방사선응력

유체 역학에서 방사선 응력은 평균 흐름에 작용하는 표면 중력파의 존재로 인해 발생하는 과도한 운동량인 깊이 통합 및 이후 위상 평균이다. 방사선 스트레스는 2차 텐서 역할을 한다.

방사선 응력 텐서는 유체 층의 평균 깊이 통합 수평 운동량을 변화시키는 파동의 존재로 인한 추가 힘을 설명한다. 그 결과 방사선 응력이 변화하면 평균 표면 고도(파형 설정)와 평균 흐름(파형 유도 전류)의 변화를 유도한다.

유체 움직임의 진동 부분의 평균 에너지 밀도의 경우, 방사선 응력 텐서는 비균형 평균 흐름 장의 경우 동역학적으로 중요하다.

방사선 응력 텐서뿐만 아니라 표면 중력 파동과 평균 흐름의 물리학에 대한 몇 가지 함축적 의미는 1960–1964년에 롱구엣 하이긴스와 스튜어트에 의해 일련의 논문에서 공식화되었다.

방사선 응력은 전자파 방사선에 대한 방사선 압력의 유사한 영향에서 그 이름을 유래한다.

물리적 중요성

방사선 응력(파도의 존재로 인한 과도한 운동량)은 다양한 해안 프로세스를 설명하고 모델링하는 데 중요한 역할을 한다.^[1][2][3]

• 파동 설정 및 설정 – 방사선 응력은 평균 흐름의 자유 표면 높이에서 작용하는 방사선 압력의 일부로 구성된다. 방사선 응력이 파단파괴에 의해 파동 높이가 감소하는 서프 존에서와 같이 공간적으로 변화하는 경우, 이는 파동 설정(증가된 레벨의 경우)이라는 평균 표면 고도와 설정(수위 감소의 경우)의 변화를 초래한다.
• 파도 구동 전류, 특히 서프 존의 장외 전류 – 해변에서 파도의 비스듬한 발생을 위해 서프 존 내부의 파동 높이 감소(파단)는 서프 존 폭에 대한 방사선 응력의 전단-스트레스 성분 S의_xy 변화를 도입한다. 이는 침전물 수송(장지 이동)과 그에 따른 해안 형태학에 중요한 파동식 장지류 전류의 강제력을 제공한다.
• 묶인 긴 파동 또는 강제적인 긴 파동, 인파괴 파동의 일부 - 파동 그룹의 경우 방사 스트레스는 그룹에 따라 다양하다. 결과적으로, 비선형 장파는 그룹 내에서 변조된 단파의 그룹 속도에서 그룹과 함께 전파된다. 한편, 분산 관계에 따르면, 이 길이의 긴 파장은 자체 - 더 높은 위상 속도로 전파되어야 한다. 이 결합형 긴 파장의 진폭은 파고 높이의 사각형에 따라 달라지며, 얕은 물에서만 중요하다.
• 파동-전류 상호작용 – 다양한 평균 흐름 장에서 파동과 평균 흐름 사이의 에너지 교환 및 평균 흐름 강제성은 방사선 응력을 이용하여 모델링할 수 있다.

선형파 이론에서 도출된 정의와 값

일차원파 전파

단방향 파장 전파의 경우 - x 좌표 방향으로 말하면 - 동적 중요도의 방사선 응력 텐서 구성 요소는 S이다_xx. 이는 다음과 같이 정의된다.^[4]

${\displaystyle S_{xx}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\left(p+\rho {\tilde {u}}^{2}\right)\;{\text{d}}z}}-{\frac {1}{2}}\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right)^{2},}$

where p(x,z,t) is the fluid pressure, ${\displaystyle {\tilde {u}}(x,z,t)}$ is the horizontal x-component of the oscillatory part of the flow velocity vector, z is the vertical coordinate, t is time, z = −h(x) is the bed elevation of the fluid layer, and z = η(x,t) is the surface elevation. 추가 ρ은 유체 밀도, g는 중력에 의한 가속도인 반면, overbar는 위상 평균을 의미한다. 우측의 마지막 용어인 ½ρg(h+η)²는 정수의 수심(水心)을 넘는 정수압의 일체형이다.

주기파 이동에 대한 방사선 응력 S는_xx 공기파 이론에 따른 표면 중력파의 특성에서 ^[5][6]결정된다.

