피소-비자야라하반 수

수학에서 피소트 수 또는 PV 수라고도 불리는 피소-비자야라하반 수는 1보다 큰 실제 대수 정수인데, 갈루아 결합체는 모두 절대값 1보다 작다. 이 숫자들은 1912년 액셀 투에 의해 발견되었고 1919년 디오판틴 근사치의 맥락 안에서 G. H. 하디에 의해 재발견되었다. 이들은 1938년 찰스 피소트의 논문이 발표된 후 널리 알려지게 되었다. 그것들은 푸리에 시리즈의 고유성 문제에서도 발생한다. 티루카나푸람 비자야라하라가반과 라파엘 살렘은 1940년대에 연구를 계속했다. 살렘 번호는 밀접하게 연관된 숫자 집합이다.

PV 숫자의 특징적인 특성은 그 힘이 지수 속도로 정수에 접근한다는 것이다. 피소트는 주목할 만한 반전을 증명했다:만약 α > 1이 순서가 될 정도의 실수라면.

\displaystyle \\\{n}\ }

연속적인 힘에서 가장 가까운 정수까지의 거리를 측정하는 것은 제곱합, 즉 α는² 피소수(그리고 특히 대수학)이다. Salem은 이러한 PV 번호의 특성화를 바탕으로 모든 PV 번호의 세트 S가 닫힌다는 것을 보여주었다. 그것의 최소 요소는 플라스틱 번호로 알려진 입방체 비합리성이다. S의 축적점에 대해서는 많이 알려져 있다. 그중 가장 작은 것이 황금비율이다.

정의 및 속성

도 n의 대수적 정수는 최소 다항식인 정수 계수를 가진 도 n의 무적용 단항 P(x)의 루트 α이다. P(x)의 다른 뿌리는 α의 결합체라고 한다. α > 1을 제외한 P(x)의 다른 모든 루트가 1보다 작은 절대값의 실제 또는 복잡한 숫자인 경우, 그래서 그것들이 복잡한 평면에서 원 x = 1 안에 엄격히 놓여진다면, α를 피소트 번호, 피소트-비자야라하반 번호, 또는 단순히 PV 번호라고 부른다. 예를 들어 황금비율인 φ 1.618은 1보다 큰 실제 2차 정수인 반면, - conju ≈ -0⁻¹.618의 절대값은 1보다 작다. 그러므로 φ은 피소수(피소수)이다. 최소² 다항식은 x - x - 1이다.

기본 속성

1보다 큰 모든 정수는 PV 번호다. 반대로 모든 합리적인 PV 숫자는 1보다 큰 정수다.
만일 α가 최소 다항식이 k로 끝나는 비합리적인 PV 번호라면 α는 k보다 크다. 따라서 2보다 작은 모든 PV 번호는 대수적 단위다.
만약 α가 PV 번호라면, 모든 자연수 지수 k에 대한 그 힘 α도^k 마찬가지다.
도 n의 모든 실제 대수 수 필드 K는 도 n의 PV 수를 포함한다. 이 번호는 야전 발생기 입니다. K에서 도 n의 모든 PV 번호 세트는 곱셈으로 닫힌다.
상한 M과 도 n을 주어진 경우, 도 n의 PV 숫자는 M보다 작을 뿐이다.
모든 PV 번호는 Perron 번호(접합체가 절대값이 작은 모든 숫자보다 큰 실제 대수적 번호)이다.

디오판틴 특성

PV 숫자에 대한 주된 관심은 그 힘이 매우 "편향된" 분포(mod 1)를 가지고 있기 때문이다. α가 PV 번호이고 α가 $\mathbb {Q} (\alpha )$ Q $\mathbb {Q} (\alpha )$ ) $\mathb {Q}(\alpha )$ 의 대수 정수인 경우 시퀀스 $\mathbb {Q} (\alpha )$

\\\\\

여기서 x는 실제 숫자 x에서 가장 가까운 정수까지의 거리를 나타내며 지수 속도로 0에 접근한다. 특히 제곱합성 수열이며 항은 0으로 수렴한다.

