유체역학의 수치적 방법

유체 모션은 Navier에 의해 제어됨–스톡스 방정식, 질량, 운동량 및 에너지 보존의 기본 법칙에서 도출된 결합 및 비선형 부분 미분 방정식의 집합이다.미지의 것은 대개 유속, 압력, 밀도, 온도 등이다.이 방정식의 분석적 해법은 불가능하기 때문에 과학자들은 그러한 상황에서 실험실 실험에 의존한다.그러나 동적 및 기하학적 유사도는 실험실 실험과 프로토타입 사이에서 동시에 시행하기 어렵기 때문에 전달된 답은 대개 질적으로 다르다.또한 이러한 실험의 설계와 구성은 특히 층화된 회전 흐름의 경우 어려울 수 있으며 비용이 많이 들 수 있다.컴퓨터유체역학(CFD)은 과학자들의 무기에 추가되는 도구다.초기에 CFD는 지배 방정식에 대한 추가적인 근사치를 포함했고 추가적인 (합법적) 문제를 제기했기 때문에 종종 논란이 되었다.오늘날 CFD는 이론적, 실험적인 방법과 함께 확립된 학문이다.이 자리는 컴퓨터 파워의 기하급수적인 성장으로 인해 우리가 더 크고 복잡한 문제들을 다룰 수 있게 되었다.null

디스커트화

CFD의 중심 과정은 탈고 과정, 즉 무한한 자유도를 가진 미분 방정식을 취하여 유한한 자유도의 시스템으로 환원하는 과정이다.따라서 언제 어디서나 해결책을 결정하는 대신에, 우리는 제한된 수의 장소와 지정된 시간 간격에서 해결책을 계산하는 것에 만족할 것이다.그런 다음 부분 미분 방정식은 컴퓨터에서 풀 수 있는 대수 방정식의 시스템으로 축소된다.탈부착 과정에서 오류가 슬금슬금 발생한다.오류의 특성 및 특성은 다음을 보장하기 위해 제어되어야 한다.

• 우리는 정확한 방정식을 풀고 있다(일반적인 속성)
• 자유도(수평과 수렴)를 증가시키면 오차가 감소할 수 있다는 것.

이 두 가지 기준이 정립되면 컴퓨팅 기계의 힘을 활용해 수치로 신뢰할 수 있는 방식으로 문제를 해결할 수 있다.다양한 문제에 대처하기 위해 다양한 탈피 계획이 개발되었다.우리의 목적을 위해 가장 주목할 만한 것은 유한 차이 방법, 유한 체적 방법, 유한 요소 방법 및 스펙트럼 방법이다.null

유한차법

유한차이는 파생상품 계산의 극소수 제한 과정을 대체한다.

${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}}$

유한한 한계 프로세스를 가진, 즉

${\displaystyle f'(x)={\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}+O(\Delta x)}$

O(Δ x )${\displaystyle O(\Delta x)}$라는 용어는 메쉬 간격의 함수로 오류의 크기를 나타낸다.이 경우 격자 간격인 _x가 반감되면 오차가 반감되며, 우리는 이것이 첫 번째 순서 방식이라고 말한다.실제로 사용되는 대부분의 FDM은 매우 특별한 경우를 제외하고 최소한 2차 순서가 정확하다.유한차이 방식은 단순성, 효율성, 낮은 계산비용 때문에 여전히 PDE 솔루션에서 가장 인기 있는 숫자 방법이다.그들의 주요 단점은 기하학적 경직성에 있어서 그들의 응용을 일반 복합 영역으로 복잡하게 만든다.이것들은 컴퓨터 영역에 컴퓨터 메시를 맞추기 위해 매핑 기법 또는/또는 마스킹의 사용으로 완화될 수 있다.null

유한요소법

유한요소법은 복잡한 계산영역의 문제를 다루기 위해 고안되었다.PDE는 기본적으로 모든 곳에서 평균 오차가 작도록 강요하는 변동형 형태로 재조정된다.탈색 단계는 계산 영역을 삼각형 또는 직사각형 모양의 요소로 나누어 진행한다.각 요소 내의 용액은 일반적으로 낮은 순서의 다항식으로 보간된다.다시 말하지만, 미지의 것은 결합 지점에서의 해결책이다.CFD 커뮤니티는 1980년대 흡착이 지배하는 문제에 대한 신뢰할 수 있는 방법이 고안되자 FEM을 채택했다.null

