슈르 보어

Schur complement

선형 대수학행렬 이론에서 블록 행렬슈르 보어는 다음과 같이 정의된다.

p, q가 음이 아닌 정수라고 가정하고, A, B, C, D가 각각 p × p, p × q, × q 매트릭스라고 가정한다.내버려두다

그래서 M은 (p + q) × (p + q) 행렬이다.

D가 변위불능인 경우, M행렬의 블록 D의 Schur 보어는 다음과 같이 정의된 p × p행렬이다.

A가 변위불능인 경우, M행렬의 블록 A슈르 보어q × q행렬로 정의된다.

A 또는 D단수인 경우, M/AM/D의 인버스에 일반화된 역을 대입하면 일반화된 슈르 보수가 나온다.

슈르보충은 이전에도 사용되었지만 슈르의 보조정리증을 증명하기 위해 사용했던 잇사이 슈르의 이름을 따서 붙여졌다.[1]에밀리 버지니아 해인스워스는 이것을 슈어 보완제라고 부른 첫 번째 사람이었다.[2]슈르 보완은 수치 분석, 통계, 매트릭스 분석 분야의 핵심 도구다.

배경

슈르 보어는 매트릭스 M에서 블록 가우스 제거를 수행할 때 발생한다.블록 대각선 아래의 원소를 제거하기 위해 우측의 블록 하부 삼각 행렬에 의해 행렬 M을 다음과 같이 곱한다.

여기p 나는 p×p 아이덴티티 매트릭스를 나타낸다.그 결과, 슈르 보충제는 = - B - C 디스플레이 가 왼쪽 상단 p×p 블록에 나타난다.

이 지점 이상으로 제거 프로세스 계속(즉, 블록 가우스-요르단 제거 수행)

MLDU 분해로 이어지며, M은 다음과 같다.

따라서 M의 역행은 D−1 포함하며, 존재한다고 가정하면 슈르의 보어의 역행은 다음과 같이 표현될 수 있다.

상기 관계는 D−1 M/D를 수반하는 제거 작업에서 비롯된다.등가 도출은 A와 D의 역할을 상호 교환하여 수행할 수 있다.이 두 가지 다른 방법으로 얻은 M−1 대한 표현을 동일시함으로써 M: M/DM/A의 두 가지 Schur 보완과 관련된 매트릭스 반전 보조정리(Woodbury 매트릭스 아이덴티티 § Alternative proofs의 "LDU 분해로부터의 탈리버전" 참조)를 설정할 수 있다.

특성.

  • pq가 둘 다 1이면(, A, B, C, D는 모두 스칼라) 우리는 2x2 행렬의 역행렬에 대한 친숙한 공식을 얻는다.
    AD - BC가 0이 아닌 경우.
  • 일반적으로 A가 변절불능이면
    이 역이 존재할 때마다
  • A, 각 D가 변위불능일 때 M의 결정인자는 또한 다음과 같이 분명하게 나타난다.
    ( )= ( ) - - ) 각각.
    ( )= ) - - ) (D)\
    2 × 2 행렬에 대한 결정 공식을 일반화한다.
  • (Guttman rank additivity 공식) D가 변절불능이면 M랭크는 다음과 같이 주어진다.
    (Haynsworth 관성 부가성 공식) A가 변위성이면 블록 매트릭스 M관성 + M/A의 관성과 동일하다.

선형 방정식 해결에 적용

슈르 보어는 다음과[3] 같은 선형 방정식의 시스템을 풀 때 자연적으로 발생한다.

서브트릭스 (를) 변환할 수 없다고 가정하면 다음과 같이 방정식에서 을(를) 제거할 수 있다.

= - (- B ) .

이 식을 두 번째 방정식으로 대체하는 것

- - ) y= - A-

이것을 원래 방정식에서 을(를) 제거하여 얻은 축소 방정식이라고 한다.축소 방정식에 나타나는 행렬을 첫 번째 블록 의 Schur 보완이라고 한다

= e - - .

감소된 방정식을 풀어서 우리는 얻는다.

= - 1( - A- ) .

이것을 첫 번째 방정식으로 대체하는 것

=( - + A- 1 S- - 1)- - - A^{-1}+BS}{-)u-A^{-1}{-

위의 두 방정식을 다음과 같이 표현할 수 있다.

[)y])[A− 1+A− 1BS− 1C− 1− − 1BS− 1− S− 1C− 1S− 1][u'v']{\displaystyle{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A^{)}+A^{)}BS^{)}CA^{)}&, -A^{)}BS^{)}\\-S^{)}CA^{)}&amp을 말한다.S^{)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u\\v\end{bm.

따라서 블럭 행렬의 역행렬에 대한 공식은 다음과 같다.

.

특히, 우리는 슈어 보수가 의 역행의, 블록 엔트리의 역행임을 알 수 있다

실제로 이 알고리즘이 수치적으로 정확하려면 이(가) 잘 갖춰져 있어야 한다.

전기 공학에서 이것은 흔히 노드 제거 또는 크론 감소라고 불린다.

확률 이론 및 통계에 대한 적용

랜덤 열 벡터 X, Y가 각각 Rn Rm 살고, 벡터n + m(X, Y)가 다변량 정규 분포를 가지며 공분산이 대칭 양-확정성 행렬이라고 가정하자.

where is the covariance matrix of X, is the covariance matrix of Y and is the covariance matrix between X and Y.

그러면 주어진 X조건부 공분산 [4]

위의 행렬 을 랜덤 벡터의 공분산이 아닌 표본 공분산으로 본다면 위시아트 분포가 있을 수 있다.이 경우 있는 C의 슈르 보충판도 위시아트 분포를 가진다.[citation needed]

양의 정의 및 반정의 조건

X가 대칭 행렬이 되도록 한다.

그러면

  • A가 변위할 수 없는 경우, A그 보완 X/A가 모두 양수인 경우에만 X가 양수확정이다.
    [5]
  • C가 변위할 수 없는 경우, C 그 보완 X/C가 모두 양수일 경우에만 X가 양수일 경우:
  • A가 양수인 경우, X가 양수인 경우에만 양수인 반수확수 X/A가 양수인 경우:
    [5]
  • C가 양수인 경우, X가 양수인 경우에만 X가 양수 반수확이다.

첫 번째와 세 번째 문장은 수량의 최소화를 고려하여 도출할[3] 수 있다.

v의 함수로서 (고정 u의 경우)

게다가, 그 이후로

그리고 유사하게 양의 반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반-반

일반화된 슈르 보완의 관점에서 X의 양의 반정의 충분하고 필요한 조건도 있다.[1]바로 그거야

여기서 a 일반화된 역수를 의미한다

참고 항목

참조

  1. ^ a b Zhang, Fuzhen (2005). Zhang, Fuzhen (ed.). The Schur Complement and Its Applications. Numerical Methods and Algorithms. Vol. 4. Springer. doi:10.1007/b105056. ISBN 0-387-24271-6.
  2. ^ Haynsworth, E. V. "On the Schur Compons", Basel Mathemical Notes, #BNB 20, 17페이지, 1968년 6월.
  3. ^ a b 보이드, S., 반덴베헤, L. (2004), "콘벡스 최적화", 캠브리지 대학 출판부(부록 A.5.5)
  4. ^ von Mises, Richard (1964). "Chapter VIII.9.3". Mathematical theory of probability and statistics. Academic Press. ISBN 978-1483255385.
  5. ^ a b Zhang, Fuzhen (2005). The Schur Complement and Its Applications. Springer. p. 34.