일반화 역수

수학, 특히 대수학에서, 원소 x의 일반화된 역(또는 g-inverse)은 역소자의 일부 특성을 가지고 있지만 반드시 전부는 아닌 원소 y이다. 일반화된 invers는 연관성 있는 곱셈, 즉 sem그룹을 포함하는 모든 수학 구조에서 정의될 수 있다. 이 문서에서는 행렬 A ${\displaystyle A}$의 일반화된 invers를 설명한다.

A matrix ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }\in \mathbb {R} ^{n\times m}}$ is a generalized inverse of a matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {R} ^{m\times n}}$ if ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A.$$}$^[1][2][3]

행렬의 일반화된 역행렬을 구성하는 목적은 어떤 의미에서 변위 행렬보다 더 넓은 종류의 행렬에 대해 역행할 수 있는 행렬을 구하는 것이다. 임의행렬에 일반화된 역행렬이 존재하며, 행렬이 정규 역행렬을 가질 때 이 역행렬은 그 고유한 일반화된 역행렬이다.^[1]

동기

선형 시스템을 고려하십시오.

${\displaystyle Ax=y}$

where ${\displaystyle A}$ is an ${\displaystyle n\times m}$ matrix and ${\displaystyle y\in {\mathcal {R}}(A),}$ the column space of ${\displaystyle A}$. If ${\displaystyle A}$ is nonsingular (which implies ${\displaystyle n=m}$) then ${\displaystyle x=A^{$$-1}y}$이(가) 시스템의 해결책이 될 것이다. A ${\displaystyle A}$이(가) 비정형인 경우

${\displaystyle AA^{-1}A=A.}$

이제 A ${\displaystyle A}$이(가) 직사각형(n ≠ m ${\displaystyle n\neq m})$이거나 정사각형 및 단수형이라고 가정해 보십시오. 그러면 우리는 모든 y ∈ R( A), ${\displaystyle y\in {\mathcal {R}(A),}$에 대해 m × n ${\displaystyle m\times n}$의 올바른 후보 G ${\displaystystyle G}$이(가)가 필요하다.

$AGY=y.}$^[4]

즉, x= G y ${\displaystyle$ x$=Gy}$는 선형 시스템 A x= y ${\displaystyle Ax=y}$의 솔루션이며, 이와 동등하게 순서 m × n ${\displaystyle m\times n}$의 행렬 G ${\displaystyle$ G$}$이 $필요$하다.

$A.A.A.}$

다음과 같이 그래서 우리가:{\displaystyle m\times의 스녀}{A\displaystyle}행렬 m×n이 일반화된 역을 정의할 수 있는 n×m{\displaystyle n\times습니다.}행렬 G{G\displaystyle}한{A\displaystyle}의 개념화된 인버스 AGA)A.{\displaystyle AGA=A다고 한다.}매트릭스 A[1][2][3]- 1 ${\$ A$^{-1}$ 일부 저자에 의해 A ${\displaystyle A}$의 정규 역칭으로 불렸다.^[5]

종류들

Penrose 조건은 A ∈ R n× m ${\$A\$in {R}$\mathb {R} ^{$n\time$ m$}$및 Ag $display$ R m × $n$ : {\$displaystyle A^{\mathrm$ {g$} \in \mathb$ {R} $^{m\timesn$}}}}}}}}}}}}}}}}}}에 대해 서로 다른 일반화된 in$:}$을 정의한다.

