알려져 있지 않다; 복잡한 숫자와 매우 유사하게 작용하는 다른 추상적인 구조가 존재할 수 있지만 샤누엘의 추측이 뒷받침되지 않는 곳이 있을 수 있다. 질버는 문제의 구조가 C라는 것을 증명할 수 있는 몇 가지 기준을 제시했지만, 이른바 강 지수 폐쇄 공리를 증명할 수는 없었다. 이 공리의 가장 단순한 사례는 그 후 증명되었지만,^[22] 추측의 증거를 완성하기 위해서는 완전한 일반성을 가지고 있는 증거가 필요하다.

접근

수학의 이 영역에서 전형적인 문제는 주어진 숫자가 초월적인지 여부를 알아내는 것이다. 칸토어는 카디널리티 인수를 사용하여 대수학 숫자가 셀 수 없이 많으며, 따라서 거의 모든 숫자가 초월적이라는 것을 보여주었다. 그러므로 초월적 숫자는 전형적인 경우를 나타낸다; 그렇다 하더라도, 주어진 숫자가 초월적이라는 것을 증명하는 것은 매우 어려울 수 있다.

이러한 이유로 초월 이론은 종종 더 양적인 접근을 향해 작용한다. 그래서 특정한 복합수 α를 주어서는 α가 대수수가 되는 것에 얼마나 가까운가를 물을 수 있다. 예를 들어, 만약 숫자 α가 대수학이라고 가정한다면, 매우 높은 정도 또는 매우 큰 계수를 가진 최소 다항식을 가져야 한다는 것을 보여줄 수 있는가? 궁극적으로 계수의 유한 정도나 크기가 충분치 않다는 것을 보여줄 수 있다면 그 숫자는 초월적이어야 한다. 숫자 α는 정수 계수를 가진 0이 아닌 모든 다항식 P에 대해 P(α) 0 0일 경우에만 초월하므로, 이 문제는 형식의 하한을 찾으려고 노력함으로써 접근할 수 있다.

$(\디스플레이 스타일 P(a) >F(A,d)}$

여기서 우측은 P의 계수 크기 A와 그 도 d의 일부 측도에 따라 약간의 양의 함수로서, 이러한 하한이 모든 P ≠ 0에 적용되도록 한다. 그러한 경계를 초월 측정이라고 한다.

d = 1의 경우는 하한을 요청하는 "일반적인" 이오판틴 근사값이다.

a x+ b $displaystyle ax+b$ }.

초월 이론과 디오판틴 근사법의 공통점은 두 가지 모두 보조 함수 개념을 사용한다.

주요결과

Gelfond-Schneider 정리는 1900-1950년에 초월 이론의 주요한 진보였다. 1960년대에 대수적 숫자의 로그에서 선형 형태에 대한 앨런 베이커의 방법은 수많은 고전적 문제와 디오판틴 방정식에 적용하여 초월 이론을 재생시켰다.

말러 분류

1932년 쿠르트 말러는 초월적 숫자를 S, T, U라고 불리는 3개의 등급으로 나누었다.^[23] 이 등급들의 정의는 Louville 번호의 아이디어의 연장선에 있다.

실수의 비합리성 측도

Louville 숫자를 정의하는 한 가지 방법은 주어진 실수 x가 정확히 0으로 만들지 않고 얼마나 작은 선형 다항식 qx - p를 만드는지 고려하는 것이다. 여기서 p, q는 양의 정수 H로 경계된 p , q의 정수다.

m(x, 1,H) ${\displaystyle m(x,1,H)}$을(를) 0이 아닌 최소 절대값이 되도록 두십시오.

${\displaystyle \omega(x,1,H)=-{\frac {\log m(x,1,H)}{\log H}}$

$\displaystyle \omega (x,1)=\limsup _{H\to \infit }\,\omega(x,1,H)}$

Ω(x, 1)은 종종 실수 x의 비합리성 측도라고 불리는데, 합리적인 숫자의 경우 Ω(x, 1) = 0이고, 비합리적인 실수의 경우 최소 1이다. Louville 번호는 비합리성을 무한대로 측정할 수 있도록 정의된다. 로스의 정리에는 비합리적인 실제 대수적 숫자가 비합리성 1의 측도를 가지고 있다고 되어 있다.

