뉴턴-카르타 이론

뉴턴 중력 이론()은 뉴턴 중력의 기하학적 재공식화이자 일반화이며, 엘리 카르탄과^[1]^[2] 쿠르트 프리드리히스에^[3] 의해 처음 소개되었고, 나중에 도트코트,^[4] 딕슨,^[5] 돔브로우스키와 호네퍼, 엘러스, 하바스,^[6] 쿤즐레,^[7] 로테르모저, 트라우트만 ^[8]등에 의해 발전되었습니다. 이 재공식화에서 뉴턴 이론과 알버트 아인슈타인의 일반 상대성 이론 사이의 구조적 유사성을 쉽게 볼 수 있으며, 카탄과 프리드리히스는 뉴턴 중력이 일반 상대성 이론의 특정 한계로 간주될 수 있는 방식을 엄격하게 공식화하는 데 사용했습니다. 위르겐 엘러스는 이 대응을 일반 상대성 이론의 구체적인 해결책으로 확장했습니다.

고전 시공간

뉴턴-카르타 이론에서는 매끄러운 4차원 다양체 $M$ $M$ 에서 시작하여 $M$ 두 개의 (퇴화된) 메트릭을 정의합니다. A temporal metric $t_{ab}$ with signature $(1,0,0,0)$ , used to assign temporal lengths to vectors on $M$ and a spatial metric $h^{ab}$ with signature $(0,1,1,1)$ . 또한 이 두 메트릭이 $h^{ab}t_{bc}=0$ = ${\$ displaystyle h^{ab}t_{bc}=0}인 횡단성(또는 "직교성") 조건을 충족해야 합니다. 따라서 고전적 시공간을 $순서$ 4중 $(M,t_{ab},h^{ab},\nabla )$ $(M,t_{ab},h^{ab},\nabla )$ $(M,t_{ab},h^{ab},\nabla )$ ∇) {\ $displaystyle$ (M $,t_{ab},h$ ^{ab},\n $abla)},$ $t_{ab}$ 서 $t_{ab}$ ${\$ $t_$ { $ab}$ 및 $t_{ab}$ $h^{ab}$ ${\$ h $^{$ ab}는 $h^{ab}$ 설명된 $h^{ab}$ 바와 같습니다. ${\$ $abla$ }은 $($ 는) 메트릭 $compat$ 가능한 공변 도함수 연산자이며 메트릭은 직교 조건을 만족합니다. 고전 시공간은 상대론적 시공간 $(M,g_{ab})$ $(M,g_{ab})$ ${\displaystyle$ ( $M,g_{ab}})$ 의 유사체이며 $(M,g_{ab})$ 여기서 $g_{ab}$ ${\$ 는 $g_{ab}$ 매니폴드 $M$ ${\displaystyle$ M $}$ 의 $매끄러운$ 로렌츠 메트릭입니다 $M$

포아송 방정식의 기하학적 공식화

뉴턴의 중력 이론에서 포아송의 방정식은 다음과 같습니다.

\Delta U=4\pi G\rho \,

$U$ $U$ 는 중력 퍼텐셜, G ${\displaystyle$ G $}$ 는 중력 상수, $\rho$ ρ ${\displaystyle \$ rho}는 질량 밀도입니다. 약한 등가 원리는 전위 $U$ $U$ 의 점 입자에 대한 기하학적 운동 방정식의 동기를 부여합니다.

m_{t}\,{\ddot {\vec {x}}}=-m_{g}{\vec {\nabla}}U

$m_{t}$ 서 $m_{t}$ ${\$ 는 $m_{t}$ 관성 질량이고 $m_{g}$ ${\$ 는 $m_{g}$ 중력 질량입니다. 약한 등가 원리 $m_{t}=m_{g}$ = $m_{t}=m_{g}$ {\displaystyle m_{t} = m_{g}}에 따라, 그에 따른 운동 방정식은

{\dot {\vec {x}}=-{\vec {\nabla}}U

더 이상 입자의 질량에 대한 참조를 포함하지 않습니다. 그 방정식의 해가 공간의 곡률의 성질이라는 생각에 따라, 지오데식 방정식이 되도록 연결이 구성됩니다.