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g}}A^{}\mathrm {g}}=A^{\mathrm {g}}}}}}$
3. ${\displaystyle(AA^{\mathrm {g} }}^{*}=AA^{\mathrm{g}}}}$
4. ${\displaystyle (A^{\mathrm {g} }A)^{*}=A^{\mathrm {g}A,}$

여기서 $∗{\$은(는) 결합 전치성을 나타낸다. A g ${\$ A$^{\mathrm {g}}}}$이(가) 첫 번째 조건을 만족하면 A ${\displaystyle A}$의 일반화된 역이다. 처음 두 조건을 만족하면 A ${\displaystyle A}$의 반사 일반화된 역이다. 네 가지 조건을 모두 만족하면 A ${\dis$의 유사역이다.A+ ${\$ A$^{+}}$가 가리키는$플레이스타일 A$}.^[6][7][2][8] 사이비인버스(pseudinverse)는 E. H. 무어와 로저 펜로즈의 선구적인 작품 뒤에 무어-펜로즈 역이라고 부르기도 한다. ^{[6][9][10][11][12]}

${\displaystyle A}$이(가) 비송수인 경우 일반화된 역 A g= A- 1 ${\$ A$^{\mathrm$ {$g} }=A^{-1}$이(가) 고유하다. 그렇지 않으면 4개 미만의 요소를 가진 지정된 I ${\displaystyle I}$에 대해 무한정많은 I {\displaystyle I$}$이(가) 있다. 단, 의사역학은 고유하다.(^[13]참고: 나는 있으므로 나는 매트릭스를 의미하는 다른 일반적인 용도와 혼동해서는 안 된다 ID{\displaystyle 1세}(를)및 나는 펜로즈 아래의하위섹션에 정의되어 조건 반대는{\displaystyle 1세}{\displaystyle 1세}.

다른 종류의 일반화된 역이 있다.

• 단측 역(우측 역 또는 좌측 역)
  • 오른쪽 역: If the matrix ${\displaystyle A}$ has dimensions ${\displaystyle n\times m}$ and ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=n}$, then there exists an ${\displaystyle m\times n}$ matrix ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}}$ called the right inverse of ${\displaystyle$A$}$ 그러한 AR -1 = I n{\$displaystyle AA_{\mathrm {R}^{-1}=$$I_{n$ 여기서 In ${\$은(는) n × n ${\displaystyle n\times$ n$}$ ID 행렬이다.
  • 왼쪽 역: If the matrix ${\displaystyle A}$ has dimensions ${\displaystyle n\times m}$ and ${\displaystyle {\textrm {rank}}(A)=m}$, then there exists an ${\displaystyle m\times n}$ matrix ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}}$ called the left inverse of ${\displaystyle A$$}$ A -1 A= I m ${\$$I_{m$ 여기서 Im ${\$은(는) m ×m {\$displaystyle m\times$ m$}$ ID 매트릭스다.^[14]

• 보트-더핀 역
• 드라진 역

예

반사 일반화된 역

내버려두다

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}},\quad G={\begin{bmatrix}-{\frac {5}{3}}&{\frac {2}{3}}&0\\[4pt]{\frac {4}{3}}&-{\frac {1}{3}}&0\\[4pt]0&0&0\end{bmatrix}}.}$

det( A)= 0 ${\displaystyle \det(A)=0}$이므로, A ${\displaystyle A}$은(는) 단수이며 정규 역이 없다. 그러나 A ${\displaystyle$ A$}$과 G ${\displaystyle G}$은(는) 펜로즈 조건 (1)과 (2)를 충족하지만 (3)이나 (4)은 충족하지 않는다. 따라서 G ${\displaystyle G}$은(는$)$ A {\$displaystyle A}$의 반사적으로 일반화된 역이다.

단측 역수

내버려두다

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad A_{\mathrm {R} }^{-1}={\begin{bmatrix}-{\frac {17}{18}}&{\frac {8}{18}}\\[4pt]-{\frac {2}{18}}&{\frac {2}{18}}\\[4pt]{\frac {13}{18}}&-{\frac {4}{18}}\end{bmatrix}}.}$

A ${\displaystyle A}$이(가) 정사각형이 아니기 때문에 A ${\displaystyle$ A$}$에는 정규 역이 없다. 단, A R- 1 ${\$는 A ${\displaystyle A}$의 오른쪽 역행이다. 행렬 A ${\displaystyle A}$에는 왼쪽 역행 행렬이 없다.

