사분법(수학)

Quadrature (mathematics)
다른 용도는 4차(동음이의)를 참조하십시오.

수학에서 4각형은 영역을 결정하는 과정을 의미하는 역사적 용어다. 이 용어는 오늘날에도 미분방정식의 맥락에서 사용되고 있는데, 여기서 "사분방정식에 의한 방정식 해결" 또는 "사분방식으로 축소"는 통합의 관점에서 그 해결책을 표현하는 것을 의미한다.

4차문제는 미적분학의 발달에 있어서 주요 문제의 근원의 하나로서 작용하였고, 수학 분석에서 중요한 주제를 소개하였다.

역사

히포크라테스의 룬은 정확한 면적이 수학적으로 계산된 최초의 곡선형이었다.

그리스 수학자들은 한 인물의 면적을 결정하는 것을 같은 면적(사각형)을 가진 정사각형을 기하학적으로 건설하는 과정으로 이해했고, 따라서 이 과정에 대한 명칭은 4각형이었다. 그리스 기하학자들이 항상 성공적인 것은 아니었지만(원형의 사각형 참조), 히포크라테스의 LUN이나 파라볼라의 사각형처럼 단순한 선분할이 아닌 일부 인물의 사분오열 작업을 수행했다. 특정한 그리스 전통에 의해, 모든 그리스 수학자가 이 격언을 고수하지는 않았지만, 이러한 구성들은 나침반과 직선자만을 사용하여 수행되어야만 했다.

면 a와 b가 있는 직사각형의 4각형의 경우 x= a와 b의 기하학적 평균)로 정사각형을 구성해야 한다. 이를 위해 길이 a와 b의 선 세그먼트를 결합하여 만든 직경으로 원을 그리는 경우, 직경에 수직으로 그려진 선 세그먼트의 높이(도표의 BH)는 연결 지점부터 원을 가로지르는 지점까지 a와 a의 기하학적 평균과 동일하다. b. 유사한 기하학적 구조는 평행사변형과 삼각형의 4각형 문제를 해결한다.

아르키메데스는 포물선 부분의 면적이 삼각형의 면적의 4/3이라는 것을 증명했다.

곡선형의 경우 4각형의 문제가 훨씬 더 어렵다. 나침반과 직선자를 가진 원의 4각형은 19세기에 불가능하다는 것이 증명되었다. 그럼에도 불구하고 일부 그림의 경우 4차 분석을 수행할 수 있다. 아르키메데스가 발견한 구체와 포물선 부분의 4각형은 고대 분석에서 가장 높은 성취가 되었다.

  • 구의 표면적은 이 구의 큰 원에 의해 형성된 원의 면적의 4배에 해당한다.
  • 직선으로 자른 포물선 부분의 면적은 이 세그먼트에 새겨진 삼각형의 면적의 4/3이다.

이러한 결과를 증명하기 위해 아르키메데스는 에우독서스에 기인하는 탈진 방법을 사용했다.[1]

중세 유럽에서 사분법은 어떤 방법으로든 면적을 계산하는 것을 의미했다. 대부분의 경우 불굴의 방법이 사용되었다; 그것은 그리스인들의 기하학적 구조보다 덜 엄격했지만, 그것은 더 단순하고 더 강력했다. 그 도움으로 갈릴레오 갈릴레이와 길레스 드 로베르발은 사이클로이드 아치의 영역을 발견했고, 그레고아르 드 생 빈센트는 하이퍼볼라(Opus Giomicalum, 1647), 알폰스 안토니오 데 사라사는 생 빈센트의 제자 겸 해설가로서 이 영역의 로그와의 관계를 주목했다.[1]: 491 [1]: 492 [2]

존 월리스 알헤지는 이 방법을 고안했다; 그는 그의 산술가 인피니토리움 (1656)에 현재 확정 적분이라고 불리는 것과 동등한 시리즈를 썼고, 그는 그들의 가치를 계산했다. Isaac Barrow와 James Gregory는 더 발전했다: 몇몇 대수학적 곡선과 나선형들을 위한 4각형. Christiaan Huygens는 성공적으로 일부 회전 고형물의 표면적을 4중으로 표현했다.

생빈센트와 데 사라사의 하이퍼볼라의 4각은 매우 중요한 새로운 기능인 자연 로그(natural logarithm)를 제공했다. 적분 미적분학의 발명과 함께 면적 계산을 위한 보편적인 방법이 나왔다. 이에 대응하여, 4각형이라는 용어는 전통적이 되었고, 그 대신 지역을 찾는 현대적인 구절은 기술적으로 단변확정적분석의 계산에 더 흔히 사용된다.

참고 항목

메모들

  1. ^ a b c Katz, Victor J. (1998). A History of Mathematics: An Introduction (2nd ed.). Addison Wesley Longman. ISBN 0321016181.
  2. ^ 엔리케 A. 곤잘레스-벨라스코(2011) 수학여행, § 2.4 쌍곡 로그, 117페이지

참조