스펙트럼법

유한요소법과 유한차법 모두 보통 2차~4차순의 저차법이며 국부 근사특성을 가진다.국소적으로 우리는 특정 결합 지점이 주변의 제한된 수의 점들에 의해 영향을 받는다는 것을 의미한다.이와는 대조적으로 스펙트럼 방법은 전역 근사 특성을 갖는다.다항식 또는 삼각함수 중 하나인 보간함수는 본질적으로 전역적이다.이들의 주요 장점은 솔루션의 원활성에 따라 달라지는 수렴율(즉, 연속 파생상품의 수)이다.무한히 매끄러운 용액의 경우 오차는 기하급수적으로 감소한다. 즉 대수학보다 빠르다.스펙트럼 방법은 대부분 균질 난류 계산에 사용되며 비교적 단순한 기하학적 구조를 필요로 한다.대기 모델은 또한 수렴 특성과 계산 영역의 정규 구형 모양 때문에 스펙트럼 방법을 채택했다.null

유한 부피법

유한 체적 방법은 주로 용액의 강한 충격과 불연속성이 발생하는 공기역학 용도에 사용된다.유한 체적 방법은 국소 연속성 특성이 유지될 필요가 없도록 지배 방정식의 일체형 형식을 해결한다.null

계산원가

방정식 시스템을 풀기 위한 CPU 시간은 방법마다 상당히 다르다.유한차이는 일반적으로 그리드 포인트 기준에서 유한요소법과 스펙트럼법에 따라 가장 저렴하다.그러나 격자당 점 기준 비교는 사과와 오렌지를 비교하는 것과 약간 비슷하다.스펙트럼 방법은 FEM 또는 FDM보다 그리드 포인트 단위로 더 높은 정확도를 제공한다.이 비교는 질문이 "주어진 오류 허용오차를 달성하기 위한 계산비용은 얼마인가?"로 다시 제시될 경우 더 의미가 있다.문제는 일반적인 상황에서 복잡한 작업인 오류 측정을 정의하는 것 중 하나가 된다.null

^[1]전방 오일러 근사치

${\displaystyle {\frac {u^{n+1}-u^{n}}{\Delta t}\company \cappa u^{n}}}}$

방정식은 미래의 알 수 없는 함수(_tn + 1)에 대한 정보가 방정식의 오른쪽에 사용되지 않았기 때문에 원래 미분 방정식에 대한 명시적인 근사치다.근사치에서 자행된 오류를 도출하기 위해 우리는 테일러 시리즈에 다시 의존한다.null

후진차이

이것은 알 수 없는 u(n + 1)가 오른쪽의 용액의 기울기를 평가하는 데 사용되었기 때문에 암묵적인 방법의 예로서, 이 스칼라 및 선형 케이스에서 u(n + 1)는 해결할 문제가 아니다.비선형 우측 또는 방정식 시스템과 같이 더 복잡한 상황의 경우, 방정식의 비선형 시스템을 반전시켜야 할 수 있다.null

참조

원천

1. 2005년 S. T. 자일삭.구조화된 그리드에 대한 플럭스 보정 전송 알고리즘의 설계.In: Kuzmin, D, Löhner, R, Turek, S. (Eds), Flux-Corrected Transport.스프링거
2. 1979년 S. T. 잘삭.유체에 대한 완전 다차원 플럭스 보정 운송 알고리즘.컴퓨터 물리학 저널.
3. 레오나드, B. P., 맥반, M. K., 록, A. P., 1995.다차원 대류 및 확산을 위한 플럭스 적분법.적용된 수학적 모델링.
4. 셰페트킨, A. F. 맥윌리엄스, J. C. 1998.현지에 적응할 수 있는 명시적 방산에 기초한 준 단조로운 결합 체계.월간 날씨 리뷰
5. 지앙, C.S., 슈, C.W., 1996.가중치 부여 계획의 효율적인 구현.전산물리학
6. Finlayson, B. A. 1972.가중 잔차 및 변동 원리의 방법.학술 출판사.
7. 1999년 D. R. 듀란.지구물리학적 유체역학에서의 파동 방정식에 대한 수치적 방법스프링거, 뉴욕
8. 듀코위츠, J. K, 1995.로스비 파장에 메쉬 효과.전산물리학
9. 카누토, C, 후사이니, M. Y, 쿼터니, A, Zang, T. A, 1988.유체 역학에서의 스펙트럼 방법.컴퓨터 물리학의 스프링거 시리즈.스프링거-베를랙, 뉴욕.
10. 1987년 J. C. 도살자일반 미분방정식의 수치해석뉴욕주, 존 와일리 앤 선즈 주식회사.
11. 보리스, J. P. 북, D. L. 1973.플럭스 보정 운송, i: 샤스타(Shasta), 작용하는 유체 운송 알고리즘.컴퓨터 물리학 저널.

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