다른 세미그룹(또는 링)의 역행

원소 b는 모든 세미그룹(또는 링, 어떤 링의 곱셈 함수가 세미그룹이기 때문에)에서, b⋅ a =a ${\displaystyle a\cdot$ b$\cdot a=a}$인 경우에만 a 요소의 일반적인 역이다.

링 Z/ 12 Z ${\$}에 있는 요소 3의 일반화된 인버스는 링Z / 12 Z{\$displaystyle \mathb {Z}$ /$12\mathb {Z$

$3\cdot 3\cdot 3=3}$

$3\displaystyle 3\cdot 7\cdot 3=3}$

$3\displaystyle 3\cdot 11\cdot 3=3}$

링 Z/ 12 Z ${\$}에 있는 요소 4의 일반화된 인버스는 1, 4, 7, 10이며, 이는링 Z / 12 Z{\$displaystyle \mathb {Z} /12\mathb${Z}}:

$4\cdot 1\cdot 4=4}$

$4\cdot 4\cdot 4=4}$

$4\displaystyle 4\cdot 7\cdot 4=4}$

$4\displaystyle 4\cdot 10\cdot 4=4}$

만일 sem그룹($또는$링)의 요소 a가 반전을 갖는 경우, 그 역은 $12$ Z의 $요소$ 1, 5, 7 및 $11$과 같이 이 요소의 유일한 일반화된 역이어야 한다.

In the ring ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$, any element is a generalized inverse of 0, however, 2 has no generalized inverse, since there is no b in ${\displaystyle \mathbb {Z} /12\mathbb {Z} }$ such that ${\displaystyle 2\cdot b\cdot 2=2}$.

건설

다음과 같은 특성을 쉽게 확인할 수 있다.

• A right inverse of a non-square matrix ${\displaystyle A}$ is given by ${\displaystyle A_{\mathrm {R} }^{-1}=A^{\intercal }\left(AA^{\intercal }\right)^{-1}}$, provided ${\displaystyle A}$ has full row rank.^[14]
• A left inverse of a non-square matrix ${\displaystyle A}$ is given by ${\displaystyle A_{\mathrm {L} }^{-1}=\left(A^{\intercal }A\right)^{-1}A^{\intercal }}$, provided ${\displaystyle A}$ has full column rank.^[14]
• If ${\displaystyle A=BC}$ is a rank factorization, then ${\displaystyle G=C_{\mathrm {R} }^{-1}B_{\mathrm {L} }^{-1}}$ is a g-inverse of ${\displaystyle A}$, where ${\displaystyle C_{\mathrm {R} }^{-1}}$ is a right inverse of ${\displaystyle C}$ and B L- 1 ${\$}은$($는) B ${\displaystyle B}$의 역행으로 남는다.
• = [ I ${\displaystyle A=P{\begin{bmatrix}$인 경우$I_{r}&0\\0&0\end{bmatrix}{$bmatrix$}$의 모든 비가수 P ${\displaystyle$ $P$$}$ 및 Q ${\displaystyle$ Q}, =Q - [ W - displaysty G=$Q^{-1}{\bmatrix}$$I_{r}&U\\$W$&$$V\end{bmatrix}}P^{-$1}는$임의$U, V ${\$ $U,V$} 및 W{\$displaystyle$ W$}$에 $대한$ A${\displaystyle$ A}의 일반화된 역이다.
• A ${\displaystyle A}$을(를) r ${\displaystyle r}$ 등급으로 두십시오. 일반성을 잃지 않고
  $${\displaystyle A={\begin{bmatrix}B&C\\D&E\end{bmatrix},}$$

  
  여기서 B r × r ${\$은(는$)$ A {\$displaystyle$ A$}$의 비송속 하위 계층이다. 그러면,
  $${\displaystyle G={\begin{bmatrix}B^{-1}&0\\0&0\end{bmatrix}}}$$

  
  E= D B- 1 C ${\displaystyle E=DB^{-1}C}$인 경우에만 일반화된 A ${\displaystyle A}$의 역행이다.