복합수의 초월성 측도

다음에는 복합수 x에서 다항식 값을 고려한다. 이러한 다항식들이 정수 계수, 최대 n의 정도 및 높이가 최대 H이고, n, H는 양의 정수인 경우.

m( x, n, H) ${\displaystyle m(x,n,H)}$을(를) x ${\displaystyle x}$에서 이러한 다항식이 차지하는 최소 0이 아닌 절대값이 되도록 하고 다음을 취하십시오.

${\displaystyle \omega(x,n,H)=-{\frac {\log m(x,n,H)}{n\log H}}$

$\displaystyle \omega (x,n)=\limsup _{H\to \fty }\,\omega(x,n,H)}$

이 값이 일부 최소 양의 정수 n에 대해 무한하다고 가정하십시오. 이 경우 복잡한 숫자 x를 U n의 숫자라고 한다.

이제 우리는 정의할 수 있다.

$\displaystyle \omega(x)=\limsup _{n\to \infit }\,\omega(x,n).}$

Ω(x)은 흔히 x의 초월성 측도라고 하는데, Ω(x, n)이 경계라면 Ω(x)은 유한하고, x는 S수라고 한다. Ω(x, n)이 유한하지만 한이 없는 경우, x를 T수라고 한다. x는 Ω(x) = 0인 경우에만 대수학이다.

분명히 Louville 번호는 U 번호의 하위 집합이다. 1953년 William LeVeque는 원하는 정도의 U 숫자를 만들었다.^[24] Louville 번호와 따라서 U 번호는 셀 수 없는 집합이다. 그것들은 측정값 0의 집합이다.^[25]

T 숫자는 또한 측정값 0의 집합으로 구성된다.^[26] 그들의 존재를 보여주는 데 약 35년이 걸렸다. 볼프강 M. 1968년 슈미트는 예가 존재한다는 것을 보여주었다. 그러나 거의 모든 복잡한 숫자는 S 숫자다.^[27] 말러는 지수함수가 모든 0이 아닌 대수적 숫자를 S 번호로 보낸다는 것을 증명했다:^[28][29] 이것은 e가 S 번호라는 것을 보여주고 π의 초월성을 증명한다. 이 숫자 π은 U 번호가 아닌 것으로 알려져 있다.^[30] 다른 많은 초월적 숫자들은 분류되지 않은 채로 남아 있다.

두 숫자 x, y는 P(x, y) = 0과 같은 정수 계수를 가진 두 개의 인디테마인에 0이 아닌 다항식 P가 있으면 대수적으로 종속된다고 한다. 대수적으로 종속된 두 개의 복잡한 숫자가 동일한 말러 등급에 속한다는 강력한 정리가 있다.^[24][31] 이것은 e 또는 π을 가진 Louville 숫자의 합과 같은 새로운 초월적 숫자의 구성을 가능하게 한다.

기호 S는 아마도 말러의 스승 칼 루드비히 시겔의 이름을 나타냈을 것이고, T와 U는 다음 두 글자일 뿐이다.

코크스마 등가분류

1939년 Jurien Koksma는 대수적 숫자에 의한 근사치에 기초한 또 다른 분류를 제안했다.^[23][32]

≤ n과 높이 ≤ H의 대수적 숫자에 의한 복합수 x의 근사치를 고려한다. x - α가 최소 양의 값을 갖는 이 유한한 집합의 대수적 숫자로 하자. 다음을 기준으로 Ω*(x, H, n) 및 Ω*(x, n) 정의:

${\displaystyle x-\alpha =H^{-n\omega^{*}(x,H,n)-1}}$

$\displaystyle \omega ^{*}(x,n)=\limsup _{H\to \infit }\,\omega ^{*}(x,n,H)}$

가장 작은 양의 정수 n에 대해 Ω*(x, n)이 무한이면 x를 U*-도 n의 수라고 한다.

Ω*(x, n)이 경계되고 0으로 수렴되지 않으면 x를 S*-숫자라 한다.

숫자 x는 Ω*(x, n)이 0으로 수렴하면 A*-숫자로 불린다.

Ω*(x, n)이 모두 유한하지만 무한인 경우, x를 T*-숫자라 한다.