두 개의 역방향 문장이 알려져 있다. 즉, PV 번호는 모든 실제 숫자와 대수적 숫자(단, 약한 디오판틴 가정 하에서)로 특징짓는다.

α가 1보다 큰 실수이고 α가 0이 아닌 실수라고 가정하자.

\sum \{n=1}^{\inflt }\ \fltda \ft \{n}\{2}<\inflt.

그러면 α는 피소트 수이고 α는

\mathbb {Q} (\alpha )

Q

\mathbb {Q} (\alpha )

)

{\displaystyle \mathb {Q}(\alpha )}(

Pisot의 정리)에서 대수 수이다.

α는 1보다 큰 대수적 수이고 α는 다음과 같은 0이 아닌 실수라고 가정하자.

\displaystyle \\\\to 0,\to\property .}

그 다음 α는 피소트 수이고 α는

\mathbb {Q} (\alpha )

Q

\mathbb {Q} (\alpha )

(

\mathbb {Q} (\alpha )

)

\mathbb {Q} (\alpha )

{\

displaystyle \mathb

{

Q} (\alpha )}

의 대수 수이다

\mathbb {Q} (\alpha )

오랜 기간 지속된 피소-비자야라하반 문제는 α가 대수라는 가정을 마지막 진술에서 삭제할 수 있는지를 묻는다. 만약 대답이 긍정이라면, 피소트의 숫자는 일부 보조 리얼 λ에 대해 λαⁿ 대 0의 단순한 수렴에 의해 모든 실수 중에서 특징지어질 것이다. 이 성질에는 헤아릴 수 없이 많은 숫자 α만 있는 것으로 알려져 있다.^{[citation needed]} 문제는 그 중 어느 하나라도 초월적인지를 결정하는 것이다.

위상학적 특성

모든 피소 숫자의 집합은 S로 표시된다. 피소트 수는 대수학이기 때문에, 세트 S는 셀 수 있다. 라파엘 살렘은 이 세트가 닫혔다는 것을 증명했다: 그것은 모든 한계점을 포함하고 있다.^[1] 그의 증거는 피소트 숫자의 주 디오판틴 성질의 건설적인 버전을 사용한다:^[2] 피소트 숫자 α에 주어진다면, 실제 숫자 ≤은 0 < λ ≤ α 그리고

\displaystyle \sum \{n=1}^{\infit }\ \doda \does \{n}\{2}\leq 9.}

따라서 시퀀스 λα의ⁿ ℓ² 규범은 α에 독립적인 균일한 상수에 의해 경계가 될 수 있다. 증명의 마지막 단계에서 피소트의 특성화를 호출하여 피소트 번호의 시퀀스의 한계 자체가 피소트 번호라고 결론짓는다.

S의 폐쇄성은 그것이 최소한의 요소를 가지고 있다는 것을 의미한다. 칼³ 루트비히 시겔은 x - x - 1 = 0(플라스틱 상수) 방정식의 양근임을 증명하고 S에서 고립되어 있다. 그는 아래에서 황금비율 φ으로 수렴하는 피소트 숫자의 두 시퀀스를 구성하여 φ이 S의 최소 한계점인지 물었다. 이것은 후에 듀프레스노이와 피소트에 의해 증명되었는데, 그는 또한 φ 이하의 S의 모든 원소들을 결정했는데, 이들 원소들이 모두 시겔의 두 시퀀스에 속하는 것은 아니다. Vijayarahavan은 S가 무한히 많은 한계점을 가지고 있다는 것을 증명했다; 사실, 파생된 집합의 순서는

(\displaystyle S,S'),\ldots }

종료되지 않는다. 반면 이들 세트의 $S^{(\omega )}$ 교차점 $){\$ 은 비어 있어, S의 칸토르-벤딕슨 순위는 Ω이라는 뜻이다. 더욱 정확히 말하면 S의 주문 유형이 결정되었다.^[3]