사용하다

일반화된 모든 역은 선형 방정식의 시스템에 어떤 해법이 있는지, 그리고 만약 그렇다면 그것들 모두를 제공하는 데 사용될 수 있다. n × m 선형 시스템에 대한 솔루션이 존재하는 경우

A x= b ${\displaystyle Ax=b$

알 수 없는 벡터 x ${\displaystyle$ x$}$ 및 상수의 벡터 b ${\displaystyle b}$을(를) 사용하여, 모든 솔루션은 다음에 의해 제공된다.

${\displaystyle x=A^{\mathrm {g} }b+\왼쪽$$[I-A^{\mathrm {g} }A\right]w$

parametric on the arbitrary vector ${\displaystyle w}$, where ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }}$ is any generalized inverse of ${\displaystyle A}$. Solutions exist if and only if ${\displaystyle A^{\mathrm {g} }b}$ is a solution, that is, if and only if ${\displaystyle AA^{\ma$$srm {g} }b=b$ A가 전체 열 순위를 가지면 이 방정식의 브라켓 식은 0 행렬이므로 해법이 고유하다.^[15]

펜로즈 조건

펜로즈 조건은 다른 일반화된 invers를 분류하고 연구하기 위해 사용된다. 위에서 언급한 바와 같이, 펜로즈 조건은 다음과 같다.

1. ${\displaystyle AA^{\mathrm {g} }A=A}$
2. ${\displaystyle A^{\mathrm {g}}A^{}\mathrm {g}}=A^{\mathrm {g}}}}}}$
3. ${\displaystyle \left(AA^{\mathrm {g} }\오른쪽)^{*}=AA^{\mathrm{g}}}}}$
4. ${\displaystyle \left(A^{\mathrm {g} }A\right)^{*}=A^{\mathrm {g} }A.}$

위와 대조적으로, 여기서 특성 번호 매기는 관련이 있다; 이 번호 매기는 문헌에 사용된다.^[1] An ${\displaystyle I}$-inverse of ${\displaystyle A}$, where ${\displaystyle I\subset \{1,2,3,4\}}$, is a generalized inverse of ${\displaystyle A}$ which satisfies the Penrose conditions listed in ${\displaystyle I}$. For example, a reflexive inverse is a ${\displaystyle \$${1,2\}}$-inverse, a right-inverse is a ${\displaystyle \{1,2,3\}}$-inverse, a left-inverse is a ${\displaystyle \{1,2,4\}}$-inverse, and a pseudoinverse is a ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$-inverse. 많은 연구가 이러한 일반화된 역들의 서로 다른 계급들 사이의 연구에 바쳐졌다; 그러한 많은 결과들은 참고에서 찾을 수 있다.^[1] 그러한 결과의 예는 다음과 같다.

• ${\$$AA^{1,3}=$$A^{+}}$for any ${\displaystyle \{1,4\}}$-inverse ${\displaystyle A^{(1,4)}}$and ${\displaystyle \{1,3\}}$-inverse ${\displaystyle A^{(1,3)}}$. In particular, ${\displaystyle A^{+}$$AA^{1,3}=$$임의$의{1,3 } ${\displaystyle \{1,3\}$ - inverside A(1,3 ){\$displaystyle$ A$^{{1,3$

행렬의 일반화에 대한 섹션은 다양한 등급에 대한 명시적 특성을 제공한다.

행렬의 일반화 간격

행렬의 일반화된 이면은 다음과 같이 특징지을 수 있다. A ∈ R m × n ${\$ 및

그것의 독특한 가치의 분해다 그런 다음 일반화된 역 A g ${\$ A$^{g}$에 대해 다음과 같은 행렬X {\$displaystyle$X},Y {\$displaystyle$Y} 및 Z{\$displaystyle$Z}이(가) 있다^[1].