${\displaystyle S_{xx}=\left(2{c_{g}}{c_{p}}-{\frac{1}{1}{2}}\오른쪽)E,}$

여기서 c는_p 위상 속도, c는_g 파동의 그룹 속도다. 추가 E는 수평 영역의 단위당 평균 깊이 통합 파동에너지 밀도(운동 및 전위 에너지의 합계)이다. 공기파 이론의 결과에서 두 번째 순서로, 평균 에너지 밀도 E는 다음과 같다.^[7]

${\displaystyle E={\frac {1}{1}{2}}\rho ga^{2}={\frac {1}{8}\rho gH^{2},}$

파형 진폭과 H = 2a 파형 높이. 이 방정식은 주기적인 파동에 대한 것이다: 무작위 파장에서 뿌리-평균-제곱 파고 H를_rmsm0 H_rms = H / √2와 함께 사용해야 한다. 여기서 H는_m0 유의한 파고 높이다. 그러면 E = ½16ρghh_m0² 1

2차원 파장 전파

2개의 수평 차원으로 파장을 전파하는 경우, 방사선 응력 S ${\$은(는) 구성 요소가 포함된 2차 텐서^[8][9]:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{pmatrix}S_{xx}&S_{xy}\\S_{yx}&S_{yy}\end{pmatrix}}.}$

데카르트 좌표계(x,y,z):^[4]

${\displaystyle{\begin{정렬}S_{xx}&, =ᆭ^ᆮ\left(p+\rho{\tilde{너}}^{2}\right)\,{\text{d}}z}}-{\frac{1}{2}}\rho g\left(h+{\overline{\eta}}\right)^{2},\\S_{xy}&, =ᆴ^ᆵ\left(\rho{\tilde{너}}{\tilde{v}}\right)\,{\text{d}}z}}=S_{yx},\\S_{yy}&, ={\overline{\int_{-h}^{\eta}\left(p+\rho. {\tilde{v}}^{2}\오른쪽)\;{\text{d}z}-{\frac {1}{1}:{2}}:\rho g\왼쪽(h+{\overline{\eta}}\오른쪽)^{2},\end{aigned}}}}}}$

여기서 u~ ${\displaystyle {u}$ 및 v~ ${\$은(는) 흐름 속도 벡터의 진동 부분 u~ ( x, y, z, t ){\$displaystyle${\$tilde{\tilde{u}(x,y,z,$t)의 수평 x- 및 y-x이다.

두 번째 순서(파형 진폭 a)는 점진적 주기파에 대한 방사선 응력 텐서 구성 요소로서 다음과 같다.^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{xx}&=\left[{\frac {k_{x}^{2}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}+\left({\frac {c_{g}}{c_{p}}}-{\frac {1}{2}}\right)\right]E,\\S_{xy}&=\left({\frac {k_{x}k_{y}}{k^{2}}}{\frac {c_{g}}{c_{p}}}\right)E=S_{yx},\quad {\text{and}}\\\S_{y}&=\좌측[{\frac {k_{y}^{2}}{{k^{2}}:{c_{p}}}}+\좌측({\frac {{c_{p}}}}-{c_{p}}}}-{{1}{2}}\rig}-{p}-{p}}-{{frac{1}\오른쪽}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}우측,\ended{lig}}}}}}}}}}}}}}$

여기서 k와_x k는_y wavenumber vector k의 x-와 y-값이며, 길이 k = k = kk_x²+k_y², 벡터 k는 파동 볏에 수직이다. 위상 및 그룹 속도 c와_p c_g 각각은 위상 및 그룹 속도 벡터의 길이: c = c 및_pp c_g = c_g .

동적 의의

방사선 응력 텐서는 파동과 평균 흐름 사이의 위상 평균 동적 상호작용에 대한 설명에서 중요한 양이다. 여기에서 깊이 통합 동적 보존 방정식이 제공되지만, 표면 파형에 의해 또는 표면 파동과 상호작용하는 3차원 평균 흐름을 모델링하기 위해서는 유체 층에 대한 방사선 응력에 대한 3차원 설명이 필요하다.^[10]

대량 수송 속도

전파파는 파형 전파 방향으로 a – 비교적 작은 – 평균적인 대량 이동을 유도하며, 파동(시사) 운동이라고도 한다.^[11] 가장 낮은 순서에 따라, 파형 모멘텀 M은_w 수평 영역의 단위당 다음과 같다.^[12]

${\displaystyle {\boldsymbol {M}_{w}={\frac {\boldsymbol {k}{k}}}{\frac {E}{c_{p}}}}}}}$

이는 비회전적 흐름에서 영구적인 형태의 진행 파동에 정확하다. 위의 c는_p 평균 흐름에 상대적인 위상 속도다.