T가 가리키는 살렘 번호 세트는 S와 밀접하게 관련되어 있다. S가 T의 한계점 설정 T'에 포함되어 있다는 것이 증명되었다.^[4]^[5] S와 T의 조합은 폐쇄된 것으로 추측되어 왔다.^[6]

이차 비합리성

$\alpha \,$ ${\$ 이(가) 2차 비합리적인 경우 $\alpha \,$ $\alpha \,$ $\alpha '\,$ $′$ $\alpha '\,$ {\ $displaystyle \alpha$ $\,}$ 에서 $\alpha \,$ 제곱근의 기호를 변경하여 얻은 다른 결합은 하나뿐입니다 $\alpha '\,$

\alpha =a+{\sqrt{D}{\text{{}}}}}}\알파 '=a-{\sqrt{D},

또는 에서.

\alpha ={\frac {a+{\sqrt{D}}{{\d}}}{{\text{{}}}}}}}}}{{\fraa '={a-{\sqrt{D}}}}}.},

여기서 a와 D는 정수로 두 번째 경우에는 a가 홀수이고 D는 1모듈로 4와 일치한다.

필요한 조건은 α > 1과 -1 < α> < 1이다. 이러한 $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ 것들은 첫 번째 사례에서 정확히 충족된다. a $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ > $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ 과 $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ ( - 1 $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ ) $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ < $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ < $(a-1)^{2}<D<a^{2}$ $(a-1)^{2$ 또는 $a^{2}<D<(a+1)^{2}$ < $a^{2}<D<(a+1)^{2}$ < ( $a^{2}<D<(a+1)^{2}$ + $a^{2}<D<(a+1)^{2}$ ) $>{\$ a+ $1)^{2$ $a>0$ $a>0$ 은 정확히 $a>0$ 0 > 0 ${\$ $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ $a>0}$ 과 $a>0$ $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ ( $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ - $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ ) 2 $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ < $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ < $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ ${\$ $a^{2}<D<(a+2)^{2}$ a- $^{$ $2}}>$ 또는 $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ $a^{2}<D<(a+2)^{2}$ < $a^{2}<D<(a+2)^{2}$ $(a-2)^{2}<D<a^{2}$ $a^{2}<D<(a+2)^{2}$ $(+2$ ) $>{\$ 일 때 충족된다.

따라서 PV 번호인 처음 몇 개의 2차 비합리성은 다음과 같다.

가치	루트 오브...	수치
${\frac {1+{\sqrt {5}{2}}:$	$x^{2}-x-1$	1.618033... OEIS: A001622(황금비)
$1+{\sqrt{2}\,$	$x^{2}-2x-1$	2.414213... OEIS: A014176(은비)
${\frac {3+{\sqrt {5}{2}}:$	$x^{2}-3x+1$	2.618033... OEIS: A104457
$1+{\sqrt {3}\},$	$x^{2}-2x-2$	2.732050... OEIS: A090388
${\frac {3+{\sqrt{13}}{2}}:$	$x^{2}-3x-1$	3.302775... OEIS: A098316(세 번째 금속 평균)
$2+{\sqrt{2}\,$	$x^{2}-4x+2$	3.414213...
${\frac {3+{\sqrt{17}}{2}}:$	$x^{2}-3x-2$	3.561552.. OEIS: A178255.
$2+{\sqrt {3}\},$	$x^{2}-4x+1$	3.732050... OEIS: A019973
${\frac {3+{\sqrt {21}{2}}:$	$x^{2}-3x-3$	3.791287...OEIS: A090458
$2+{\sqrt {5}\},$	$x^{2}-4x-1$	4.236067... OEIS: A098317(제4의 금속 평균)

PV-number의 힘

피소-Vijayarahavan 번호는 거의 정수를 생성하는데 사용될 수 있다: 피소트 숫자의 n번째 힘은 n이 증가함에 따라 정수에 접근한다. 예를 들어,