반대로, 이 형식의 매트릭스에 대한 X ${\displaystyle X$ Y ${\displaystyle Y}$및 Z ${\displaystyle Z}$의 모든 선택은 A ${\displaystyle A}$의 일반화된 역행이다.^[1] { 1,2} ${\displaystyle \{1,2\}$ -inverses는 정확히 Z= Y σ 1 X ${\displaystyle Z=$에 대한 것이다.$Y\Sigma _{1}X}$, the ${\displaystyle \{1,3\}}$-inverses are exactly those for which ${\displaystyle X=0}$, and the ${\displaystyle \{1,4\}}$-inverses are exactly those for which ${\displaystyle Y=0}$. In particular, the pseudoinverse is given by ${\displaystyle X=Y=Z=0}$:

변환 일관성 속성

실제 적용에서는 일반화된 역행렬로 보존해야 하는 행렬 변환의 종류를 식별할 필요가 있다. 예를 들어, 무어-펜로즈 역행 A+, ${\displaystyle$ A$^{+}}$은(는) 단일 행렬 U 및 V와 관련된 변환과 관련하여 다음과 같은 일관성 정의를 충족한다.

${\$$U^{*}}}$ .

Drazin 역, A D ${\$은(는) 비정규 행렬 S와 관련된 유사성 변환과 관련하여 다음과 같은 일관성 정의를 충족한다.

(S A- 1)D = S A D S - 1{\$displaystyle \좌측($SAS$^{-1}\우측)^{\mathrm {D}{}=SA^{}\mathrm {D}{}S^{-1$

단위 일관성(UC) 역행 A U ^[16],${\displaystyle A^{\mathrm {U}}}}$은(는) 비정규 대각 행렬 D 및 E를 포함하는 변환과 관련하여 다음과 같은 일관성 정의를 충족한다.

(D A E) U= E- 1 A U D- 1 ${\$

무어-펜로즈 역이 회전과 관련하여 일관성을 제공한다는 사실은 유클리드 거리를 보존해야 하는 물리학 및 기타 응용 분야에서 널리 사용되는 것을 설명한다. 반면에 UC 역은 다른 상태 변수(예: 마일 대 킬로미터)의 단위 선택과 관련하여 시스템 동작이 불변할 것으로 예상될 때 적용된다.

참고 항목

• 블럭 행렬 유사 반전
• 무어-펜로즈의 역행과 관련된 증거
• 정규 세미그룹

인용구

원천

교과서

• Ben-Israel, Adi; Greville, Thomas Nall Eden (2003). Generalized Inverses: Theory and Applications (2nd ed.). New York, NY: Springer. doi:10.1007/b97366. ISBN 978-0-387-00293-4.
• Campbell, Stephen L.; Meyer, Carl D. (1991). Generalized Inverses of Linear Transformations. Dover. ISBN 978-0-486-66693-8.
• Horn, Roger Alan; Johnson, Charles Royal (1985). Matrix Analysis. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-38632-6.
• Nakamura, Yoshihiko (1991). Advanced Robotics: Redundancy and Optimization. Addison-Wesley. ISBN 978-0201151985.
• Rao, C. Radhakrishna; Mitra, Sujit Kumar (1971). Generalized Inverse of Matrices and its Applications. New York: John Wiley & Sons. pp. 240. ISBN 978-0-471-70821-6.

출판

• James, M. (June 1978). "The generalised inverse". The Mathematical Gazette. 62 (420): 109–114. doi:10.2307/3617665. JSTOR 3617665.
• Uhlmann, Jeffrey K. (2018). "A Generalized Matrix Inverse that is Consistent with Respect to Diagonal Transformations" (PDF). SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications. 239 (2): 781–800. doi:10.1137/17M113890X.
• Zheng, Bing; Bapat, Ravindra (2004). "Generalized inverse A(2)T,S and a rank equation". Applied Mathematics and Computation. 155 (2): 407–415. doi:10.1016/S0096-3003(03)00786-0.