{\frac {d^{2}x^{\lambda }}{ds^{2}}}+\Gamma _{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{ds}}{\frac {dx^{\nu}}{ds}}=0

퍼텐셜 $U$ ${\displaystyle$ U $}$ 에서 점입자의 운동방정식을 나타냅니다 $U$ 결과적인 연결은

\Gamma _{\mu \nu}^{\lambda }=\gamma ^{\lambda \rho}U_{,\rho}\Psi_{\mu}\Psi_{\nu}

ψ $\Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}$ = $\gamma ^{\mu \nu }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\nu }\delta ^{AB}$ δ $\Psi _{\mu }=\delta _{\mu }^{0}$ μ 0 ${\displaystyle$ \Psi _{\ $mu$ } =\delta _{\mu }^{0} 및 γ μ ν A μ δ B ν δ AB {\displaystyle \gamma ^{\mu \n $u }=\delta _{A}^{\mu }\delta _{B}^{\n$ $u}\delta ^{$ $AB}($ $A,B=1,2,3$ B $=$ 1 $A,B=1,2,3$ $A,B=1,2,3$ 3 {\displaystyle A, B $=$ 1, 2, 3}). 이 연결은 하나의 관성 시스템에서 구성되었지만 $\Psi _{\mu }$ ψ μ {\ $displaystyle \Psi$ _{\ $}}$ 및 ν μ γ {\displaystyle \gamma ^{\mu \n의 불변성을 보여줌으로써 모든 관성 시스템에서 유효함을 보여줄 수 있습니다. $u}})$ 갈릴레이 변환 하에 $\gamma ^{\mu \nu }$ 있습니다. 이 연결의 관성계 좌표에서 리만 곡률 텐서는 다음과 같이 주어집니다.

R_{\kappa \mu \nu}^{\lambda }=2\gamma ^{\lambda \sigma }U_{,\시그마 [\mu}\Psi_{\nu ]}\Psi _{\kappa }

여기서 괄호 $A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ [ $A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ ν] = $A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ ! [ $A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ μ $A_{[\mu \nu ]}={\frac {1}{2!}}[A_{\mu \nu }-A_{\nu \mu }]$ ν - A ν $μ]$ {\displaystyle A_{[\mu \n $u ]}={\frac {1}{2!$ $}}[A_{\mu \n$ $u}-A_{\n$ $u \mu }}$ 는 텐서 $A_{\mu \nu }$ $A_{\mu \nu }$ $ν$ {\ $displaystyle A_$ {\mu \n의 반대칭 조합을 의미합니다. $u$ 리치 텐서는 다음과 같이 주어집니다.

R_{\kappa \nu }=\Delta U\Psi _{\kappa }\Psi _{\nu}\,

다음과 같은 푸아송 방정식의 기하학적 공식화로 이어집니다.

R_{\mu \nu }=4\pi G\rho \Psi _{\mu }\Psi _{\nu}

좀 더 구체적으로, 로마 지수 i와 j가 공간 좌표 1, 2, 3에 걸쳐 있는 경우, 연결은 다음과 같이 주어집니다.

\Gamma _{00}^{i}=U_{,i}

에 의한 리만 곡률 텐서

R_{0j0}^{i}=-R_{00j}^{i}=U_{,ij}

리치 텐서와 리치 스칼라는 다음과 같습니다.

R=R_{00}=\델타 U

나열되지 않은 모든 성분이 0인 경우.

이 공식은 메트릭의 개념을 도입할 필요가 없습니다. 연결만으로 모든 물리적 정보를 얻을 수 있습니다.

바르그만 리프트

4차원 뉴턴-카르타 중력 이론은 5차원 아인슈타인 중력을 널과 같은 방향으로 축소하는 칼루자-클레인으로 재구성될 수 있음을 보여주었습니다.^[9] 이 리프팅은 비상대론적 홀로그래픽 모델에 유용할 것으로 여겨집니다.^[10]

참고문헌

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서지학

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Renn, Jürgen; Schemmel, Matthias, eds. (2007), The Genesis of General Relativity, vol. 4, Springer, pp. 1107–1129 (Ann의 영어 번역. 과학. 에크. 정상. 수페르. #40용지)
의 1장

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[1] Cartan, Élie (1923), "Sur les variétés à connexion affine et la théorie de la relativité généralisée (Première partie)" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 40: 325, doi:10.24033/asens.751

[2] Cartan, Élie (1924), "Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (Première partie) (Suite)" (PDF), Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure, 41: 1, doi:10.24033/asens.753

[3] Friedrichs, K. O. (1927), "Eine Invariante Formulierung des Newtonschen Gravitationsgesetzes und der Grenzüberganges vom Einsteinschen zum Newtonschen Gesetz", Mathematische Annalen, 98: 566–575, doi:10.1007/bf01451608, S2CID 121571333

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[8] Trautman, A. (1965), Deser, Jürgen; Ford, K. W. (eds.), Foundations and current problems of general relativity, vol. 98, Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice-Hall, pp. 1–248

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[10] Goldberger, Walter D. (2009). "AdS/CFT duality for non-relativistic field theory". Journal of High Energy Physics. 2009 (3): 069. arXiv:0806.2867. Bibcode:2009JHEP...03..069G. doi:10.1088/1126-6708/2009/03/069. S2CID 118553009.

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