{\displaystyle(3+{\sqrt{10}})^{6}=27379+8658{\sqrt{10}}=54757.9999817\red\\\prac {1}{54758}.}

$27379\,$ ${\$ $displaystyle$ $27379\,}$ 및 $27379\,$ $8658{\sqrt {10}}\,$ $8658{\sqrt {10}}\,$ $displaystyle 8658{\sqrt{$ $10$ $}\}\},$ 0. $0000182\dots ,\,}$ 만 차이가 $8658{\sqrt {10}}\,$ 난다 $.$

{\frac {27379}{8658}=3.162277662\properties

와 매우 가깝다

{\sqrt{10}=3.162277660\pair .

과연

\left({\frac {27379}{8658}}\오른쪽)^{2}=10+{\frac {1}{8658^{2}}.

더 높은 힘은 그에 상응하는 더 나은 합리적 근사치를 제공한다.

이 특성은 각 n에 대해 대수 정수 x와 그 결합체의 n번째 힘의 합계가 정확히 정수라는 사실에서 비롯된다. 이는 뉴턴의 정체성의 적용에서 비롯된다. x가 피소수일 때, 다른 접합자의 n번째 힘은 n이 무한대로 작용하면서 0이 되는 경향이 있다. 합은 정수이므로 x에서ⁿ 가장 가까운 정수까지의 거리는 지수 비율로 0을 경향이 있다.

작은 피소 수

황금비율 φ을 초과하지 않는 피소트 번호는 모두 듀프레스노이와 피소트가 정했다. 아래 표에는 증가 순서에 따라 가장 작은 피소 수 10개가 나열되어 있다.^[7]

	가치	루트 오브...	루트 오브...
1	1.324471795724460260 OEIS: A060006(플라스틱 번호)	$x(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{3}-x-1$
2	1.3802775690976141157 OEIS: A086106	$x^{2}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	${\displaystyle x^{4}-x^{3}-1$
3	1.4432687912703731076 OEIS: A228777	$x^{3}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{5}-x^{4}-x^{3}+x^{2}-1$
4	1.4655712318767680267 OEIS: A092526(초금 비율)	$x^{3}(x^{2}-x-1)+1$	$x^{3}-x^{2}-1$
5	1.5015948035390873664 OEIS: A293508	$x^{4}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{6}-x^{5}-x^{4}+x^{2}-1$
6	1.5341577449142669154 OEIS: A293509	$x^{4}(x^{2}-x-1)+1$	$x^{5}-x^{3}-x^{2}-x-1$
7	1.5452156497327552432 OEIS: A293557	$x^{5}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}-1$
8	1.5617520677202972947	$x^{3}(x^{3}-2x^{2}+x-1)+(x-1)+(x-1)(x^{2}+1)$	$x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1$
9	1.5701473121960543629 OEIS: A293506	$x^{5}(x^{2}-x-1)+1$	$x^{5}-x^{4}-x^{2}-1$
10	1.5736789683935169887	$x^{6}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)$	$x^{8}-x^{7}-x^{6}+x^{2}-1$

이러한 PV 숫자는 2보다 작기 때문에 모두 1 또는 -1로 끝나는 최소 다항식이다. 이 표의 다항식(^[8]예:

x^{6}-2x^{5}+x^{4}-x^{2}+x-1,

둘 중 하나의 요인이다.

x^{n}(x^{2}-x-1)+1\,

또는

x^{n}(x^{2}-x-1)+(x^{2}-1)+(x^{2}-1).\

첫 번째 다항식은 n이 홀수일 때는 x² - 1로, 짝수일 때는 x - 1로 나눌 수 있다. 그것은 PV 번호인 다른 진짜 0을 가지고 있다. 다항식 중 하나를 x로ⁿ 나누면 n이 매우 커지며 φ에 수렴하는 0이 생기기 때문에 x² - x - 1에 접근하는 표현이 나온다. 보완적인 쌍의 다항식,

x^{n}(x^{2}-x-1)-1

그리고

x^{n}(x^{2}-x-1)-(x^{2}-1)\,

위로부터 φ에 접근하는 피소트 숫자를 산출한다.