${\displaystyle c_{p}={\frac {\\frac {}}{k}\qquad {\text{with}\qqquad \with}\text{\text{with}}\cdmbol {k}}\cdot{\oversymbol {v}}}}}},}}},}}},},}$

평균 수평 흐름 속도 v로 움직이는 관측자에 의해 볼 수 있는 본질적인 각도 주파수인 반면 Ω은 정지 상태의 관측자의 명백한 각도 주파수('지구'에 관한)이다. k⋅v의 차이는 도플러 시프트다.^[13]

평균 수평 운동량 M은 또한 수평 영역의 단위당 깊이에서 운동량의 적분된 평균 값이다.

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\overline {\int _{-h}^{\eta }\rho \,{\boldsymbol {v}}\;{\text{d}}z}}=\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {v}}}+{\boldsymbol {M}}_{w},}$

v(x,y,z,t)를 사용하여 자유 표면 z = η(x,y,t) 아래의 모든 지점에서 총 유속 평균 수평 운동량 M은 깊이 통합 수평 질량 유량의 평균이기도 하며, 두 가지 기여로 구성된다. 하나는 평균 전류에 의한 것이고 다른 하나는_w 파동에 의한 것이다.

이제 대량 수송 속도 u는 다음과 같이 정의된다.^[14][15]

${\displaystyle {\boldsymbol {u}}={\frac {\boldsymbol {M}}}{\rho \,\left(h+{\overline {\eta }}\오른쪽)}}}={}={\boldsymbol{v}}+{\frac {{\boldsymbol{M}}}{\rho \,\좌측(h+{\overline{\eta }}}오른쪽)}}}}}}}$

평균 수심(h+η)으로 나누기 전에 먼저 깊이 통합 수평 운동량이 평균화되었는지 확인하십시오.

질량 및 운동량 절약

벡터 표기법

평균 질량 보존의 방정식은 벡터 표기법으로 다음과 같다.^[14]

${\displaystyle {\frac{\frac}{\required t}\reft[\rho \left(h+{\eta }\right]\rho \reft[\rho \line{\eta }\right]{\\\overline,},},}$

파도 모멘텀 M의_w 기여를 포함하여.

수평 평균 운동량 보존 방정식은 다음과 같다.^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\right]+\nabla \cdot \left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {\boldsymbol {u}}}\otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}+\mathbf {S} +{\frac {1}{2}}\rho g(h+{\overline {\eta }})^{2}\,\mathbf {I} \right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\오른쪽)\nabla h+{\\boldsymbol {\\tau }-{w}-{\\boldsymbol {\\\tau }}}$

여기서 u u u는 u의 텐서 산출물을 그 자체로 나타내며, τ은_w 자유 표면에서의 평균 윈드 시어 응력인 반면, τ은_b 침대 시어 응력이다. 또한 나는 Kronecker delta Δ에_ij 의해 주어지는 구성요소를 가진 정체성 텐서이다. 운동량 방정식의 오른쪽은 바람과 침대 마찰에 의한 힘뿐만 아니라 침대 경사 ∇h의 비보수적 기여를 제공한다는 점에 유의한다.^[16]

수평 운동량 M의 관점에서 위의 방정식은 다음과 같다.^[14]

${\displaystyle{\begin{정렬}&,{\frac{\partial}{\partial지}}\left[\rho \left(h+{\overline{\eta}}\right)\right]+\nabla \cdot{\boldsymbol{M}}=0,\\&,{\frac{\partial{\boldsymbol{M}}}{\partial지}}+\nabla\cdot \left는 경우{\overline{\boldsymbol{마}}}{\boldsymbol{M}}{S}+{\frac{1}{2}}\rho g(h+{\overline{\eta}})^{2}\,\math +\mathbf \otimes.남자 친구{나는})right]=\rho g\left(h+{\overline {\eta }\}\right)\bla h+{\blaimmbol{\w}-{\b}\end{정렬}}}$

데카르트 좌표의 구성요소 양식

데카르트 좌표계에서 질량 보존 방정식은 다음과 같이 된다.