콕스마와 말러의 분류는 초월적 숫자를 같은 부류로 나눈다는 점에서 동등하다.^[32] A*-number는 대수적 숫자다.^[27]

르베크의 건축

내버려두다

${\displaystyle \lambda ={\tfrac {1}{3}+\sum _{k=1}^{\inful }10^{-k!}.}$

λ(Liouville number)의 n번째 루트는 degree(Liouville n)의 U-숫자 n임을 알 수 있다.^[33]

이 건축은 헤아릴 수 없는 수준의 n급 U-number 가족을 만들기 위해 개선될 수 있다. Z를 위의 시리즈에서 10의 다른 모든 파워로 구성된 세트로 λ. Z의 모든 하위 집합의 집합은 계산할 수 없다. λ에 대한 시리즈에서 Z의 하위 집합을 삭제하면 헤아릴 수 없이 많은 구별되는 Louville 숫자가 생성되는데, 그 n번째 뿌리는 n의 U-number이다.

유형

{Ω(x, n)} 시퀀스의 우월성을 유형이라고 한다. 거의 모든 실수는 유형 1의 S 번호로 실수의 경우 최소값이다. 거의 모든 복잡한 숫자는 타입 1/2의 S 번호로, 또한 최소값이다. 거의 모든 숫자의 주장은 말러에 의해 추측되었고 1965년에 블라디미르 스프린츠후크에 의해 증명되었다.^[34]

문제 열기

Gelfond-Schneider 정리가 많은 부류의 수가 초월적이라는 것을 증명했지만, 이 부류는 여전히 셀 수 있었다. 잘 알려진 많은 수학 상수들은 여전히 초월적인 것으로 알려져 있지 않으며, 어떤 경우에는 그것이 이성적인지 비합리적인지조차 알려져 있지 않다. 일부 목록은 여기에서 찾을 수 있다.

초월 이론의 주요한 문제는 개별적인 요소들이 초월적이라는 것을 단순히 보여주기 보다는 특정한 숫자의 집합이 대수적으로 독립적이라는 것을 보여주는 것이다. 그래서 e와 π이 초월적이라는 것을 우리는 알고 있지만, e + π이 초월적이라는 것을 의미하지 않는 초월성이나, 그 둘의 다른 조합(e를^π 제외하고, 초월성이 있다고 알려진 Gelfond의 상수)은 아니다. 지수함수와 무관한 숫자를 다루는 것도 큰 문제다. 초월 이론의 주요 결과는 e와 로그 함수를 중심으로 회전하는 경향이 있는데, 이것은 완전히 새로운 방법들이 이 두 물체의 관점에서 표현할 수 없는 숫자를 초등적인 방식으로 다루기 위해 요구되는 경향이 있다는 것을 의미한다.

샤누엘의 추측은 대수적 독립성을 다루며 e+π이 초월적이라는 것을 실제로 확인할 것이기 때문에 이러한 문제들 중 첫 번째를 어느 정도 해결할 수 있을 것이다. 그러나 그것은 여전히 지수함수를 중심으로 회전하며, 따라서 아페리의 상수나 오일러-마스케로니 상수와 같은 숫자를 반드시 다루지는 않을 것이다. 또 하나의 극히 어려운 미해결 문제는 이른바 상수나 정체성 문제다.^[35]

메모들

참조

• Baker, Alan (1975). Transcendental Number Theory. paperback edition 1990. Cambridge University Press. ISBN 0-521-20461-5. Zbl 0297.10013.
• Gelfond, A. O. (1960). Transcendental and Algebraic Numbers. Dover. Zbl 0090.26103.
• Lang, Serge (1966). Introduction to Transcendental Numbers. Addison–Wesley. Zbl 0144.04101.
• Natarajan, Saradha; Thangadurai, Ravindranathan (2020). Pillars of Transcendental Number Theory. Springer Verlag. ISBN 978-981-15-4154-4.
• Sprindzhuk, Vladimir G. (1969). Mahler's Problem in Metric Number Theory (1967). AMS Translations of Mathematical Monographs. Translated from Russian by B. Volkmann. American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-4442-6.
• Sprindzhuk, Vladimir G. (1979). Metric theory of Diophantine approximations. Scripta Series in Mathematics. Translated from Russian by Richard A. Silverman. Foreword by Donald J. Newman. Wiley. ISBN 0-470-26706-2. Zbl 0482.10047.

추가 읽기

• 앨런 베이커와 기스버트 뷔스트홀츠, 로그 형태와 디오판틴 기하학, 뉴메틱 모노그래프 9, 캠브리지 대학 출판부, 2007, ISBN 978-0-521-88268-2