참조

^ Salem, R. (1944). "A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan". Duke Math. J. 11: 103–108. doi:10.1215/s0012-7094-44-01111-7. Zbl 0063.06657.
^ 살렘(1963년) 페이지 13
^ Boyd, David W.; Mauldin, R. Daniel (1996). "The Order Type of the Set of Pisot Numbers". Topology and Its Applications. 69: 115–120. doi:10.1016/0166-8641(95)00029-1.
^ Salem, R. (1945). "Power series with integral coefficients". Duke Math. J. 12: 153–172. doi:10.1215/s0012-7094-45-01213-0. Zbl 0060.21601.
^ 살렘(1963년) 페이지 30
^ 살렘(1963년) 페이지 31
^ 이 숫자 중 가장 작은 숫자는 92페이지의 숫자 순서대로 나열되어 있다Dufresnoy, J.; Pisot, Ch. (1955), "Etude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (in French), 72: 69–92, MR 0072902.
^ 버틴 외, 페이지 133.

M.J. Bertin; A. Decomps-Guilloux; M. Grandet-Hugot; M. Pathiaux-Delefosse; J.P. Schreiber (1992). Pisot and Salem Numbers. Birkhäuser. ISBN 3-7643-2648-4.
Borwein, Peter (2002). Computational Excursions in Analysis and Number Theory. CMS Books in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95444-9. Zbl 1020.12001. 3장
Boyd, David W. (1978). "Pisot and Salem numbers in intervals of the real line". Math. Comp. 32: 1244–1260. doi:10.2307/2006349. ISSN 0025-5718. Zbl 0395.12004.
Cassels, J. W. S. (1957). An introduction to Diophantine approximation. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. 45. Cambridge University Press. pp. 133–144.
Hardy, G. H. (1919). "A problem of diophantine approximation". J. Indian Math. Soc. 11: 205–243.
Pisot, Charles (1938). "La répartition modulo 1 et nombres algébriques". Ann. Sc. Norm. Super. Pisa II. Ser. 7 (in French): 205–248. Zbl 0019.15502.
Salem, Raphaël (1963). Algebraic numbers and Fourier analysis. Heath mathematical monographs. Boston, MA: D. C. Heath and Company. Zbl 0126.07802.
Thue, Axel (1912). "Über eine Eigenschaft, die keine transzendente Grösse haben kann". Christiania Vidensk. selsk. Skrifter. 2 (20): 1–15. JFM 44.0480.04.

외부 링크

수학 백과사전 피소트 수
Terr, David & Weisstein, Eric W. "Pisot Number". MathWorld.

[1] Salem, R. (1944). "A remarkable class of algebraic integers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan". Duke Math. J. 11: 103–108. doi:10.1215/s0012-7094-44-01111-7. Zbl 0063.06657.

[Sal13-2] 살렘(1963년) 페이지 13

[3] Boyd, David W.; Mauldin, R. Daniel (1996). "The Order Type of the Set of Pisot Numbers". Topology and Its Applications. 69: 115–120. doi:10.1016/0166-8641(95)00029-1.

[4] Salem, R. (1945). "Power series with integral coefficients". Duke Math. J. 12: 153–172. doi:10.1215/s0012-7094-45-01213-0. Zbl 0060.21601.

[Sal30-5] 살렘(1963년) 페이지 30

[Sal31-6] 살렘(1963년) 페이지 31

[7] 이 숫자 중 가장 작은 숫자는 92페이지의 숫자 순서대로 나열되어 있다Dufresnoy, J.; Pisot, Ch. (1955), "Etude de certaines fonctions méromorphes bornées sur le cercle unité. Application à un ensemble fermé d'entiers algébriques", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (in French), 72: 69–92, MR 0072902.

[8] 버틴 외, 페이지 133.

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