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right)\right]+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{x}\right]+{\frac {\partial }{\partial y}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]=0,}$

u_x 및 u_y 각각 mass transport velocity u의 x 및 y 구성 요소.

수평 운동 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle{\begin{정렬}{\frac{\partial}{\partial지}}\left[\rho \left({\overline{\eta}}\right){\overline{너}}_{x}h+ \right]&, +{\frac{\partial}{x\partial}}\left[\rho \left(h+{\overline{\eta}}\right){\overline{너}}_{x}{\overline{너}}_{x}+S_{xx}와{\frac{1}{2}}\rho g(h+{\overline{\eta}})^{2}\right]+{\frac{\partial}{이\partial}}\le.피트 경우)rho \left(h+{\overline {\eta }}\오른쪽){\overline {u}_{x}{\overline {u}_{y}+S_{xy}\오른쪽]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }}\right){\frac {\partial }{\partial x}}h+\tau _{w,x}-\tau _{b,x},\\{\frac {\partial }{\partial t}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}\right]&+{\frac {\partial }{\partial x}}\left[\rho \left(h+{\overline {\eta }}\right){\overline {u}}_{y}{\overline {u}}_{x}+S_{yx}\오른쪽]+{\frac {\partial y}}{\partial y}\왼쪽[\rho \left(h+{\overline {\eta}\}\right){\overline {u}{\overline}{u}}}+S_{y}+{\frac {1}{1}:{2}}:\rho g(h+{\\overline {\eta }}}^{2}\오른쪽]\\&=\rho g\left(h+{\overline {\eta }\}\right){\frac {\fline }{\flock y}h+\tau _{w,y}-\tau_{b,y}.\end{정렬}}}$

에너지 절약

비결정적 흐름의 경우 총 흐름의 평균 기계적 에너지(평균 흐름과 변동하는 움직임의 에너지의 합계)는 보존된다.^[17] 그러나 요동치는 운동 자체의 평균 에너지는 보존되지 않으며, 평균 흐름의 에너지도 보존되지 않는다. 변동 운동의 평균 에너지 E(운동 에너지와 전위 에너지의 합은 다음을 만족한다.^[18]

${\displaystyle {\frac {\partial t}+\nabla \cdot \왼쪽({\overline {\boldsymbol{u}}+{\boldsymbol {c}_{g}\오른쪽)E\right]+\mathbf {S} :\left(\nabla \otimes {\overline {\boldsymbol {u}}}\right)={\boldsymbol {\tau }}_{w}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-{\boldsymbol {\tau }}_{b}\cdot {\overline {\boldsymbol {u}}}-\varepsilon ,}$

여기서 ":"는 더블 도트 제품을 의미하며, ε은 평균 기계 에너지의 소산(예: 파동 파괴)을 의미한다. S: (∇ u u''} ${\$라는 용어는 파동-전류 상호작용에 의해 평균 운동과 에너지를 교환하는 것이다. 평균 수평파 에너지 운송(u + c_g) E는 다음 두 가지 기여로 구성된다.

• U E : 평균 흐름에 의한 파동에너지의 전달
• c_g E : 그룹 속도 c를_g 파동에너지 전달 속도로서 파동에 의한 평균 에너지 전달.

데카르트 좌표계에서 흐름 변동의 평균 에너지 E에 대한 위의 방정식은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin}{\frac {\partial t}{\partial t}{\partial x}}\{\partial x}\왼쪽({\overline {u}_{x}+c_{g,}\오른쪽)E\right]+{\frac {\partial }{\partial y}\\왼쪽[{\overline {u}_{y}+c_{g,y}\오른쪽)오른쪽[오른쪽]\&+S_{x}{\frac {\partial {u}_{x}}{\partial x}}{\partial x_{xy}\{\partial x}}}\{\partial x}}}{\partial x}}}}{\partial x}}}}}}{partial }}}}}}}}}}}}}}{{{{{partial }}}}}}}}}}partial yrigine {u_{\partial }}}}}}}S_{yy}{\frac {\partial {\overline {u}}_{y}}{\partial y}}\\&=\left(\tau _{w,x}-\tau _{b,x}\right){\overline {u}}_{x}+\left(\tau _{w,y}-\tau _{b,y}\right){\overline {u}}_{y}-\varepsilon .\end{aligned}}}$

그래서 방사선 응력은 공간 비균질 전류장(u_x,u_y)의 경우에만 파동에너지 E를 변화시킨다.

메모들

참조